Gebied

Achternaam

Gebied
oppervlakte
Dwarsdoorsnede gebied

A.

${\ weergavestijl A}$ $A.$ (Oppervlakte)

afgeleid van

lengte

Grootte en Systeem van eenheden	eenheid	dimensie
SI	m ²	L ²
cgs	^cm2	L ²
Planck	Planck oppervlak	ħ · G · c ⁻³

Het gebied is een maat voor de grootte van een gebied . Onder een oppervlak worden tweedimensionale structuren verstaan, dat wil zeggen structuren waarin men zich in twee onafhankelijke richtingen kan bewegen. Denk hierbij aan de gebruikelijke figuren van platte geometrie zoals rechthoeken , veelhoeken , cirkels , maar ook grensvlakken van driedimensionale lichamen zoals balkjes , bollen , cilinders etc. Deze vlakken zijn voor veel toepassingen voldoende, vaak kunnen complexere vlakken worden samengesteld van hen of door hen benaderd .

De oppervlakte speelt een belangrijke rol in de wiskunde, bij de definitie van veel fysieke grootheden, maar ook in het dagelijks leven. Druk wordt bijvoorbeeld gedefinieerd als de kracht per gebied of het magnetische moment van een geleiderlus als de stroom maal het gebied eromheen. De afmetingen van onroerend goed en appartement kunnen worden vergeleken door hun oppervlakte op te geven. Met behulp van het gebied kan het materiaalverbruik, bijvoorbeeld zaden voor een veld of verf voor het schilderen van een gebied, worden geschat.

Het gebied is genormaliseerd in die zin dat het eenheidsvierkant , dat wil zeggen het vierkant met zijdelengte 1, het gebied 1 heeft; Uitgedrukt in meeteenheden heeft een vierkant met een zijde van 1 m een oppervlakte van 1 m ² . Om oppervlakken vergelijkbaar te maken door hun oppervlak, moet men eisen dat congruente oppervlakken hetzelfde oppervlak hebben en dat het oppervlak van gecombineerde oppervlakken de som is van de inhoud van de deelgebieden.

Het afmeten van oppervlakten gebeurt niet direct in de regel. In plaats daarvan worden bepaalde lengtes gemeten, waaruit vervolgens de oppervlakte wordt berekend. Om de oppervlakte van een rechthoek of een bolvormig oppervlak te meten, meet men gewoonlijk de lengte van de zijden van de rechthoek of de diameter van de bol en verkrijgt men de gewenste oppervlakte door middel van geometrische formules zoals hieronder vermeld.

Gebied van enkele geometrische figuren

Drie bekende figuren uit de vlakke meetkunde op een geblokte achtergrond

De volgende tabel bevat enkele bekende figuren uit de vlakke meetkunde, samen met formules voor het berekenen van hun oppervlakte.

