axonometrie

Axonometrie van een huis op ruitjespapier
Boog (cirkels) in cavalierprojectie

Axonometrie is een techniek die in de beschrijvende meetkunde wordt gebruikt om op relatief eenvoudige wijze driedimensionale objecten in een tekenvlak weer te geven.

Hierbij worden de coördinaten van essentiële punten en de afbeeldingen van de drie coördinaatassen in een tekenvlak gebruikt. Het resultaat is een parallelle projectie voor elke keuze van beeldassen behalve een schaling. In het algemeen is het resultaat een schuine (of schuine) parallelle projectie. Een orthogonale (of verticale) parallelle projectie resulteert alleen in een speciale keuze van de beeldassen en de vervormingsverhoudingen, d.w.z. de beeldstralen staan loodrecht op het beeldvlak (zie orthogonale axonometrie ).

Principe van axonometrie

Je denkt aan de coördinaatassen samen met de punten $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ ${\ weergavestijl (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}$ $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ geprojecteerd op een tekenvlak met behulp van parallelle stralen. De eenheidsroutes worden meestal vervormd weergegeven. De vervormingsverhoudingen zijn met $v_{x}$ ${\ weergavestijl v_ {x}}$ $v_ {x}$ , $v_{y}$ ${\ weergavestijl v_ {y}}$ $v_ {y}$ en $v_{z}$ ${\ weergavestijl v_ {z}}$ $v_ {z}$ toegewezen. Een punt $P=(x,y,z)$ ${\ displaystijl P = (x, y, z)}$ $P = (x, y, z)$ wordt nu als volgt in de afbeelding ingevoerd met de coördinaatassen:

Ga van nul

{\overline {O}}

{\ displaystyle {\ overline {O}}}

\ overlijn {O}

in de omgeving van

x\cdot v_{x}

{\ displaystyle x \ cdot v_ {x}}

x \ cdot v_ {x}

in

{\overline {x}}

{\ weergavestijl {\ overlijn {x}}}

{\ overlijn {x}}

-Richting, dan

in de omgeving van

y\cdot v_{y}

{\ displaystyle y \ cdot v_ {y}}

y \ cdot v_ {y}

in

{\overline {y}}

{\ displaystyle {\ overline {y}}}

\ overlijn {y}

-Richting en tot slot

in de omgeving van

z\cdot v_{z}

{\ displaystyle z \ cdot v_ {z}}

z \ cdot v_ {z}

in

{\overline {z}}

{\ displaystyle {\ overline {z}}}

\ overlijn {z}

-Richting.

(De volgorde kan naar wens worden omgekeerd.)

Aangezien het zeer bewerkelijk is om de beeldassen en de vervormingen voor een bepaalde projectierichting en positie van het beeldvlak te construeren, selecteert men eenvoudig de beelden van de coördinaatassen in het tekenvlak en specificeert geschikte vervormingen. De wiskundige rechtvaardiging hiervoor is de stelling van Pohlke : Voor (bijna) elke keuze van beeldassen en vervormingen, behalve voor gelijkenis (schaling), wordt het beeld van een parallelle projectie verkregen. (De afbeeldingen van de coördinaatassen mogen niet op een rechte lijn vallen, de vervormingen moeten groter zijn dan nul.)

Beeldassen en vervormingen

(Voor specificaties op het gebied van technische tekeningen : zie DIN 5 deel 10.)

verschillende vervormingen van een eenheidskubus
(Beeldvlak evenwijdig aan het yz-vlak)

Parameters van speciale axonometrieën (de militaire projectie is in vogelvlucht)

