Beschrijvende meetkunde

Beschrijvende geometrie is het deelgebied van de geometrie dat zich bezighoudt met de geometrisch-constructieve processen van projecties van driedimensionale objecten op een tweedimensionaal weergavevlak. De toepassingsgebieden van hun methoden zijn breed en strekken zich uit tot kunst, schilderkunst, kaarten en computergraphics, naast de bekendste toepassingen in technologie en architectuur. De beschrijvende geometrie beperkt zich niet tot de representatie van ruimtelijke objecten, maar biedt ook mogelijkheden om ruimtelijke geometrische problemen grafisch op te lossen: z. B. het bepalen van het snijpunt van een rechte lijn met een vlak of het snijpunt van twee vlakken of de schaduw van een object.

• 

  A. Dürer : Centrale projectie van een luit

• 

  Screenshot van CATIA V5: machineonderdeel

Hoogte en zijaanzicht van een huis

a) verticaal Parallelle projectie
b) Centrale projectie van een huis

Parallelle projectie van een kubus:
a) orthogonaal
b) scheef

Centrale projectie van een kubus

Parallelle projectie of centrale projectie van een rij huizen

In tegenstelling tot vroeger (zie weblink Gangolf Delabar ) is beschrijvende geometrie niet langer het enige middel om ruimtelijke objecten te illustreren of ruimtelijk-geometrische problemen op te lossen. Tegenwoordig worden hiervoor computers gebruikt (zie weblinks en geometrische modellering ). Tegenwoordig ligt het belang van beschrijvende geometrie in het trainen van gebruikers van geometrische software, zodat ze begrijpen wat software kan doen en welke invoer nodig is. Voor de eerste schetsen van een (ruimtelijk) idee of voor interpretaties en aanvullingen op computertekeningen is tekenen met passer en liniaal een uitstekende oefening.

Bij het weergeven van ruimtelijke objecten in een tekenvlak spelen twee concurrerende aspecten een essentiële rol. Als u maatnauwkeurigheid wilt bereiken, is dit meestal alleen mogelijk met verlies van helderheid. Met de twee volgende afbeeldingen van een huis kunnen bijvoorbeeld gemakkelijk conclusies worden getrokken over de lengte, breedte en hoogte; maar ze zijn niet erg duidelijk. Daarentegen brengen de volgende twee foto's de ruimtelijke indruk meer naar voren. Het is echter moeilijk om de exacte afmetingen af ​​te lezen (vooral van de afbeelding rechts).

Beeldvormingsproces

Er zijn in wezen twee mapping-methoden die worden gebruikt in beschrijvende geometrie. Punten en rondingen van een object worden met behulp van stralen (rechte lijnen) op een beeldtafel (vlak) geprojecteerd:

Parallelle projectie

De beeldbundels zijn evenwijdig, b.v. B. in zonlicht. Er wordt een onderscheid gemaakt tussen de twee gevallen:

• De stralen staan loodrecht op het beeldbord ( loodrechte parallelle projectie of orthogonale projectie of normale projectie).
• De stralen staan niet loodrecht op het beeldbord ( schuine of schuine parallelle projectie ).

Ingenieurs gebruiken graag parallelle projecties vanwege hun partiële verhoudingsgetrouwheid (partiële verhoudingen op rechte lijnen blijven invariant). Het bijzondere geval vogelperspectief is een schuine parallelle projectie die met name wordt gebruikt om stadsplattegronden te illustreren. Het is relatief eenvoudig met de hand te maken. Parallelle projecties kunnen snel worden gemaakt als axonometrische afbeeldingen of, in het geval van grotere objecten, met behulp van het incisieproces .