Figuur / object	Benamingen	Gebied $A.$ ${\ weergavestijl A}$ $A.$
vierkant	Zijlengte $een$ ${\ weergavestijl a}$ $een$	$A=a^{2}$ ${\ weergavestijl A = een ^ {2}}$ $A = een ^ 2$
rechthoek	Zijlengtes $a,\,b$ ${\ weergavestijl a, \, b}$ $weg$	$A=a\cdot b$ ${\ displaystyle A = a \ cdot b}$ $A = a \ cdot b$
driehoek (zie ook: driehoekig gebied )	basiszijde: $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ , Hoogte $H$ ${\ weergavestijl h}$ $H$ , loodrecht op $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$	$A={\frac {g\cdot h}{2}}$ ${\ displaystyle A = {\ frac {g \ cdot h} {2}}}$ $A = \ frac {g \ cdot h} {2}$
Trapezium	zijden evenwijdig aan elkaar $a,\,c$ ${\ weergavestijl a, \, c}$ $a, \, c$ , Hoogte $H$ ${\ weergavestijl h}$ $H$ , loodrecht op $een$ ${\ weergavestijl a}$ $een$ en $C$ ${\ weergavestijl c}$ $C$	$A={\frac {a+c}{2}}\cdot h$ ${\ displaystyle A = {\ frac {a + c} {2}} \ cdot h}$ $A = \ frac {a + c} {2} \ cdot h$
Ruit	diagonalen $d_{1}$ ${\ displaystyle d_ {1}}$ $d_ {1}$ en $d_{2}$ ${\ displaystyle d_ {2}}$ $d_ {2}$	$A={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}$ ${\ displaystyle A = {\ frac {d_ {1} \ cdot d_ {2}} {2}}}$ $A = \ frac {d_1 \ cdot d_2} {2}$
parallellogram	Zijlengte $een$ ${\ weergavestijl a}$ $een$ , Hoogte $h_{a}$ ${\ displaystijl h_ {a}}$ $haha}$ , loodrecht op $een$ ${\ weergavestijl a}$ $een$	$A=a\cdot h_{a}$ ${\ displaystyle A = een \ cdot h_ {a}}$ $A = a \ cdot h_a$
cirkel	straal $R$ ${\ weergavestijl r}$ $R$ , Diameter $NS$ ${\ weergavestijl d}$ $NS$ , Cirkel nummer ${\pi }$ ${\ weergavestijl {\ pi}}$ ${\ weergavestijl {\ pi}}$	$A=\pi r^{2}={\frac {\pi }{4}}d^{2}$ ${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} = {\ frac {\ pi} {4}} d ^ {2}}$ ${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} = {\ frac {\ pi} {4}} d ^ {2}}$
Ovaal	Grote en kleine halve assen $een$ ${\ weergavestijl a}$ $een$ of. $B$ ${\ weergavestijl b}$ $B$ , Cirkel nummer ${\pi }$ ${\ weergavestijl {\ pi}}$ ${\ weergavestijl {\ pi}}$	$A=\pi ab$ ${\ displaystyle A = \ pi van}$ $A = \ pi van$
regelmatige zeshoek	Zijlengte $een$ ${\ weergavestijl a}$ $een$	$A={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}$ ${\ displaystyle A = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} a ^ {2}}$ $A = \ frac {3 \ sqrt {3}} {2} a ^ 2$

Om het gebied van een veelhoek te bepalen, kunt u het trianguleren, dat wil zeggen, het opsplitsen in driehoeken door diagonalen te tekenen, vervolgens het gebied van de driehoeken bepalen en tenslotte deze deelgebieden toevoegen. Zijn de coördinaten? $(x_{i},y_{i})$ ${\ weergavestijl (x_ {i}, y_ {i})}$ $(x_i, y_i)$ , $i=1\dotsc n$ ${\ displaystyle i = 1 \ dotsc n}$ ${\ displaystyle i = 1 \ dotsc n}$ , de $N$ ${\ weergavestijl n}$ $N$ Als de hoekpunten van de veelhoek bekend zijn in een Cartesiaans coördinatensysteem , kan het gebied worden berekend met behulp van de Gauss-trapeziumformule :

A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} + y_ {i + 1}) (x_ {i} -x_ {i + 1})}

A = \ frac {1} {2} \ sum_ {i = 1} ^ n (y_i + y_ {i + 1}) (x_i-x_ {i + 1})

Voor de indexen geldt: Met $x_{n+j}$ ${\ weergavestijl x_ {n + j}}$ ${\ weergavestijl x_ {n + j}}$ is $x_{j}$ ${\ weergavestijl x_ {j}}$ $x_ {j}$ en met $y_{n+j}$ ${\ weergavestijl y_ {n + j}}$ ${\ weergavestijl y_ {n + j}}$ is $y_{j}$ ${\ weergavestijl y_ {j}}$ $y_ {j}$ bedoelde. De som is positief als de hoekpunten worden doorlopen volgens de draairichting van het coördinatensysteem . Bij negatieve resultaten kan het zijn dat het bedrag moet worden gekozen. De stelling van Pick kan vooral worden gebruikt voor veelhoekige oppervlakken met rasterpunten als hoeken. Andere gebieden kunnen meestal gemakkelijk worden benaderd met behulp van polygonen, zodat een geschatte waarde gemakkelijk kan worden verkregen.