Parameters van een algemene axonometrie

De beeldindruk is pas goed bij een geschikte keuze van beeldassen en vervormingen. Een goed beeldeffect wordt bereikt als de beeldassen en de vervormingsverhoudingen zo worden gekozen dat het resultaat een verticale parallelle projectie is. Omdat u met zo eenvoudig mogelijke vervormingsverhoudingen (bijvoorbeeld 1 of 0,5) wilt werken, kunt u de volgende voorbeelden (zie afbeelding) als leidraad gebruiken bij het kiezen van de beeldassen en vervormingen. Als je vierkant papier beschikbaar hebt, is de volgende keuze beschikbaar voor assen en vervormingen: Twee coördinaatassen vallen samen met de hoofdrichtingen van het vierkant papier, de derde as loopt in de richting van de vierkante diagonalen (zie openingsafbeelding). Om de constructie eenvoudig te houden, kiest u voor de eenheden op de horizontale en verticale as twee dozen en in de diagonale richting een doosdiagonaal als eenheid. Dit resulteert dan in de volgende vervormingen: $v_{x}:v_{y}:v_{z}=1/{\sqrt {2}}:1:1$ ${\ displaystyle v_ {x}: v_ {y}: v_ {z} = 1 / {\ sqrt {2}}: 1: 1}$ $v_ {x}: v_ {y}: v_ {z} = 1 / {\ sqrt 2}: 1: 1$ gelijk aan ≈ 0,7: 1: 1.

Axonometrieën met twee gelijke vervormingen worden dimetrisch genoemd , met drie gelijke vervormingen isometrisch , anders trimetrisch .

Bepaling:

$\alpha :$ ${\ weergavestijl \ alpha:}$ ${\ weergavestijl \ alpha:}$ Hoek tussen de ${\overline {z}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ $\ overlijn {z}$ As en de ${\overline {x}}$ ${\ weergavestijl {\ overlijn {x}}}$ ${\ overlijn {x}}$ -As
$\beta :$ ${\ displaystyle \ beta:}$ ${\ displaystyle \ beta:}$ Hoek tussen de ${\overline {z}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ $\ overlijn {z}$ As en de ${\overline {y}}$ ${\ displaystyle {\ overline {y}}}$ $\ overlijn {y}$ -As
$\gamma :$ ${\ weergavestijl \ gamma:}$ ${\ weergavestijl \ gamma:}$ Hoek tussen de ${\overline {x}}$ ${\ weergavestijl {\ overlijn {x}}}$ ${\ overlijn {x}}$ As en de ${\overline {y}}$ ${\ displaystyle {\ overline {y}}}$ $\ overlijn {y}$ -As

Cavalier projectie, kabinet projectie

Beeldvlak evenwijdig aan het yz-vlak , dat wil zeggen
- $\beta =90^{\circ }$ ${\ displaystyle \ beta = 90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ beta = 90 ^ {\ circ}}$ en
- $v_{y}=v_{z}=1$ ${\ displaystyle v_ {y} = v_ {z} = 1}$ ${\ displaystyle v_ {y} = v_ {z} = 1}$ .
Opmerking: In de literatuur zijn de termen cavalierperspectief en kabinetsperspectief niet eenduidig gedefinieerd. Bovenstaande definitie is de meest algemene. Verdere beperkingen zijn vaak vereist:
- Kabinet projectie: extra $\alpha =\gamma =135^{\circ }$ ${\ displaystyle \ alpha = \ gamma = 135 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ gamma = 135 ^ {\ circ}}$ en $v_{x}=0.5$ ${\ weergavestijl v_ {x} = 0,5}$ ${\ weergavestijl v_ {x} = 0,5}$ (Dimetrie),
- Cavalier projectie: extra $\alpha =\gamma =135^{\circ }$ ${\ displaystyle \ alpha = \ gamma = 135 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ gamma = 135 ^ {\ circ}}$ en $v_{x}=1$ ${\ weergavestijl v_ {x} = 1}$ ${\ weergavestijl v_ {x} = 1}$ (Isometrie).

Vogelperspectief, militaire projectie

Beeldvlak evenwijdig aan het xy-vlak , dat wil zeggen
- $\gamma =90^{\circ }$ ${\ displaystyle \ gamma = 90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ gamma = 90 ^ {\ circ}}$ en
- $v_{x}=v_{y}=1$ ${\ displaystyle v_ {x} = v_ {y} = 1}$ ${\ displaystyle v_ {x} = v_ {y} = 1}$ (Dimetrie).
Voor de militaire projectie geldt ook het volgende: $v_{z}=1$ ${\ weergavestijl v_ {z} = 1}$ ${\ weergavestijl v_ {z} = 1}$ (Isometrie).

