Gebied (wiskunde)

gebied

Een oppervlak in duidelijke zin is een tweedimensionale subset van een driedimensionale ruimte , bijvoorbeeld een vlak , een tweedimensionale geometrische figuur of het grensoppervlak van een driedimensionaal lichaam . Een oppervlak kan dus zowel vlak als gebogen zijn .

Een maat voor de grootte van een gebied is de oppervlakte . In de volksmond wordt het oppervlak ook vaak "gebied" genoemd. Dit artikel gaat over het wiskundige object "gebied", niet gebied.

De exacte definities van een gebied verschillen afhankelijk van het deelgebied wiskunde . Alle definities hebben gemeen dat het oppervlak een tweedimensionaal object is.

Elementaire geometrie

Oppervlak van een vierkante piramide, ontwikkeld als een lichaamsgaas

Elementaire meetkunde kijkt naar het vlak , bijvoorbeeld veelhoeken of het binnenste van een cirkel , en noemt dergelijke objecten oppervlakken. In de driedimensionale ruimte houdt elementaire geometrie rekening met objecten zoals de cilinder en de kegel . Deze geometrische lichamen worden begrensd door vlakken (ook wel zijvlakken genoemd ). Samen vormen ze het oppervlak van het lichaam. Uitgevouwen of afgewikkeld in één vlak, vormen ze het netwerk van het lichaam. In de elementaire meetkunde wordt het begrip oppervlakte uitgelegd, maar niet gedefinieerd in wiskundige nauwkeurigheid.

Oppervlakken in de ruimte

Gebieden beschreven door vergelijkingen

Single-shell hyperboloïde

Veel oppervlakken kunnen worden beschreven door vergelijkingen: De bol (bolvormig oppervlak) met een middelpunt $(0,0,0)$ ${\ weergavestijl (0,0,0)}$ $(0,0,0)$ en straal $R$ ${\ weergavestijl r}$ $R$ er doorheen $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}}$ $x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}$ of de single-shell hyperboloïde $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = 1}$ $x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = 1$ . Men kan een dergelijke vergelijking toepassen op de vorm $f(x,y,z)=0$ ${\ displaystyle f (x, y, z) = 0}$ $f (x, y, z) = 0$ met een functie $F$ ${\ weergavestijl f}$ $F$ breng. Niet elke dergelijke vergelijking beschrijft een gebied, b.v. B. de oplossingsset bestaat uit: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 0}$ $x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 0$ vanaf het enige punt $(0,0,0)$ ${\ weergavestijl (0,0,0)}$ $(0,0,0)$ .

Zijn $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}$ een soepele functie met de eigenschap dat voor elke oplossing $(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ $(x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})$ de vergelijking $f(x,y,z)=0$ ${\ displaystyle f (x, y, z) = 0}$ $f (x, y, z) = 0$ het verloop

{\text{grad }}f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)

{\ displaystyle {\ text {grad}} f = \ left ({\ frac {\ gedeeltelijke f} {\ gedeeltelijke x}}, {\ frac {\ gedeeltelijke f} {\ gedeeltelijke y}}, {\ frac {\ gedeeltelijk f} {\ gedeeltelijk z}} \ rechts)}

{\ text {grad}} f = \ left ({\ frac {\ gedeeltelijk f} {\ gedeeltelijk x}}, {\ frac {\ gedeeltelijk f} {\ gedeeltelijk y}}, {\ frac {\ gedeeltelijk f} {\ gedeeltelijke z}} \ rechts)

is niet nul. Dan bel je $0$ ${\ weergavestijl 0}$ ${\ weergavestijl 0}$ een normale waarde van $F$ ${\ weergavestijl f}$ $F$ , en de menigte $\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:f(x,y,z)=0\}$ ${\ displaystyle \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: f (x, y, z) = 0 \}}$ $\ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: f (x, y, z) = 0 \}$ een normaal gezicht . In de algemene definitie van een regelmatig oppervlak $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ moet naar elk punt gaan $(x_{0},y_{0},z_{0})\in S$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ in S}$ $(x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ in p$ een omgeving $V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle V \ subseteq \ mathbb {R} ^ {3}}$ $V \ subseteq \ mathbb {R} ^ {3}$ en een differentieerbare functie $f\colon V\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt V \ tot \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt V \ tot \ mathbb {R}}$ bestaan zodat $0$ ${\ weergavestijl 0}$ ${\ weergavestijl 0}$ een normale waarde van $F$ ${\ weergavestijl f}$ $F$ is en $S\cap V=\{(x,y,z)\in V:f(x,y,z)=0\}$ ${\ displaystyle S \ cap V = \ {(x, y, z) \ in V: f (x, y, z) = 0 \}}$ $S \ cap V = \ {(x, y, z) \ in V: f (x, y, z) = 0 \}$ is toepasbaar.