Voor bijna alle constructies in de beschrijvende geometrie worden de plattegrond en hoogte van een object gebruikt. Dit zijn verticale parallelle projecties op een horizontaal (plattegrond) of verticaal vlak (elevatie) (zie projectie met twee panelen ). Met hen wordt een object duidelijk ruimtelijk beschreven (met de juiste aanduidingen).

centrale projectie

Alle beeldstralen gaan door een punt, het projectiecentrum of het oogpunt ${\displaystyle \mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">O</span></span>}}${\ weergavestijl O} . In het geval van parallelle projectie zijn de beelden van evenwijdige rechte lijnen i. A. weer parallel. Bij centrale projecties snijden de beelden evenwijdige rechte lijnen i. A. op een gegeven moment het verdwijnpunt van het parallelle plukje.

De afbeeldingen met een huizenrij laten zien dat een centrale projectie de beste optische indruk maakt. In het beeld in parallelle projectie lijkt het achterhuis groter dan het eerste. Dit komt door een optische illusie. Het oog herkent het huis als een ruimtelijk object en verwacht dat een huis van dezelfde grootte, ver weg, kleiner is, wat bij parallelle projectie niet het geval is.

Vertegenwoordiging van echte objecten

Om objecten zoals huizen, bruggen, ... in een handig tekenvlak of op een scherm te kunnen weergeven, worden de afmetingen van de objecten meestal voorafgaand aan de projectie op geschikte wijze geschaald (verkleind), b.v. B. met factoren 1/10, 1/50 of 1/100.

AIDS

Technische hulpmiddelen

Klassieke hulpmiddelen voor het maken tekeningen zijn: papier als ondergrond vlakke tekening, potlood , kompas , liniaal , set square en curve liniaal als trekinrichting. Computers met geschikte software (vb. Assepoester , GeoGebra , Inkscape , Xfig , ...) kunnen vandaag al deze tools vervangen. Een dergelijke grafische computer wordt handmatig bestuurd met een computermuis . Als je het resultaat in zwart-wit op papier voor je neus wilt hebben, gebruik je een computergestuurde printer . De klassieke hulpmiddelen (zonder computers) worden echter nog steeds gebruikt als basis voor de opleiding van architecten en ingenieurs.

Theoretische hulpmiddelen

Basisstellingen uit de klassieke meetkunde worden gebruikt als theoretische hulpmiddelen: stellingen van stralen , de stellingen van Pythagoras en Thales , stellingen over driehoeken , stellingen over kegelsneden ( ellipsen , ...), eigenschappen van kwadraten ( bol , kegel , cilinder , .. .).

Centrale projectie van een brug in frontaal perspectief

Centrale projectie van een brug met reflectie

Centrale projectie met schaduwen in parallel (zon)licht

Kegel-cilindersectie: methode van oppervlaktelijn

Methoden van beschrijvende geometrie

Projecties: projectie met twee panelen, axonometrie, architectenopstelling, frontaal perspectief

De belangrijkste hulpmiddelen in beschrijvende geometrie zijn plattegronden en verhogingen en hun toewijzingen. Ze leveren de ruimtelijke informatie voor bijzondere voorstellingen en constructies. De kennis erover leer je in

• Projectie met twee panelen : Af en toe is het nodig om verdere scheuren aan te brengen. Men spreekt dan van re-projecties en multipanel- projecties .

Met de plattegrond en hoogte kunt u vervolgens gebruik maken van

• axonometrie ,
• incisie proces ,
• Orthogonale axonometrie en
• Contourconstructie (voor gebogen oppervlakken; zie ook kanaaloppervlakken )

Produceer heldere beelden van ruimtelijke objecten in parallelle projectie.

Beelden in centrale projectie worden het best geconstrueerd met de

• Opstelling van de architect (vergelijkbaar met de incisiemethode voor parallelle projecties) en de
• Frontaal perspectief (perspectief met één essentieel verdwijnpunt, het hoofdpunt).

Om te voorkomen dat delen van de afbeelding vervormd lijken, moet u eerst de positie van de afbeeldingstabel, het hoofdpunt en het oogpunt kiezen

• Cirkel van visie

naar binnen trekken. Omdat alleen delen van het beeld binnen de visuele cirkel onvervormd in het perspectiefbeeld verschijnen.