Berekening van sommige oppervlakken

tetraëder

Rechte kegel met ontwikkeld zijvlak

Hier zijn enkele typische formules voor het berekenen van oppervlakken:

Figuur / object	Benamingen	oppervlakte $A.$ ${\ weergavestijl A}$ $A.$
Dobbelsteen	Zijlengte $een$ ${\ weergavestijl a}$ $een$	$A=6a^{2}$ ${\ weergavestijl A = 6a ^ {2}}$ $A = 6a ^ 2$
kubusvormig	Zijlengtes $a,\,b,\,c$ ${\ weergavestijl a, \, b, \, c}$ $abc$	$A=2(ab+ac+bc)$ ${\ displaystijl A = 2 (ab + ac + bc)}$ $A = 2 (ab + ac + bc)$
tetraëder	Zijlengte $een$ ${\ weergavestijl a}$ $een$	$A={\sqrt {3}}\,a^{2}$ ${\ displaystyle A = {\ sqrt {3}} \, a ^ {2}}$ $A = \ sqrt {3} \, a ^ 2$
kogel (zie ook: bolvormig oppervlak )	straal $R$ ${\ weergavestijl r}$ $R$ , Diameter $NS$ ${\ weergavestijl d}$ $NS$	$A=4\pi r^{2}=\pi d^{2}$ ${\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2} = \ pi d ^ {2}}$ ${\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2} = \ pi d ^ {2}}$
cilinder	Basis straal $R$ ${\ weergavestijl r}$ $R$ , Hoogte $H$ ${\ weergavestijl h}$ $H$	$A=2\pi r(r+h)$ ${\ displaystyle A = 2 \ pi r (r + h)}$ $A = 2 \ pi r (r + h)$
ijshoorntje	Basis straal $R$ ${\ weergavestijl r}$ $R$ , Hoogte $H$ ${\ weergavestijl h}$ $H$	$A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$ ${\ displaystyle A = \ pi r (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}})}$ $A = \ pi r (r + \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2})$
Torus	Ringradius $R.$ ${\ weergavestijl R}$ $R.$ , Doorsnederadius $R$ ${\ weergavestijl r}$ $R$	$A=4\pi ^{2}\cdot R\cdot r$ ${\ displaystyle A = 4 \ pi ^ {2} \ cdot R \ cdot r}$ $A = 4 \ pi ^ 2 \ tijden R \ tijden r$

Een typische procedure voor het bepalen van dergelijke oppervlakken is het zogenaamde "rollen" of "afwikkelen" in het vlak, dat wil zeggen, men probeert het oppervlak in het vlak zo in kaart te brengen dat het oppervlak behouden blijft, en bepaalt vervolgens de gebied van de resulterende vlakken Figuur. Dit werkt echter niet bij alle oppervlakken, zoals het voorbeeld van de bol laat zien. Om dergelijke oppervlakken te bepalen, kunnen de analysemethoden die in het voorbeeld van de bal worden gebruikt, over rotatieoppervlakken gaan . Vaak leidt Guldins eerste regel ook tot snel succes, bijvoorbeeld bij de torus.

Integraalrekening

Het gebied onder de kromme van a naar b wordt benaderd door rechthoeken

De integraalrekening is onder meer ontwikkeld om oppervlakten onder krommen, dus onder functiegrafieken , te bepalen. Het idee is om het gebied tussen en $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ - om de as te benaderen door een reeks smalle rechthoeken en vervolgens de breedte van deze rechthoeken naar 0 te laten gaan in een randproces. De convergentie van deze limiet is afhankelijk van de gebruikte curve. Als men kijkt naar een beperkt gebied, bijvoorbeeld de curve over een beperkt interval $[a,b]$ ${\ weergavestijl [a, b]}$ $[weg]$ Zoals in de tekening hiernaast, laten de analysestellingen zien dat de continuïteit van de curve voldoende is om de convergentie van het limietproces te verzekeren. Het fenomeen doet zich voor dat gebieden onder de $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ -As worden negatief, wat ongewenst kan zijn bij het bepalen van gebieden. Als je dit wilt vermijden, moet je overgaan tot het bedrag van de functie.

