Euclidische afstand

De afstand tussen twee punten

P

{\ weergavestijl p}

P

en

P . Q

{\ weergavestijl pq}

{\ weergavestijl p.q}

wordt gedefinieerd als de lengte van uw (rechte) verbindingslijn (rood)

De Euclidische afstand is het begrip afstand in de Euclidische meetkunde . De Euclidische afstand tussen twee punten in een vlak of in de ruimte is de lengte van een lijn die deze twee punten verbindt, bijvoorbeeld gemeten met een liniaal. Deze afstand is invariant onder bewegingen ( congruentiekaarten ).

In Cartesiaanse coördinaten kan de Euclidische afstand worden berekend met behulp van de stelling van Pythagoras . Met behulp van de op deze manier verkregen formule kan het concept van de Euclidische afstand worden afgeleid van: $N$ ${\ weergavestijl n}$ $N$ - dimensionale Euclidische en unitaire vectorruimten , Euclidische puntruimten en coördinaatruimten worden veralgemeend.

"Euclidische" is de naam van deze afstand om het te onderscheiden van meer algemene afstandsvoorwaarden , zoals:

die van hyperbolische meetkunde ,
die van de Riemann-meetkunde ,
Afstanden in genormaliseerde vectorruimten ,
Afstanden in alle metrische ruimten .

Euclidische ruimte

n = 2, komt overeen met de stelling van Pythagoras

n = 3, formule resultaten van herhaalde toepassing van de stelling van Pythagoras

In het tweedimensionale Euclidische vlak of in de driedimensionale Euclidische ruimte is de Euclidische afstand correct $d(p,q)$ ${\ weergavestijl d (p, q)}$ $d (p, q)$ komt overeen met de vrije afstand . In het meer algemene geval van de $N$ ${\ weergavestijl n}$ $N$ - dimensionale Euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ is het voor twee punten of vectoren volgens de Euclidische norm $\|q-p\|_{2}$ ${\ displaystyle \ | qp \ | _ {2}}$ ${\ displaystyle \ | q-p \ | _ {2}}$ van de verschilvector tussen de twee punten. zijn de punten? $P$ ${\ weergavestijl p}$ $P$ en $Q$ ${\ weergavestijl q}$ $Q$ door de coördinaten $p=(p_{1},\ldots ,p_{n})$ ${\ displaystyle p = (p_ {1}, \ ldots, p_ {n})}$ $p = (p_ {1}, \ ldots, p_ {n})$ en $q=(q_{1},\ldots ,q_{n})$ ${\ displaystyle q = (q_ {1}, \ ldots, q_ {n})}$ ${\ displaystyle q = (q_ {1}, \ ldots, q_ {n})}$ gegeven, geldt het volgende:

d(p,q)=\|q-p\|_{2}={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+\cdots +(q_{n}-p_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(q_{i}-p_{i})^{2}}}

{\ displaystyle d (p, q) = \ | qp \ | _ {2} = {\ sqrt {(q_ {1} -p_ {1}) ^ {2} + \ cdots + (q_ {n} -p_ {n}) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (q_ {i} -p_ {i}) ^ {2}}}}

{\ displaystyle d (p, q) = \ | qp \ | _ {2} = {\ sqrt {(q_ {1} -p_ {1}) ^ {2} + \ cdots + (q_ {n} -p_ {n}) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (q_ {i} -p_ {i}) ^ {2}}}}

Een bekend speciaal geval van het berekenen van een Euclidische afstand voor $n=2$ ${\ weergavestijl n = 2}$ $n = 2$ is de stelling van Pythagoras .

De Euclidische afstand is een metriek en voldoet in het bijzonder aan de driehoeksongelijkheid . Naast de Euclidische afstand zijn er nog een aantal andere afstandsmaten. Aangezien de Euclidische afstand afkomstig is van een norm , namelijk de Euclidische norm, is deze translatie-invariant .

In de statistieken is de Euclidische afstand een speciaal geval van de gewogen Euclidische afstand en het kwadraat ervan is een speciaal geval van de Mahalanobis-afstand .

voorbeeld

De Euclidische afstand tussen de twee punten $p=(2,3,-1)$ ${\ weergavestijl p = (2,3, -1)}$ ${\ weergavestijl p = (2,3, -1)}$ en $q=(4,1,-2)$ ${\ weergavestijl q = (4,1, -2)}$ ${\ weergavestijl q = (4,1, -2)}$ is

d(p,q)={\sqrt {(4-2)^{2}+(1-3)^{2}+(-2-(-1))^{2}}}={\sqrt {2^{2}+(-2)^{2}+(-1)^{2}}}={\sqrt {9}}=3

{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(4-2) ^ {2} + (1-3) ^ {2} + (- 2 - (- 1)) ^ {2}}} = {\ sqrt {2 ^ {2} + (- 2) ^ {2} + (- 1) ^ {2}}} = {\ sqrt {9}} = 3}

{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(4-2) ^ {2} + (1-3) ^ {2} + (- 2 - (- 1)) ^ {2}}} = {\ sqrt {2 ^ {2} + (- 2) ^ {2} + (- 1) ^ {2}}} = {\ sqrt {9}} = 3}

.

Euclidische afstand tussen twee punten in de ruimte

literatuur

Hermann Schichl , Roland Steinbauer: Inleiding tot wiskundig werk . 2e herziene druk. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28646-9 , blz. 382 ev.
Winfried Schröter: Nieuwere statistische methoden en modellering in geo-ecologie . Springer, 2013, ISBN 978-3-322-83735-6 , blz. 120 ev.
Elena Deza, Michel Marie Deza: Encyclopedie van afstanden . Springer, 2009, ISBN 978-3-642-00233-5 , blz. 94

web links

Eric W. Weisstein : Afstand . In: MathWorld (Engels).
Eric W. Weisstein : Euclidische metrische gegevens . In: MathWorld (Engels).