Penetraties: snijpunten en snijcurven

Een belangrijke basistaak van beschrijvende meetkunde is het (grafisch) bepalen van het snijpunt van een rechte lijn en een vlak. De procedure om dit te doen heet

• Punctiepunt methode.

(Computational werkwijzen voor het bepalen van een snijpunt ligt hier .)

Prikpunten zijn z. B. nodig bij de

• schaduw constructie .

Tot de basistaken behoren ook het bepalen van de

• Snijpunten van een rechte lijn met een bol, kegel of cilinder .

Er zijn vier standaardmethoden voor het construeren van punten op de snijpuntcurve van twee oppervlakken (cilinder, kegel, bol, torus, omwentelingsoppervlak):

• de hulpniveaumethode ,
• de oppervlaktelijnmethode ,
• de pendelvlakmethode en
• de hulpbolmethode .

(Computational werkwijzen voor het bepalen van een snijpunt curve vindt hier .)

Bij de vervaardiging van modellen van penetrerende cilinders en/of kegels worden vaak opgerolde ontwikkelingen van deze oppervlakken gebruikt. Hoe cilinders en kegels te ontwikkelen wordt uitgelegd in

• voltooiing

beschreven.

Enkele paneelprojecties: vermelde projectie, dakindeling

Vermelde projectie van een weg met een deel van een hellingsgebied

Naast de twee- en meerpaneels projecties zijn er ook speciale enkelpaneels projecties . Dit zijn plattegronden met aanvullende informatie die de objecten ruimtelijk beschrijven. Ze worden gebruikt in de wegenbouw

• Vermelde projectie naar
• Construeer en representeer hellingsvlakken .

De

• Dak ontwerp .

Ware lengte, ware vorm en reconstructie

Hellende stukken of vlakke figuren in parallelle projecties worden ook gecorrigeerd

• ware lengte en ware vorm .

Analoge methoden voor centrale projecties (foto's) worden aangeboden door de

• Wederopbouw .

Centrale projectie van een toren met een poort (cirkels)

Centrale projectie van twee bollen

Cirkel en bol

Cirkels en ellipsen spelen een belangrijke rol als grenscurven van objecten zoals cilinders, kegels en omwentelingsvlakken (zie foto's: toren met poort, brug in frontaal perspectief). Hoe u ze kunt weergeven met parallelle projectie en centrale projectie en ze vervolgens kunt tekenen, wordt getoond in

• Ellips (beschrijvende geometrie)

beschreven. Belangrijke tools zijn inbegrepen

• Geconjugeerde diameters van een ellips en de
• Rytzsche-asconstructie , waarmee men de hoofdassen van een ellips reconstrueert om uiteindelijk de ellips te relateren aan de
• Teken vertex kromming cirkel methode.

De weergave van een bol is heel eenvoudig met loodrechte parallelle projectie. De omtrek is een cirkel met de straal van de bol. Bij alle andere essentiële soorten projectie, zoals vogelperspectief, cavalierperspectief en centrale projectie, verschijnt de omtrek van een bol, afgezien van speciale gevallen, als een ellips. Hoe de omtrekellips van een bol te construeren wordt getoond in

• Bol (beschrijvende geometrie)

uitgelegd.

Plattegrond, hoogte en orthogonale parallelle projectie van een wenteltrap

spiraalvormige lijnen

Spiraalvormige lijnen spelen een essentiële rol in de architectuur bij het weergeven van wenteltrappen en in de technologie van schroeven en spiraalboren. Hun weergave in bovenaanzicht en hoogte, evenals orthogonale en schuine parallelle projecties wordt getoond in

• Helix (beschrijvende geometrie)

beschreven.