Gauss-klokkromme

Men wil ook de intervallimieten $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ en $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ toestaan, bepaalt men eerst de gebieden voor eindige limieten $een$ ${\ weergavestijl a}$ $een$ en $B$ ${\ weergavestijl b}$ $B$ zoals zojuist beschreven en vertrekt dan in een verder grensproces $a\to -\infty$ ${\ displaystyle een \ tot - \ infty}$ $een \ tot - \ infty$ , $b\to +\infty$ ${\ displaystyle b \ tot + \ infty}$ $b \ tot + \ infty$ of streef naar beide. Hier kan het gebeuren dat dit limietproces niet convergeert, bijvoorbeeld in het geval van oscillerende functies zoals de sinusfunctie . Als je je beperkt tot functies die hun functiegrafieken in het bovenste halve vlak hebben, kunnen deze oscillatie-effecten niet meer optreden, maar het komt voor dat het gebied tussen curve en $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ -As wordt oneindig. Aangezien de totale oppervlakte oneindig groot is, is dit zelfs een plausibel en uiteindelijk ook verwacht resultaat. Als de curve echter voldoende snel verandert voor punten ver van 0 $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ -Asbenaderingen kan het fenomeen optreden dat een oneindig uitgestrekt oppervlak ook een eindige oppervlakte heeft. Een bekend voorbeeld dat belangrijk is voor de kansrekening is het gebied tussen de Gauss-klokkromme

f(x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}

{\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}} }

f (x) = \ tfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- \ frac {1} {2} x ^ 2}

en de $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ -As. Hoewel het gebied van $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ tot $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ genoeg is, de oppervlakte is gelijk aan 1.

Bij het berekenen van verdere oppervlakten, bijvoorbeeld ook onder discontinue krommen, komt men uiteindelijk op de vraag aan welke grootheden in het vlak überhaupt een zinvolle oppervlakte moet worden toegekend. Deze vraag blijkt moeilijk, zoals uiteengezet in het artikel over het dimensieprobleem . Het blijkt dat het hier gebruikte intuïtieve concept van oppervlakte niet zinvol kan worden uitgebreid tot alle deelverzamelingen van het vlak.

Differentiële geometrie

In differentiële meetkunde wordt het gebied van een plat of gebogen oppervlak gebruikt $F.$ ${\ weergavestijl F}$ $F.$ met de coördinaten $(u,v)$ ${\ weergavestijl (u, v)}$ $(u, v)$ berekend als oppervlakte- integraal:

\iint _{F}\mathrm {d} \sigma

{\ displaystyle \ iint _ {F} \ mathrm {d} \ sigma}

\ iint_ {F} \ mathrm d \ sigma

Het gebiedselement komt overeen met: $\mathrm {d} \sigma$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma}$ $\ wiskunde d \ sigma$ de intervalbreedte $\mathrm {d} x$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$ $\ wiskunde d x$ in eendimensionale integraalrekening . Het geeft het gebied van het parallellogram opgespannen door de raaklijnen aan de coördinaatlijnen met de zijlengtes $\mathrm {d} u$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} u}$ $\ wiskunde d u$ en $\mathrm {d} v$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} v}$ $\ wiskunde d v$ Aan. Het oppervlakte-element is afhankelijk van het coördinatensysteem en de Gauss-kromming van het oppervlak.