Whitney paraplu

Een oppervlak wordt een reëel algebraïsch oppervlak genoemd als het wordt weergegeven door een polynoomfunctie $f\in \mathbb {R} [x,y,z]$ ${\ displaystyle f \ in \ mathbb {R} [x, y, z]}$ $f \ in \ mathbb {R} [x, y, z]$ kan worden beschreven. Het exacte concept van oppervlakte in echte algebraïsche meetkunde komt niet altijd overeen met het elementaire idee: een voorbeeld is de Whitney-paraplu $x^{2}-y^{2}z=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} z = 0}$ $x ^ {2} -y ^ {2} z = 0$ , die naast het gebied dat zichtbaar is op de foto ook de $z$ ${\ weergavestijl z}$ $z$ -As als stam, maar deze twee delen kunnen niet algebraïsch van elkaar worden gescheiden.

cilinder

Dubbele kegel

Tweede orde oppervlakken zijn algebraïsche oppervlakken gegeven door een polynoom van graad 2. Voorbeelden zijn de cilinder , die ook in de elementaire meetkunde wordt onderzocht, en als mogelijke vergelijking $x^{2}+y^{2}=1$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ $x ^ 2 + y ^ 2 = 1$ heeft, of de dubbele kegel met vergelijking $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = 0}$ $x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = 0$ . De dubbele kegel is geen regelmatig oppervlak, maar heeft een singulariteit op het nulpunt.

Gebieden beschreven door parametrering

Een parametrering van een patch is één op een part $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2}}$ $U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2}$ soepele onderdompeling gedefinieerd door het vlak $\phi \colon U\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ phi \ dubbele punt U \ naar \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ phi \ dubbele punt U \ naar \ mathbb {R} ^ {3}}$ . (Een afbeelding wordt immersie genoemd als de Jacobi-matrix afkomstig is van $\phi$ ${\ weergavestijl \ phi}$ $\ phi$ op elk punt van $U$ ${\ weergavestijl U}$ $u$ heeft volledige rang , of de afgeleide is injectief als de lineaire afbeelding die het vertegenwoordigt.) In het eenvoudigste geval kan $\phi$ ${\ weergavestijl \ phi}$ $\ phi$ de grafiek $(u,v)\mapsto (u,v,f(u,v))$ ${\ displaystyle (u, v) \ mapsto (u, v, f (u, v))}$ $(u, v) \ kaarten naar (u, v, f (u, v))$ een functie $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ wezen. Als u nog steeds een rolwisseling toestaat op $x, ja, z$ ${\ weergavestijl x, y, z}$ $x, y, z$ , dan zijn functiegrafieken voldoende voor de lokale beschrijving van willekeurige oppervlaktevlakken.

Een regulier gebied is in deze context een subset $S\subset \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle S \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ $S \ deelverzameling \ mathbb {R} ^ {3}$ zodat op elk punt $s\in S$ ${\ weergavestijl s \ in S}$ $s \ in S$ een omgeving $V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle V \ subseteq \ mathbb {R} ^ {3}}$ $V \ subseteq \ mathbb {R} ^ {3}$ en een parametrering $\phi \colon U\to V$ ${\ displaystyle \ phi \ dubbele punt U \ naar V}$ ${\ displaystyle \ phi \ dubbele punt U \ naar V}$ bestaat zodat $\phi$ ${\ weergavestijl \ phi}$ $\ phi$ een homeomorfisme $U\to S\cap V$ ${\ displaystyle U \ naar S \ cap V}$ $U \ naar S \ dop V$ geïnduceerd. Deze beschrijving is gelijk aan die hierboven gegeven.

Onder een ondergedompeld oppervlak wordt echter niet de duidelijke verzwakking van bovenstaande definitie verstaan, maar een abstract oppervlak $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ (zie hieronder) samen met een onderdompeling $S\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle S \ tot \ mathbb {R} ^ {3}}$ $S \ tot \ mathbb {R} ^ {3}$ .

Een gelijnd oppervlak is een oppervlak dat een interval beslaat $I\subseteq \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I \ subseteq \ mathbb {R}}$ $I \ subseteq \ mathbb {R}$ een parametrisering van het formulier

\phi \colon I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3},\ \ (u,v)\mapsto p(u)+vr(u)

{\ displaystyle \ phi \ dubbele punt I \ tijden \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}, \ \ (u, v) \ mapsto p (u) + vr (u)}

{\ displaystyle \ phi \ dubbele punt I \ tijden \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}, \ \ (u, v) \ mapsto p (u) + vr (u)}

met functies $p,r\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle p, r \ dubbele punt \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle p, r \ dubbele punt \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ bezit. Op elke basis $p(u)$ ${\ weergavestijl p (u)}$ $p (u)$ zo is een $v$ ${\ weergavestijl v}$ $v$ -Recht met richting $r(u)$ ${\ displaystyle r (u)}$ $r (u)$ gehecht aan. (De term "ruled surface" is ontstaan uit een verkeerde vertaling van de Engelse term "ruled surface": "rule" betekent niet alleen "rule", maar ook "line".) $r(u)\neq 0$ ${\ displaystyle r (u) \ neq 0}$ $r (u) \ neq 0$ voor iedereen $jij$ ${\ weergavestijl u}$ $jij$ en $p'(u)$ ${\ weergavestijl p '(u)}$ $p'(u)$ niet in het product van $r(u)$ ${\ displaystyle r (u)}$ $r (u)$ en $r'(u)$ ${\ displaystyle r '(u)}$ $r '(u)$ is een ondergedompeld oppervlak. Het oppervlaktegedeelte van de Whitney-paraplu is een gelijnd oppervlak dat is ondergedompeld met uitzondering van de punt, en de hyperboloïde met enkele schaal is een regelmatig geregeerd oppervlak.