Centrale projectieruimte met wandspiegel

Reflecties

Hoe spiegelbeelden te tekenen van objecten die ontstaan ​​door reflectie op wateroppervlakken of wandspiegels in bestaande afbeeldingen (axonometrie of centrale projecties) wordt getoond in

• Reflectie (Beschrijvende Geometrie)

uitgelegd.

Bijzondere perspectieven (gezichten)

Parallelle projectie:
a) Plattegrond en hoogte
b) Cavalier perspectief
c) vogelperspectief

Centrale projectie:
a) Kikkerperspectief
b) vogelperspectief

Huis met twee verdwijnpunten (boven) of één verdwijnpunt (frontaal perspectief, onder)

De basis voor bijna alle representaties en constructies in de beschrijvende geometrie zijn:

• Plattegrond en hoogte : verticale parallelle projecties op een horizontaal of verticaal bord.

Het woord perspectief wordt vaak gebruikt in beschrijvende geometrie om speciale beschrijvende aanzichten van een ruimtelijk object aan te duiden:

• Het cavalierperspectief of kabinetsperspectief is een schuine parallelle projectie (zie axonometrie ) op een verticaal beeldpaneel. Alle platte figuren die evenwijdig aan het afbeeldingspaneel staan, worden onvervormd weergegeven (zie afbeelding).
• Het vogelperspectief of militair perspectief is in het ene geval een schuine parallelle projectie (zie axonometrie ), de beeldtabel is horizontaal, d.w.z. alle vlakke horizontale figuren zijn onvervormd weergegeven (zie afbeelding) en in het andere geval is het vogelperspectief een centrale projectie met een aanzienlijk hoger oogpunt ligt als de grootste hoogte van het object en de beeldtafel is schuin.
• Een ingenieursprojectie is een axonometrisch beeld met eenvoudige verkortingen (0.5, 1, 1). De afbeeldingen van de x- en y-as sluiten hoeken van 132 ° en 97 ° in met de afbeelding van de z-as (zie axonometrie ). Hun voordelen zijn: a) eenvoudige verkorting, b) goed beeldeffect, c) (geschaalde) orthogonale projectie, d) contouren van bollen zijn cirkels.
• Een isometrie is een axonometrische afbeelding waarin de vervormingen in de x-, y- en z-richtingen allemaal hetzelfde zijn. Voor standaard isometrie geldt ook: De afbeeldingen van de coördinaatassen snijden elkaar onder een hoek van 120°. Een typische eigenschap is: In de projectie van een axiaal evenwijdige kubus vallen twee punten samen.
• Het kikkerperspectief is een centrale projectie, waarvan het oogpunt dicht bij het staande vlak ligt (zie afbeelding).
• Centraal perspectief is een centrale projectie.
• Perspectief wordt vaak gebruikt als een korte vorm voor centraal perspectief .
• Frontaal perspectief is een centrale projectie van een object met drie in wezen onderling orthogonale richtingen (bijvoorbeeld balk, huis), twee van deze richtingen die evenwijdig aan het bord lopen en dus hun verdwijnpunten op "oneindig" zijn. Zo'n uitzicht wordt ook wel een perspectief met een verdwijnpunt genoemd (zie afbeelding). Het ene specifieke verdwijnpunt is meestal het belangrijkste punt. Het voordeel van een frontaal perspectief: Alle platte figuren in vlakken evenwijdig aan het beeldpaneel zijn alleen geschaald, maar niet vervormd (zie voorbeelden: brug en huis in frontaal perspectief).
• Perspectief met twee verdwijnpunten is een centrale projectie waarin de verdwijnpunten naar twee onderling loodrechte orthogonale richtingen (meestal horizontaal) een essentiële rol spelen (zie afbeelding).
• Perspectief met drie verdwijnpunten is een centrale projectie waarin drie verdwijnpunten een essentiële rol spelen. Hier is het paneel schuin geplaatst (zie het huis in vogelvlucht in de centrale projectie).
• Parallel perspectief is een parallelle projectie.
• Polair perspectief is een eerdere term voor centrale projectie (zie weblink Gangolf Delabar ).

opleiding

Een modellering van de Tower Bridge met behulp van een CAD- programma

Beschrijvende meetkunde is nu een vak op technische beroepsscholen en een fundamenteel vak in de opleiding van ingenieurs aan een technische universiteit of hogeschool .