Dergelijke axonometrieën worden gebruikt in stadsplannen om schaal (horizontaal) en helderheid van gebouwen te bereiken.

Ingenieur axonometrie

In een technische axonometrie volgens ISO 5456-3 zijn de vervormingen:

${\begin{aligned}v_{x}&=0.5\\v_{y}=v_{z}&=1\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} v_ {x} & = 0,5 \\ v_ {y} = v_ {z} & = 1 \ einde {uitgelijnd}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} v_ {x} & = 0,5 \\ v_ {y} = v_ {z} & = 1 \ einde {uitgelijnd}}}$ (dimetrische axonometrie)

De assen zijn als volgt uitgelijnd:

${\begin{aligned}\alpha =\gamma &=132^{\circ }\\\beta &=97^{\circ }\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ alpha = \ gamma & = 132 ^ {\ circ} \\\ beta & = 97 ^ {\ circ} \ end {uitgelijnd}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ alpha = \ gamma & = 132 ^ {\ circ} \\\ beta & = 97 ^ {\ circ} \ end {uitgelijnd}}}$ (of 7 ° en 42 ° naar de horizontale ^[1] )

Set vierkant met markeringen voor technische axonometrie

Voordelen van technische axonometrie zijn:

eenvoudige vervormingen,
bijna verticale axonometrie (goed beeldeffect, de schaalfactor is 1,06),
de omtrek van een bol is een cirkel (anders is het een ellips).

Wiskundige achtergrond

Een technische axonometrische komt overeen met een loodrechte parallelle projectie op een vlak met de normaalvector (= negatieve projectierichting) $({\sqrt {7}},1{,}1)^{\top }$ ${\ weergavestijl ({\ sqrt {7}}, 1 {,} 1) ^ {\ top}}$ ${\ weergavestijl ({\ sqrt {7}}, 1 {,} 1) ^ {\ top}}$ met daaropvolgende schaling met de factor ${\tfrac {3}{2{\sqrt {2}}}}\approx 1{,}061$ ${\ displaystyle {\ tfrac {3} {2 {\ sqrt {2}}}} \ ongeveer 1 {,} 061}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {3} {2 {\ sqrt {2}}}} \ ongeveer 1 {,} 061}$ . Het vlak van de normaalvector sluit een hoek van met de x-as $\arccos({\tfrac {\sqrt {7}}{2{\sqrt {2}}}})\approx 20{,}70^{\circ }$ ${\ displaystyle \ arccos ({\ tfrac {\ sqrt {7}} {2 {\ sqrt {2}}}}) \ ongeveer 20 {,} 70 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ arccos ({\ tfrac {\ sqrt {7}} {2 {\ sqrt {2}}}}) \ ongeveer 20 {,} 70 ^ {\ circ}}$ Aan. De hoek ten opzichte van het xy-vlak is $\arccos({\tfrac {2{\sqrt {2}}}{3}})\approx 19{,}47^{\circ }$ ${\ displaystyle \ arccos ({\ tfrac {2 {\ sqrt {2}}} {3}}) \ ongeveer 19 {,} 47 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ arccos ({\ tfrac {2 {\ sqrt {2}}} {3}}) \ ongeveer 19 {,} 47 ^ {\ circ}}$ . De exacte hoeken tussen de afbeeldingen van de coördinaatassen zijn:

${\begin{aligned}\alpha &=\arccos(-{\tfrac {\sqrt {7}}{4}})&\approx 131{,}4^{\circ }\approx 2{,}294\\\beta &=\arccos(-{\tfrac {1}{8}})&\approx 97{,}18^{\circ }\approx 1{,}696\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ alpha & = \ arccos (- {\ tfrac {\ sqrt {7}} {4}}) & \ approx 131 {,} 4 ^ {\ circ} \ approx 2 {, } 294 \\\ beta & = \ arccos (- {\ tfrac {1} {8}}) & \ approx 97 {,} 18 ^ {\ circ} \ approx 1 {,} 696 \ end {aligned} }}$ ${\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ alpha & = \ arccos (- {\ tfrac {\ sqrt {7}} {4}}) & \ approx 131 {,} 4 ^ {\ circ} \ approx 2 {, } 294 \\\ beta & = \ arccos (- {\ tfrac {1} {8}}) & \ approx 97 {,} 18 ^ {\ circ} \ approx 1 {,} 696 \ end {aligned} }}$