Een omwentelingsoppervlak is een oppervlak dat wordt gegenereerd door de rotatiebeweging van een functiegrafiek rond een coördinatenas. is $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ een gladde functie wordt verkregen door te roteren $\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:y=f(x),z=0\}$ ${\ displaystyle \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: y = f (x), z = 0 \}}$ $\ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: y = f (x), z = 0 \}$ naar de $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ -As het gebied

(u,v)\mapsto (u,f(u)\cos v,f(u)\sin v)

{\ displaystyle (u, v) \ mapsto (u, f (u) \ cos v, f (u) \ sin v)}

(u, v) \ mapsto (u, f (u) \ cos v, f (u) \ sin v)

indien $f(u)>0$ ${\ displaystyle f (u)> 0}$ $f (u)> 0$ voor iedereen $jij$ ${\ weergavestijl u}$ $jij$ , krijg je een regelmatig oppervlak. Heeft $F$ ${\ weergavestijl f}$ $F$ Nulstelling, het is geen ondergedompeld oppervlak.

Differentiële geometrie van regelmatige oppervlakken

Tangentiaal vlak en normaalvector

Zijn $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ een normaal gezicht en $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ een punt op $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ . is $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ lokaal bij $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ door regelmatige parametrering $\phi \colon U\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ phi \ dubbele punt U \ naar \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ phi \ dubbele punt U \ naar \ mathbb {R} ^ {3}}$ met $x_{0}\in U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2}}$ $x_ {0} \ in U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2}$ en $\phi (x_{0})=x$ ${\ displaystyle \ phi (x_ {0}) = x}$ $\ phi (x_ {0}) = x$ gegeven, dan is de afbeelding de afgeleide $d\phi (x_{0})\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle d \ phi (x_ {0}) \ dubbele punt \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle d \ phi (x_ {0}) \ dubbele punt \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ een tweedimensionale deelruimte $T_{x}S$ ${\ displaystijl T_ {x} S}$ $T_ {x} S$ , wat het raakvlak is van $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ in $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ namen. Het beschrijvende raakvlak wordt verkregen door de deelruimte rond de vector te delen $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ verschuivingen. Een normaalvector is een vector die loodrecht staat op het raakvlak.

In de beschrijving door lokale vergelijkingen laat $V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle V \ subseteq \ mathbb {R} ^ {3}}$ $V \ subseteq \ mathbb {R} ^ {3}$ een open deelverzameling en $f\colon V\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt V \ tot \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt V \ tot \ mathbb {R}}$ een reguliere waardefunctie $0$ ${\ weergavestijl 0}$ ${\ weergavestijl 0}$ , zodat $V\cap S=\{x\in V:f(x)=0\}$ ${\ displaystyle V \ cap S = \ {x \ in V: f (x) = 0 \}}$ $V \ cap S = \ {x \ in V: f (x) = 0 \}$ is toepasbaar. Dan is het verloop van $F$ ${\ weergavestijl f}$ $F$ in alle punten van $V\cap S$ ${\ displaystijl V \ dop S}$ $V \ dop S$ telkens een normaalvector, en het raakvlak kan worden opgevat als het vlak dat loodrecht op de gradiënt staat.

kromming

Oppervlak met normaalvector en hoofdkrommingsvlakken

Zijn $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ een regelmatig oppervlak, $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ een punt op $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ en $n_{x}$ ${\ weergavestijl n_ {x}}$ $geen_ {x}$ een normale vector van lengte $1$ ${\ weergavestijl 1}$ $1$ in punt $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ . Voor een variabele raakvector $v$ ${\ weergavestijl v}$ $v$ de lengte $1$ ${\ weergavestijl 1}$ $1$ in punt $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ aanscherpen $n_{x}$ ${\ weergavestijl n_ {x}}$ $geen_ {x}$ en $v$ ${\ weergavestijl v}$ $v$ een (georiënteerd) vlak $E_{x,v}$ ${\ displaystijl E_ {x, v}}$ $E _ {{x, v}}$ omhoog, en de snit $S\cap E_{x,v}$ ${\ displaystyle S \ cap E_ {x, v}}$ $S \ hoofdletter E _ {{x, v}}$ is plaatselijk een regelmatige kromme . Zijn $\kappa _{x}(v)$ ${\ displaystyle \ kappa _ {x} (v)}$ $\ kappa _ {x} (v)$ de kromming van deze kromme, dat wil zeggen, als $C$ ${\ weergavestijl c}$ $C$ de curve geparametreerd volgens booglengte met $c(0)=x$ ${\ weergavestijl c (0) = x}$ $c (0) = x$ is dan is $c''(0)=-\kappa _{x}(v)\cdot n_{x}$ ${\ displaystyle c '' (0) = - \ kappa _ {x} (v) \ cdot n_ {x}}$ $c '' (0) = - \ kappa _ {x} (v) \ cdot n_ {x}$ . Het nummer $\kappa _{x}(v)$ ${\ displaystyle \ kappa _ {x} (v)}$ $\ kappa _ {x} (v)$ heet kromming van $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ in de richting $v$ ${\ weergavestijl v}$ $v$ . Heeft $\kappa _{x}(v)$ ${\ displaystyle \ kappa _ {x} (v)}$ $\ kappa _ {x} (v)$ niet voor iedereen $v$ ${\ weergavestijl v}$ $v$ dezelfde waarde, dan zijn er twee onderling orthogonale richtingen waarin $\kappa _{x}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {x}}$ $\ kappa _ {x}$ het maximum $\kappa _{1}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {1}}$ $\ kappa_1$ of het minimum $\kappa _{2}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {2}}$ $\ kappa_2$ accepteert. $\kappa _{1}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {1}}$ $\ kappa_1$ en $\kappa _{2}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {2}}$ $\ kappa_2$ worden de hoofdkrommingen van genoemd $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ in punt $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ , de bijbehorende richtingen hoofdrichtingen van kromming. Ze worden gebruikt om de Gauss-kromming te definiëren $K=\kappa _{1}\cdot \kappa _{2}$ ${\ displaystyle K = \ kappa _ {1} \ cdot \ kappa _ {2}}$ $K = \ kappa _ {1} \ cdot \ kappa _ {2}$ en de gemiddelde kromming $H={\tfrac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$ ${\ displaystyle H = {\ tfrac {\ kappa _ {1} + \ kappa _ {2}} {2}}}$ $H = {\ tfrac {\ kappa _ {1} + \ kappa _ {2}} 2}$ . Als je de richting van de normaalvector verandert, veranderen de hoofdkrommingen van teken , zodat de Gaussische kromming hetzelfde blijft en de gemiddelde kromming ook van teken verandert. De bol met een straal $R.$ ${\ weergavestijl R}$ $R.$ heeft Gauss-kromming $1/R^{2}$ ${\ weergavestijl 1 / R ^ {2}}$ $1 / R ^ {2}$ en gemiddelde kromming $1/R$ ${\ weergavestijl 1 / R}$ $1 / R$ (voor naar buiten gerichte normaalvectoren).