Het onderwerp is de registratie en weergave van ruimtelijke , met name technische constructies (geometrische lichamen , gebouwen , weergave van het terrein , enz.).

De belangrijkste hulpmiddelen zijn constructietekeningen , perspectief (centrale projectie ), axonometrie , geciteerde projectie en dergelijke. Naast het leren van tekentechnieken , moeten ruimtelijke verbeeldingskracht en expressie worden bevorderd en moeten er verbanden worden gelegd met wiskunde , technologie en beeldende kunst .

Een puur grafisch onderwerp (toegepaste geometrische tekening ) tot de jaren 2000, tegenwoordig wordt het veel gebruikt in computergraphics . Het belang van het vak is de laatste jaren niet afgenomen in het algemeen, maar in de opleiding, omdat het computerondersteund bouwen (CAD) andere vaardigheden vereist dan het met de hand tekenen. ^[1] Aangezien scholen ook goed zijn uitgerust met computers in de klas, is het onderwerp opnieuw een van de belangrijkste technische basisopleidingen geworden en omvat het ook leergerelateerde programma's - over het algemeen toonaangevende speciale CAD-toepassingen in de industrie.

Het eigenlijke denkwerk, de omzetting van de 2D-weergave (papier of scherm) naar een 3D (gedachte) model blijft door de ontwerper of ontwerper behouden, zelfs bij gebruik van CAD. Aan de andere kant wordt het moeilijker om ruimtelijke constructieproblemen (bijvoorbeeld verbindingsprofielen met schuine poorten) te herkennen als (en omdat) men vertrouwt op de software.

Over de geschiedenis van de beschrijvende meetkunde

Vitruvius : Plattegrond van een Grieks huis

A. Dürer: plattegrond, verhoging en dwarsplan van een voet

A. Dürer: Hieronymus in een zaak (frontaal perspectief)

Bij het systematisch bouwen van constructies spelen plannen met specifieke specificaties een belangrijke rol. Plattegronden en gevels werden al in de oudheid gebruikt . Het oudste schriftelijke bewijs hiervan is het werk Ten Books on Architecture van de Romeinse bouwer Vitruvius . Maar het duurde tot Albrecht Dürer (1471-1528) het eerste echte leerboek over beschrijvende meetkunde in de vroegmoderne tijd schreef : Underweysung met de cirkel en Richtscheydt ^[2] (Neurenberg 1525). Op pagina's 34-37 van het eerste boek verschijnen de kegelsneden ellips, parabool en hyperbool. Gaspard Monge (1746-1818) introduceerde in zijn boek Geometrie descriptive ^[3] voor het eerst de strikte toewijzing van plattegrond en hoogte om ruimtelijke problemen grafisch op te lossen. De basistaken van de beschrijvende geometrie zijn daar al te vinden in de versie die nog steeds in gebruik is.

De grondbeginselen van centrale projectie waren al bekend bij de Grieken en Romeinen. Maar het was pas in de Renaissance dat de schilderkunst dit soort weergave van ruimtelijke omstandigheden herontdekte en verder ontwikkelde tot bloei. Zie De pictura van Leon Battista Alberti (1404). De meesters van deze tijd waren Albrecht Dürer (1471-1528), Leonardo da Vinci (1452-1519) en Michelangelo (1475-1564).

literatuur

Het eerste Duitstalige leerboek over beschrijvende meetkunde komt van Albrecht Dürer (1525). Na het leerboek van G. Monge (1798) werden vanaf 1800 nog veel meer boeken in het Duits geschreven. Om geïnteresseerden snel een overzicht te geven van de huidige literatuur, worden hier eerst nieuwere boeken vermeld.