Voor (dimetrische) verticale parallelle projectie met $v_{y}=v_{z}=2v_{x}$ ${\ displaystyle v_ {y} = v_ {z} = 2v_ {x}}$ $v_ {y} = v_ {z} = 2v_ {x}$ (zonder schaalverdeling!) geldt het volgende:

${\begin{aligned}v_{x}&={\tfrac {\sqrt {2}}{3}}&\approx 0{,}471\\v_{y}=v_{z}&={\tfrac {2{\sqrt {2}}}{3}}&\approx 0{,}942\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} v_ {x} & = {\ tfrac {\ sqrt {2}} {3}} & \ approx 0 {,} 471 \\ v_ {y} = v_ {z} & = {\ tfrac {2 {\ sqrt {2}}} {3}} & \ approx 0 {,} 942 \ end {aligned}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} v_ {x} & = {\ tfrac {\ sqrt {2}} {3}} & \ approx 0 {,} 471 \\ v_ {y} = v_ {z} & = {\ tfrac {2 {\ sqrt {2}}} {3}} & \ approx 0 {,} 942 \ end {aligned}}}$ .

Isometrische axonometrie

Voorbeelden in standaard isometrie: kubus, balk, huis en bol

(Let op de meerdere betekenissen van de term isometrie in de wiskunde.)

In isometrische axonometrie , of kortweg isometrie , zijn de vervormingen allemaal hetzelfde. De hoeken tussen de asbeelden zijn nog vrij te kiezen.

Voor de weergave die standaard isometrie wordt genoemd, geldt het volgende:

$v_{x}=v_{y}=v_{z}=1$ ${\ displaystyle v_ {x} = v_ {y} = v_ {z} = 1}$ ${\ displaystyle v_ {x} = v_ {y} = v_ {z} = 1}$ (alle assen onvervormd)
$\alpha =\beta =\gamma =120^{\circ }$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = 120 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = 120 ^ {\ circ}}$ , waar de ${\overline {z}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ $\ overlijn {z}$ -As is verticaal

De voordelen van deze keuze van parameters zijn:

De coördinaten kunnen ongewijzigd worden overgenomen,
Het axonometrische beeld is één factor ${\sqrt {1.5}}=1.225$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1.5}} = 1.225}$ ${\ sqrt {1.5}} = 1.225$ geschaalde orthogonale projectie (loodrecht parallelle projectie ). Dit resulteert in een goed beeldeffect en de omtrek van een bol is een cirkel.
Sign systemen zoals: B. xfig , biedt een driehoekig raster om het tekenen van objecten met assen evenwijdig aan de as te vergemakkelijken.

De "nadelen" zijn:

Een smet door de symmetrie is dat twee van de 8 hoekpunten van een axiaal evenwijdige kubus samenvallen (zie afbeelding).

verschillende axonometrieën van een toren

Overzicht van de speciale axonometrieën

In algemene axonometrie zijn de twee hoeken $0<\alpha ,\beta$ ${\ displaystyle 0 <\ alpha, \ beta}$ $0 <\ alfa, \ bèta$ tussen de assen en de vervormingen $0<v_{x},v_{y},v_{z}$ ${\ displaystyle 0 <v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}}$ $0 <v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}$ (vrijwel) vrij te kiezen. Zodat alle drie de asbeelden niet op een rechte lijn liggen, moet $0<\alpha +\beta <360^{\circ }$ ${\ displaystyle 0 <\ alpha + \ beta <360 ^ {\ circ}}$ $0 <\ alpha + \ beta <360 ^ {\ circ}$ wezen. Deze beperking van de keuze van hoeken garandeert een zicht van bovenaf onder een hoek. de beperking $360<\alpha +\beta <720^{\circ }$ ${\ displaystyle 360 <\ alpha + \ beta <720 ^ {\ circ}}$ $360 <\ alfa + \ bèta <720 ^ {\ circ}$ biedt uitzicht van onderaf onder een hoek. Het verwisselt de gebruikelijke oriëntatie van de x-as naar de y-as. Negatieve vervormingen zouden de gebruikelijke oriëntatie van de assen veranderen.