Als je instelt $\kappa _{x}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {x}}$ $\ kappa _ {x}$ door te gaan liggen $\kappa _{x}(\lambda v)=\lambda ^{2}\cdot \kappa _{x}(v)$ ${\ displaystyle \ kappa _ {x} (\ lambda v) = \ lambda ^ {2} \ cdot \ kappa _ {x} (v)}$ $\ kappa _ {x} (\ lambda v) = \ lambda ^ {2} \ cdot \ kappa _ {x} (v)$ voor iedereen $\lambda \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$ $\ lambda \ in \ R$ naar een functie gedefinieerd op het gehele raakvlak $T_{x}S\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle T_ {x} S \ tot \ mathbb {R}}$ $T_ {x} S \ tot \ mathbb {R}$ verder gaat, krijg je een vierkante vorm . De overeenkomstige bilineaire vorm wordt de tweede grondvorm genoemd ${\text{II}}_{x}$ ${\ displaystyle {\ tekst {II}} _ {x}}$ ${\ tekst {II}} _ {x}$ en kan ook worden gebeld ${\text{II}}_{x}(v_{1},v_{2})=\langle v_{1},L_{x}v_{2}\rangle$ ${\ displaystyle {\ text {II}} _ {x} (v_ {1}, v_ {2}) = \ langle v_ {1}, L_ {x} v_ {2} \ rangle}$ ${\ text {II}} _ {x} (v_ {1}, v_ {2}) = \ langle v_ {1}, L_ {x} v_ {2} \ rangle$ met de wijngaardillustratie $L_{x}:T_{x}S\to T_{x}S$ ${\ displaystyle L_ {x}: T_ {x} S \ tot T_ {x} S}$ $L_ {x}: T_ {x} S \ tot T_ {x} S$ schrijven, wat op zijn beurt de afgeleide is van de normaalvector, geïnterpreteerd als een Gauss-kaart $S\to S^{2}$ ${\ displaystyle S \ naar S ^ {2}}$ $S \ tot S ^ {2}$ , is. De belangrijkste krommingen en hoofdrichtingen van kromming zijn de eigenwaarden en eigenvectoren van de wijngaardkartering, de verbinding met de eerste beschrijving wordt gemaakt door de traagheidswet van Sylvester .

Ontwikkelbare oppervlakken zijn een klasse van oppervlakken waarvan de Gaussische kromming overal 0 is. Als een oppervlak Gaussische kromming 0 heeft en geen planaire punten, dwz geen punten waarin beide hoofdkrommingen 0 zijn, dan is het ontwikkelbaar. Oppervlakken met Gauss-kromming 0 zijn lokaal isometrisch ten opzichte van het vlak, dwz ze kunnen op het vlak worden afgebeeld zonder enige interne vormvervorming. Voorbeelden zijn cilinders en kegels, waarbij de mapping in het vlak wordt gegeven door het afwikkelen van de jacket. ^[1]

Lijn van kromming

Een regelmatige kromming op het oppervlak wordt een krommingslijn genoemd als de raakrichting op elk punt eenhoofdkrommingsrichting is . De stelling van Dupin biedt een belangrijk hulpmiddel bij het bepalen van krommingslijnen.

Voorbeelden:

De cirkels en rechte lijnen die op een verticale cirkelcilinder liggen.
De cirkels liggen op een enkelwandige roterende hyperboloïde en hyperbolen loodrecht daarop.
Cirkels op een cyclide van Dupin .

asymptoot lijn

Een regelmatige curve op een oppervlak met negatieve Gauss-kromming (de indicatrix is een hyperbool) wordt een asymptootlijn genoemd als de raaklijn ervan op elk punt de richting heeft van een asymptoot van de indicatrix van het punt. Er zijn dus twee lijnen van asymptoten op elk punt. De hoek tussen de twee wordt gehalveerd door de krommingslijnen ^[2] . Als een oppervlak een rechte lijn bevat, is dit een asymptootlijn ^[3] . De rechte lijnen op een hyperboloïde met één schil zijn bijvoorbeeld asymptootlijnen.