Gepubliceerd na 1950 :

• H. Brauner : Leerboek van constructieve meetkunde. Springer-Verlag, Wenen / New York 1986, ISBN 3-211-81833-2 .
• H. Brauner, W. Kickinger: Baugeometrie I, II Bauverlag, Wiesbaden / Berlijn 1977, 1982, ISBN 3-7625-0825-9 , ISBN 3-7625-2690-7 .
• R. Fucke, K. Kirch, H. Nickel: beschrijvende geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4 .
• O. Giering, H. Seybold: Constructieve technische meetkunde. C. Hanser Verlag, München / Wenen 1979, 1987, ISBN 3-446-14842-6 .
• U. Graf , M. Barner : Beschrijvende geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9 .
• F. Hohenberg : Constructieve geometrie in technologie. Springer-Verlag, Wenen 1966, ISBN 3-211-80763-2 .
• J. Hoschek, G. Spreitzer: Taken voor beschrijvende geometrie. BI-Verlag, 1974, ISBN 3-411-01451-2 .
• C. Leopold: geometrische basis van architecturale representatie. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X .
• E. Müller, E. Kruppa : Leerboek van de uitvoerende Geomelrie , Springer-Verlag, Wenen, 1961, ISBN 978-3-211-80589-3 .
• A. Pumann: Beschrijvende geometrie. Deel 1 en deel 2, Pumann, Coburg 1998, ISBN 3-9800531-0-5 , ISBN 3-9800531-1-3 .
• F. Rehbock : Beschrijvende geometrie. Springer-Verlag, Berlijn / Göttingen / Heidelberg 1969, ISBN 3-540-04557-0 .
• F. Rehbock: Geometrisch perspectief. Springer-Verlag, Berlijn / Heidelberg / New York 1980, ISBN 3-642-67542-5 .
• F. Reutter: Beschrijvende geometrie. I en II, Verlag G. Braun, Karlsruhe 1979, ISBN 3-7650-1201-7 , ISBN 3-7650-2021-4 .
• R. Stark: Beschrijvende geometrie. Schöningh-Verlag, 1978, ISBN 3-506-37443-5 .
• K. Strubecker : Hoorcolleges in beschrijvende meetkunde. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967 ( online exemplaar ).
• R. Thomae : Perspectief en axonometrie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-95328-5 .
• K. Ulshöfer, D. Tilp: Beschrijvende geometrie in systematische voorbeelden. Werkbladen. Buchner, 2015, ISBN 978-3-7661-6092-8 .
• W. Wunderlich : Beschrijvende Geometrie I (= universiteitsportefeuille. 96 / 96a ). Bibliograaf. Inst., Mannheim 1966.
• W. Wunderlich: Beschrijvende Geometrie II (= Hochschultaschenb. 133 / 133a ). Bibliograaf. Inst., Mannheim 1967.
• U. Kurz, H. Wittel: Böttcher / Forberg technische tekening. Springer-Vieweg, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-1806-5 .
• J. Hoschek, D. Lasser: Grondbeginselen van geometrische gegevensverwerking. Teubner-Verlag, Stuttgart 1989, ISBN 3-519-02962-6 .