Cirkels in axonometrie

Axonometrie: cirkels in cavalierprojectie

Bij parallelle projectie worden cirkels over het algemeen op ellipsen afgebeeld. Een belangrijk speciaal geval: een cirkel waarvan het cirkelvlak evenwijdig is aan het bord wordt onvervormd weergegeven. Dit is bijvoorbeeld het geval bij een cavalierprojectie waarbij het yz-vlak (zie voorbeeld) zonder vervorming in kaart wordt gebracht. In vogelvlucht blijven alle horizontale cirkels onvervormd. Als een cirkel wordt vervormd tot een ellips (zie afbeelding), kunt u enkele punten en een raakvlak in kaart brengen en een ellips met de hand of met een tekenprogramma in de afbeelding van het vierkant (parallelogram) passen. Opgemerkt moet worden dat de afbeeldingen van loodrechte cirkelvormige diameters over het algemeen niet de hoofdassen van de beeldellips zijn, maar eerder geconjugeerde diameters . Met behulp van de Rytz-asconstructie kunnen hieruit de hoofdassen worden gereconstrueerd. De ellips kan dan nauwkeurig worden getekend met een tekenprogramma of een elliptisch kompas. Als je alleen een passer, liniaal en een gebogen liniaal bij de hand hebt, kan de ellips verrassend goed en snel worden benaderd met behulp van de vertex cirkels van kromming (zie Ellipse of C. Leopold, p. 64). In orthogonale axonometrie kun je meestal rondkomen zonder de complexe Rytz-constructie.

Bollen in axonometrie

Vogelperspectief van een bol met vz = 1

De omtrek van een bol is gewoon een cirkel met de straal van de bol alleen in orthogonale axonometrie. Aangezien zowel technische axonometrie als standaard isometrie geschaalde orthogonale projecties zijn (zie hierboven), verschijnt de omtrek van een bol hier ook als een cirkel, zij het op schaal. In elk axonometrisch aanzicht verschijnt de omtrek van een bol als een ellips, wat de kijker kan irriteren (zie bol in isometrisch vogelperspectief). Het is daarom beter om scènes met bollen weer te geven met orthogonale axonometrie of in ieder geval in technische axonometrie of standaard isometrie.

zwellen

Ulrich Graf, Martin Barner: Beschrijvende geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9 .
Fucke, Kirch, Nickel: beschrijvende geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig, 1998, ISBN 3-446-00778-4
Cornelie Leopold: geometrische basis van architecturale representatie. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart, 2005, ISBN 3-17-018489-X

web links

WikiWoordenboek: axonometrie - uitleg van betekenissen, woordoorsprong, synoniemen, vertalingen

Normale (orthogonale) axonometrie met eenvoudige voorbeelden
Beschrijvende geometrie voor architecten (PDF; 1,5 MB). Script (Uni Darmstadt)
Basis en elementen van verkeerstechniek ( Memento van 10 augustus 2013 in het internetarchief ) (PDF; 493 kB) TU Dresden

Individueel bewijs

↑ Hans Hoischen: Technische tekening. Basis, standaarden, voorbeelden, beschrijvende geometrie . 21e editie. Girardet, Düsseldorf 1986, ISBN 3-7736-2023-3 , p. 252 , 7.6.2 Dimetrische projectie DIN 5 deel 2 .

[1] Hans Hoischen: Technische tekening. Basis, standaarden, voorbeelden, beschrijvende geometrie . 21e editie. Girardet, Düsseldorf 1986, ISBN 3-7736-2023-3 , p. 252 , 7.6.2 Dimetrische projectie DIN 5 deel 2 .

[1]