Oppervlakte en minimumoppervlakken

De minimale oppervlakte van Scherk ,

e^{z}\cdot \cos x=\cos y

{\ displaystyle e ^ {z} \ cdot \ cos x = \ cos y}

e ^ {z} \ cdot \ cos x = \ cos y

Met behulp van de Gram-determinant kan men het gebied van een stuk gebied definiëren en, meer in het algemeen, een integratietheorie voor gebieden ontwikkelen: Werkelijk $\phi \colon U\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ phi \ dubbele punt U \ naar \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ phi \ dubbele punt U \ naar \ mathbb {R} ^ {3}}$ een stukje van het oppervlak $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ en $f\colon S\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt S \ tot \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt S \ tot \ mathbb {R}}$ een functie, dan is de integraal van $F$ ${\ weergavestijl f}$ $F$ gedefinieerd als

\int _{\phi (U)}f=\int _{U}{\sqrt {\det(d\phi (u)\cdot d\phi (u)^{T})}}\cdot f(\phi (u))\,du

{\ displaystyle \ int _ {\ phi (U)} f = \ int _ {U} {\ sqrt {\ det (d \ phi (u) \ cdot d \ phi (u) ^ {T})}} \ cdot f (\ phi (u)) \, du}

\ int _ {{\ phi (U)}} f = \ int _ {U} {\ sqrt {\ det (d \ phi (u) \ cdot d \ phi (u) ^ {T})}} \ cdot f (\ phi (u)) \, jij

Voor integralen over geheel $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ het kan zijn dat u het gebied moet onderverdelen.

Een minimaal gebied is een gebied dat een lokaal minimaal gebied heeft, meer bepaald waarvan de parametrering een kritisch punt is voor het functionele gebied. Dergelijke vormen nemen bijvoorbeeld zeephuiden aan wanneer ze over een geschikt frame (zoals een blaasring) worden gespannen. Minimale oppervlakken worden ook gekenmerkt door het feit dat hun gemiddelde kromming overal de waarde 0 heeft.

De Gauss-kromming is een maat voor de afwijking van het lokale gebied van de waarden van het vlak: geeft aan $A(r)$ ${\ weergavestijl A (r)}$ $een (r)$ het gebied van de schijf met straal $R$ ${\ weergavestijl r}$ $R$ rond een punt, dan is de Gauss-kromming op dat punt:

K={\frac {12}{\pi }}\cdot \lim _{r\to 0}{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{r^{4}}}

{\ displaystyle K = {\ frac {12} {\ pi}} \ cdot \ lim _ {r \ to 0} {\ frac {\ pi r ^ {2} -A (r)} {r ^ {4} }}}

K = {\ frac {12} {\ pi}} \ cdot \ lim _ {{r \ to 0}} {\ frac {\ pi r ^ {2} -A (r)} {r ^ {4}} }

Oriënteerbaarheid

Mobius strip

Het begrip oriënteerbaarheid omvat de situatie dat twee zijden globaal van een oppervlak kunnen worden onderscheiden. Hét voorbeeld van een ondergrond waar dit niet mogelijk is en die niet oriënteerbaar is, is de Möbius strip . Voor een regelmatig oppervlak kunnen de twee zijden worden beschreven door het feit dat er twee normaalvectoren zijn (dwz loodrecht op het oppervlak staan) met lengte 1 op elk punt, één aan elke zijde. Als nu voor elk punt een van de twee richtingen gelijkmatig (dwz vloeiend) kan worden gekozen, wordt het oppervlak oriënteerbaar genoemd. (Er zijn andere kenmerken van oriënteerbaarheid die geen gebruik maken van de omringende ruimte of differentiatie, zie hieronder) Is $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ de verzameling nullen van de functie $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}$ met normale waarde $0$ ${\ weergavestijl 0}$ ${\ weergavestijl 0}$ , dan

{\frac {{\text{grad }}f}{|{\text{grad }}f|}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ text {grad}} f} {| {\ text {grad}} f |}}}

{\ frac {{\ tekst {grad}} f} {| {\ tekst {grad}} f |}}

op elk punt van $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ een normaalvector van lengte 1, dus zo'n oppervlak is oriënteerbaar. Evenzo kan elk compact regelmatig oppervlak zonder rand worden georiënteerd (maar niet elk compact abstract oppervlak, zoals het projectieve vlak of de kleine fles ).

Gebieden in het gebied van de topologie

Een ellipsoïde van revolutie

De niet-oriënteerbare Klein-fles

In wiskundige deelgebieden zoals topologie , differentiaaltopologie , Riemanniaanse meetkunde of functietheorie worden oppervlakken niet langer gezien als objecten die ingebed zijn in de driedimensionale ruimte, maar verzaakt men de omringende ruimte en kijkt men alleen naar het oppervlak op zich. Men spreekt van abstracte vlakken of van 2-spruitstukken.