Gepubliceerd voor 1950 :

• J. Adhemar: Beschrijvende geometrie , Jent en Gassmann Verlag, Solothurn, 1845.
• PB Fischer: Beschrijvende geometrie. Springer Fachmedien, Wiesbaden, 1921, ISBN 978-3-663-15478-5 .
• JT Hjelmslev : Beschrijvende geometrie , Leipzig, Berlijn: BG Teubner, 1914, ISBN 587635130X .
• G. Loria : Lezingen over beschrijvende meetkunde. 2 boekdelen. BG Teubner, Leipzig 1907.
• E. Müller : Leerboek van beschrijvende meetkunde voor technische universiteiten.
  • Eerste deel. BG Teubner, Leipzig / Berlijn 1908.
  • Tweede deel. 2e editie. BG Teubner, Leipzig / Berlijn 1920.
• E. Müller: Lezingen over beschrijvende meetkunde. 3 delen. Franz Deuticke, Leipzig / Wenen 1923 1931.
• R. Müller : Gids voor de lezingen over beschrijvende meetkunde aan de Ducal Technical University van Braunschweig. F. Vieweg, Braunschweig 1899.
• E. Papperitz : Darstellende Geometrie , in Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften met inbegrip van hun toepassingen , Leipzig, BG Teubner-Verlag, 1907, 3e deel, blz. 517-594. Göttingen Digi Center
• K. Pohlke : Tien tabellen over beschrijvende meetkunde. Gaertner-Verlag, Berlijn 1876 (Google Books.)
• K. Rohn , E. Papperitz: leerboek van de beschrijvende meetkunde. 2 boekdelen. Leipzig 1893, 1896.
• G. Schaffnit: Geometrische constructietheorie of beschrijvende meetkunde: (Géométrie beschrijvend) , Heyer-Verlag, Darmstadt, 1828.
• G. Schreiber : Speciale beschrijvende geometrie: voor architecten, technici, monteurs en bouwvakkers, in het bijzonder voor bouw-, bouwtechnische en hogere handelsscholen , O. Spamer Verlag, Leipzig, 1865.
• G. Scheffers : Leerboek van de beschrijvende meetkunde. J. Springer, 1922.
• EL Stiefel : Leerboek van beschrijvende meetkunde. Springer-Verlag, Bazel 1947, ISBN 978-3-0348-4098-9 .
• C. Wiener : Leerboek van beschrijvende meetkunde. 2 boekdelen. Teubner, Leipzig 1884, 1887, online op archivev.org: Volume 1 , Volume 2.

web links

Commons : Beschrijvende geometrie - verzameling afbeeldingen, video's en audiobestanden

• Beschrijvende geometrie voor architecten. (PDF; 1,5 MB). Script (Uni Darmstadt).
• Beschrijvende geometrie voor civiel ingenieurs. (PDF; 1,2 MB). Script (Uni Darmstadt).
• Basisprincipes en elementen van verkeerstechniek. ( Memento van 10 augustus 2013 in het internetarchief ). (PDF; 493 kB). TU Dresden.
• Beschrijvende meetkunde. Script (Universiteit van Stuttgart).
• Lerarenopleiding aan de Technische Universiteit Wenen
• Lijst 1 , Lijst 2 van de vragen in mondelinge examens.
• Beschrijvende geometrie , (PDF; 4,26 MB), Technische Universiteit Wenen
• Gangolf Delabar: Het polaire en parallelle perspectief . 1893.
• COMPUTER-ondersteunde beschrijvende en constructieve geometrie. Universiteit van Darmstadt (PDF; 3,4 MB).
• Geometrie en algoritmen voor COMPUTERONDERSTEUND ONTWERP.
• Duidelijke Flash-tutorials voor het tekenen en bekijken van perspectief.
• Oefeningen met oplossingen in 2-board projectie (Engels).
• Beschrijvende meetkunde. ( Memento van 8 december 2015 in het internetarchief ). Universiteit van Maagdenburg.
• Strubecker: Lezingen over beschrijvende meetkunde. TH Karlsruhe.
• G. Monge: beschrijvende geometrie. Volledige tekst van de Duitse uitgave uit 1900.
• H. Stachel : De geschiedenis van de beschrijvende meetkunde in Oostenrijk

Individueel bewijs

1. ↑ PDF op: igpm.rwth-aachen.de.
2. ↑ Wikibron : Underweysung met de cirkel en Richtscheydt.
3. ↑ Geometrie beschrijvend.