motivatie

Zijn $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2}}$ $U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2}$ een open deelverzameling en $\phi \colon U\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ phi \ dubbele punt U \ naar \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ phi \ dubbele punt U \ naar \ mathbb {R} ^ {3}}$ een regelmatige parametrering van een patch $S=\phi (U)$ ${\ displaystyle S = \ phi (U)}$ $S = \ phi (U)$ . Men kan zich nu afvragen op welke gegevens men zich bevindt? $U$ ${\ weergavestijl U}$ $u$ moet doen alsof hij uitspraken doet over $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ waar houden. Is per definitie voor $u\in U$ ${\ weergavestijl u \ in U}$ $u \ in U$ de afleiding $d\phi (u)$ ${\ displaystyle d \ phi (u)}$ $d \ phi (u)$ een isomorfisme $\mathbb {R} ^{2}\to T_{\phi (u)}S$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ naar T _ {\ phi (u)} S}$ $\ mathbb {R} ^ {2} \ naar T _ {{\ phi (u)}} S$ . De lengte van tangentiële vectoren kan daarom worden omgezet in een bilineaire vorm

g_{u}\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\ \ (v_{1},v_{2})\mapsto \langle d\phi (u)v_{1},d\phi (u)v_{2}\rangle

{\ displaystyle g_ {u} \ dubbele punt \ mathbb {R} ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}, \ \ (v_ {1}, v_ {2}) \ mapsto \ langle d \ phi (u) v_ {1}, d \ phi (u) v_ {2} \ rangle}

g_ {u} \ dubbele punt \ mathbb {R} ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}, \ \ (v_ {1}, v_ {2}) \ mapsto \ langle d \ phi (u) v_ {1}, d \ phi (u) v_ {2} \ rangle

vertalen, de eerste fundamentele vorm hier, maar in de algemene context wordt de Riemann-metriek genoemd . De Gram-determinant voor $\phi$ ${\ weergavestijl \ phi}$ $\ phi$ is gelijk aan de determinant van de representatiematrix van $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ , dus de Riemann-metriek bevat al de informatie over gebieden en integralen $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ . De tweede grondvorm en dus de hoofdkrommingen kunnen niet alleen worden bekeken $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ zoals weergegeven in het volgende voorbeeld van een cilindersectie:

\phi \colon U=(-\pi ,\pi )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3},\ \ (u_{1},u_{2})\mapsto (\cos u_{1},\sin u_{1},u_{2})

{\ displaystyle \ phi \ dubbele punt U = (- \ pi, \ pi) \ tijden \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}, \ \ (u_ {1}, u_ {2}) \ mapsto (\ cos u_ {1}, \ sin u_ {1}, u_ {2})}

\ phi \ dubbele punt U = (- \ pi, \ pi) \ tijden \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}, \ \ (u_ {1}, u_ {2}) \ mapsto (\ cos u_ {1}, \ sin u_ {1}, u_ {2})

voor elk $u\in U$ ${\ weergavestijl u \ in U}$ $u \ in U$ is $g_{u}$ ${\ displaystyle g_ {u}}$ $g_ {u}$ het standaard scalaire product , dus de Riemann-metriek kan geen onderscheid maken tussen een cilinder en een vlak. Maar: Het theorema egregium van Carl Friedrich Gauß stelt dat de Gauss-kromming alleen afhangt van de Riemann-metriek.

Op deze manier kan het Gauss-concept van kromming worden overgedragen naar oppervlakken waarvoor geen inbedding in de Euclidische ruimte bekend is of zelfs alleen bestaat. Een voorbeeld is het hyperbolische vlak , dat een duidelijke Riemann-metriek heeft waarmee het een constante negatieve kromming heeft, maar volgens een stelling van David Hilbert geen isometrische inbedding heeft in de Euclidische ruimte. ^[4] (Isometrisch betekent hier dat de inbedding de gespecificeerde metriek induceert.)

Een ander fenomeen zijn oppervlakken zoals het echte projectieve vlak, die helemaal geen inbedding in de Euclidische ruimte toestaan, maar alleen onderdompelingen (bijvoorbeeld als een Boyiaans oppervlak ). Je kunt ze insluiten in hoger-dimensionale ruimtes, maar aangezien je uiteindelijk geïnteresseerd bent in eigenschappen die onafhankelijk zijn van de inbedding, is het voordelig om een taal te ontwikkelen waarin er geen inbeddingen meer zijn.

definitie

Op het gebied van topologie wordt de term gebied gebruikt als synoniem voor 2-dimensionale variëteit. Dat wil zeggen, een oppervlak is een speciale topologische ruimte , een tweedimensionale topologische variëteit . Dit is per definitie een Hausdorff-ruimte die lokaal homeomorf is met $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ is. De lokale homeomorfismen worden kaarten genoemd en vormen samen een atlas. Omdat het oppervlak lokaal homeomorf is met de tweedimensionale ruimte $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ één definieert dat de afmeting van het gebied slechts twee is. Een bolvormig oppervlak is bijvoorbeeld een oppervlak in termen van topologie.

Een compact oppervlak wordt ook wel gesloten genoemd als moet worden benadrukt dat het een oppervlak zonder rand is. Begrensde oppervlakken als speciale begrensde variëteiten worden gedefinieerd in de sectie Generalisaties .

Voorbeelden

Torus

De eenvoudigste compacte gebieden zijn:

de 2-dimensionale bol
de 2-dimensionale torus .

Verwante som

Verdere compacte, oriënteerbare oppervlakken worden verkregen als een samenhangende som van g tori. (De verbonden som van twee oppervlakken wordt gevormd door een 2-bol uit elk van de twee oppervlakken te snijden en de twee 1-dimensionale randbollen aan elkaar te lijmen.) Het getal g is het geslacht van het oppervlak.

Een expliciete beschrijving van het gebied van geslacht g (als gladde algebraïsche variëteit en vooral een 2-dimensionale variëteit) is bijvoorbeeld

S_{g}=\left\{(w,z)\in \mathbb {C} ^{2}:w^{2}=(z-g)\ldots (z-1)z(z+1)\ldots (z+g)\right\}

{\ displaystyle S_ {g} = \ left \ {(w, z) \ in \ mathbb {C} ^ {2}: w ^ {2} = (zg) \ ldots (z-1) z (z + 1 ) \ ldots (z + g) \ rechts \}}

{\ displaystyle S_ {g} = \ left \ {(w, z) \ in \ mathbb {C} ^ {2}: w ^ {2} = (zg) \ ldots (z-1) z (z + 1 ) \ ldots (z + g) \ rechts \}}

.

Het Euler-kenmerk van het gebied van geslacht g is 2 - 2 g .

De bol heeft een bolvormige metriek, de torus heeft vlakke metrieken, de gebieden van geslacht ten minste 2 hebben hyperbolische metrieken . De moduleruimte van hyperbolische metrieken op een bepaald gebied wordt de Teichmüllerruimte van het gebied genoemd.

Gebieden met extra structuren

De bovengenoemde oppervlakken in de topologie vormen het basisraamwerk voor de meer specifieke oppervlakken die worden onderzocht in differentiaaltopologie, Riemann-meetkunde of functietheorie. In deze wiskundige deelgebieden is het gebied voorzien van een extra structuur.

Op het gebied van differentiële topologie is het topologische oppervlak bovendien uitgerust met een differentieerbare structuur om functies te kunnen onderscheiden die op het oppervlak zijn gedefinieerd en om het raakvlak te kunnen definiëren. Aangezien het gebied werd gedefinieerd zonder een omringende ruimte, in tegenstelling tot de vorige sectie, kan de oriëntatie van het gebied niet worden gedefinieerd met behulp van een normale vector . Om deze reden is gekozen voor een (equivalente) definitie met kaarten en raakvlakken. Het vermogen van een oppervlak om zich te oriënteren is niet afhankelijk van de omringende ruimte.

In de functietheorie wordt het oppervlak niet aangevuld met een differentieerbare structuur, maar met een complexe structuur . Dergelijke oppervlakken worden Riemann-oppervlakken genoemd en de complexe structuur maakt het mogelijk om het concept van de holomorfe functie erop te definiëren. Er zijn twee verschillende dimensietermen op het gebied van Riemanniaanse oppervlakken. Aan de ene kant is het weer een speciaal geval van het topologische oppervlak en heeft dus dimensie twee; aan de andere kant beschouwt men in de functietheorie meestal het complexe getalniveau $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cong \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cong \ mathbb {R} ^ {2}}$ en begrijpt de Riemann-oppervlakken als een generalisatie hiervan. In deze context heeft het Riemann-oppervlak de (complexe) dimensie één en wordt daarom ook geïnterpreteerd als een "complexe curve". Compacte Riemann-oppervlakken zijn projectieve algebraïsche krommen , dat wil zeggen dat ze kunnen worden ingebed in een complexe projectieve ruimte zodat het beeld wordt beschreven door polynoomvergelijkingen.

Een Riemann-metriek kan ook worden gegeven op een differentieerbaar oppervlak, dat wil zeggen een scalair product op elk raakvlak, dat op een differentieerbare manier afhangt van het basispunt. Elk normaal gezicht in de $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ ontvangt een Riemann-metriek via de beperking van het standaard scalaire product. Een Riemanniaanse metriek induceert een conforme structuur op oriënteerbare oppervlakken waarin de lengtemeting verloren gaat, maar de informatie over hoeken blijft behouden. De 90 ° rotatie op de raakruimten is een bijna complexe structuur , en in het geval van oppervlakken is elke bijna complexe structuur een complexe structuur, d.w.z. elk oppervlak met een Riemann-metriek is canoniek een Riemann-oppervlak.

classificatie

Oriënteerbaar gesloten gebied naar geslacht 3

De classificatiestelling geeft een lijst van oppervlakken zodat elk gesloten oppervlak homeomorf is met precies één van hen.

Een oriënteerbaar oppervlak is homeomorf met de verbonden som van $g\geq 0$ ${\ displaystyle g \ geq 0}$ $g \ ge0$ Tori . voor $g=0$ ${\ weergavestijl g = 0}$ $g = 0$ het gaat om de bol voor $g=1$ ${\ weergavestijl g = 1}$ $g = 1$ rond de torus. Het nummer $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ is het geslacht van het oppervlak.
Een niet-oriënteerbaar oppervlak is homeomorf met een verbonden som van projectieve vlakken .

Für geschlossene differenzierbare Flächen ergibt sich dieselbe Klassifikation: jede Fläche ist diffeomorph zu genau einer der Flächen aus der Liste. Allgemein stimmen für geschlossene Flächen die Klassifikationen nach Homotopieäquivalenz , Homöomorphie , PL-Äquivalenz und Diffeomorphie alle überein.

Für riemannsche Flächen überträgt sich die Klassifikation nicht: Jede riemannsche Fläche ist orientierbar und eine orientierbare geschlossene Fläche kann wesentlich verschiedene komplexe Strukturen tragen.

Für Geschlecht 0 gibt es nur eine riemannsche Fläche, die projektive Gerade oder riemannsche Zahlenkugel .
Für Geschlecht 1 sind die riemannschen Flächen (bis auf die Wahl eines Basispunkts) elliptische Kurven und durch ihre j-Invariante klassifiziert.
Für Geschlecht $g>1$ ${\displaystyle g>1}$ $g>1$ werden die riemannschen Flächen durch den Teichmüller-Raum parametrisiert, der selbst eine $(3g-3)$ ${\displaystyle (3g-3)}$ $(3g-3)$ -dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit ist.

Der Uniformisierungssatz besagt, dass es für die (nicht notwendigerweise kompakte)universelle Überlagerung einer riemannschen Fläche nur drei Möglichkeiten gibt (entsprechend der Unterscheidung $g=0,g=1,g>1$ ${\displaystyle g=0,g=1,g>1}$ $g=0,g=1,g>1$ ):

die riemannsche Zahlenkugel
die komplexe Zahlenebene
die obere Halbebene

Geschlossene Flächen mit riemannscher Metrik sind für eine Klassifikation zu kompliziert. Einfach zusammenhängende Flächen mit konstanter Krümmung, die nicht notwendigerweise kompakt, aber vollständig sind, sind jedoch klassifizierbar: Durch Skalierung kann man sich auf die Krümmungen $+1,0,-1$ ${\displaystyle +1,0,-1}$ $+1,0,-1$ beschränken. Dann gibt jeweils bis auf Isometrie jeweils nur eine derartige Fläche:

$+1$ ${\displaystyle +1}$ $+1$ : die Einheitssphäre
$0$ ${\displaystyle 0}$ $0$ : die euklidische Ebene
$-1$ ${\displaystyle -1}$ $-1$ : die hyperbolische Ebene

Diese Aussage gilt analog für beliebige Dimensionen. Nach einem Satz von Jacques Hadamard ist auch jede einfach zusammenhängende vollständige Fläche nicht notwendigerweise konstanter, aber überall nichtpositiver Krümmung diffeomorph zur Ebene.

Verallgemeinerungen

Nimmt man in der Definition topologischer oder differenzierbarer Flächen noch die Halbebene $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x\geq 0\}$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x\geq 0\}$ $\{(x,y)\in \mathbb{R} ^{2}:x\geq 0\}$ als Modell hinzu, erhält man den Begriff der Fläche mit Rand. Punkte der Fläche, die auf die Gerade $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x=0\}$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x=0\}$ $\{(x,y)\in \mathbb{R} ^{2}:x=0\}$ abgebildet werden, werden Randpunkt genannt. Die abgeschlossene Einheitskreisscheibe in der Ebene ist beispielsweise eine differenzierbare Fläche mit Rand, das abgeschlossene Einheitsquadrat ist eine topologische Fläche mit Rand.
Teilmengen von $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ , die ähnliche Differenzierbarkeitseigenschaften wie reguläre Flächen haben, nennt man Untermannigfaltigkeiten . Untermannigfaltigkeiten der Dimension $n-1$ ${\displaystyle n-1}$ $n-1$ nennt man Hyperflächen .
Höherdimensionale Analoga der abstrakten Flächen sind topologische Mannigfaltigkeiten und differenzierbare Mannigfaltigkeiten .
Höherdimensionale Analoga der riemannschen Flächen sind komplexe Mannigfaltigkeiten . Komplexe Mannigfaltigkeiten der Dimension 2 nennt man komplexe Flächen. Sie sind vierdimensionale reelle Mannigfaltigkeiten.

Literatur

Flächen im Raum

Ethan D. Bloch: A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. Birkhäuser, Boston 1997.
Wilhelm Klingenberg: A Course in Differential Geometry. Springer, New York 1978.

Abstrakte Flächen mit riemannscher Metrik

Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8 .

Riemannsche Flächen

Hershel M. Farkas, Irwin Kra: Riemann Surfaces. Springer, New York 1980.

Klassifikation topologischer Flächen

William S. Massey: Algebraic Topology: An Introduction. Springer, Berlin 1967, ISBN 3-540-90271-6 .

Klassifikation differenzierbarer Flächen

Morris W. Hirsch: Differential Topology. Springer, New York 1976, ISBN 0-387-90148-5 .

Weblinks

Commons : Fläche – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

3D-XplorMath: Programm das viele Flächen, implizite, explizite, minimale oder eigene Gleichungen, visualisiert

Einzelnachweise

↑ Klingenberg, Kapitel 3.7 und 4.4
↑ Detlef Laugwitz: Differentialgeometrie , Teubner, 1960, S. 51.
↑ W. Kühnel: Differentialgeometrie , Vieweg-Verlag, 2003, ISBN 3 528 17289 4 , S. 57
↑ David Hilbert, Über Flächen von constanter Gaußscher Krümmung, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 2, No. 1 (Jan., 1901), pp. 87–99

[1] Klingenberg, Kapitel 3.7 und 4.4

[2] Detlef Laugwitz: Differentialgeometrie , Teubner, 1960, S. 51.

[3] W. Kühnel: Differentialgeometrie , Vieweg-Verlag, 2003, ISBN 3 528 17289 4 , S. 57

[4] David Hilbert, Über Flächen von constanter Gaußscher Krümmung, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 2, No. 1 (Jan., 1901), pp. 87–99

[1]

[2]

[3]

[4]