In cartesiaanse coördinaten $(x,y)$ ${\ weergavestijl (x, y)}$ $(x, y)$ is het oppervlakte-element? $\mathrm {d} \sigma =\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}$ $\ mathrm d \ sigma = \ mathrm d x \, \ mathrm d y$ . Op het bolvormige oppervlak met de straal $R$ ${\ weergavestijl r}$ $R$ en de lengte $L.$ ${\ weergavestijl L}$ $L.$ evenals de breedte $B.$ ${\ weergavestijl B}$ $B.$ geldt als coördinaatparameters $\mathrm {d} \sigma =r^{2}\cos B\,\mathrm {d} B\,\mathrm {d} L$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = r ^ {2} \ cos B \, \ mathrm {d} B \, \ mathrm {d} L}$ $\ mathrm d \ sigma = r ^ 2 \ cos B \, \ mathrm d B \, \ mathrm d L$ . Voor het oppervlak van een bol ( $-\pi /2\leq B\leq \pi /2,-\pi \leq L\leq \pi$ ${\ displaystyle - \ pi / 2 \ leq B \ leq \ pi / 2, - \ pi \ leq L \ leq \ pi}$ $- \ pi / 2 \ le B \ le \ pi / 2, - \ pi \ le L \ le \ pi$ ) men verkrijgt het gebied:

A=r^{2}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos B\,\mathrm {d} B\,\mathrm {d} L=r^{2}\int _{-\pi }^{\pi }\left[\sin B\right]_{-\pi /2}^{\pi /2}\,\mathrm {d} L=2r^{2}\int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {d} L=4\pi r^{2}

{\ displaystyle A = r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ cos B \, \ mathrm {d} B \, \ mathrm {d} L = r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left [\ sin B \ right] _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \, \ mathrm {d} L = 2r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ mathrm {d} L = 4 \ pi r ^ {2}}

A = r ^ 2 \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ cos B \, \ mathrm d B \, \ mathrm d L = r ^ 2 \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ links [\ sin B \ rechts] _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \, \ mathrm d L = 2 r ^ 2 \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ mathrm d L = 4 \ pi r ^ 2

Voor het berekenen van het gebiedselement is het niet absoluut noodzakelijk om de positie van een ruimtelijk gebied in de ruimte te kennen. Het oppervlakte-element kan alleen worden afgeleid uit dergelijke afmetingen die binnen het oppervlak kunnen worden gemeten, en telt dus mee voor de binnengeometrie van het oppervlak. Dit is ook de reden waarom de oppervlakte van een (bebouwbaar) oppervlak niet verandert wanneer het ontwikkeld wordt en dus bepaald kan worden door uit te groeien tot een vlak.

Oppervlakken in de natuurkunde

Oppervlakken verschijnen natuurlijk ook als een te meten grootheid in de natuurkunde. Oppervlakken worden meestal indirect gemeten met behulp van de bovenstaande formules. Typische maten waarbij oppervlakken voorkomen zijn:

Druk = kracht per gebied
Intensiteit = energie per tijd en oppervlakte
Magnetisch moment van een geleiderlus = stroom maal het bestreken gebied
Oppervlaktespanning = werk gedaan om het gebied per extra gebied te vergroten
Oppervlakte ladingsdichtheid = lading per gebied
Huidige dichtheid = stroom per stroomgebied

Oppervlakte als vector

Vaak krijgt het oppervlak ook een richting toegewezen die loodrecht op het oppervlak staat, wat het oppervlak een vector maakt en een oriëntatie geeft vanwege de twee mogelijke keuzes van de loodrechte richting. De lengte van de vector is een maat voor de oppervlakte. Met één door vectoren ${\vec {a}}$ ${\ weergavestijl {\ vec {a}}}$ ${\ vec {a}}$ en ${\vec {b}}$ ${\ weergavestijl {\ vec {b}}}$ $\ vec {b}$ beperkt parallellogram dit is het vectorproduct

{\vec {a}}\times {\vec {b}}

{\ displaystyle {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}}

\ vec {a} \ tijden \ vec {b}

.

Als er oppervlakken zijn, wordt meestal het normale vectorveld gebruikt om ze lokaal op elk punt een richting te kunnen toewijzen. Dit leidt tot fluxgrootheden die worden gedefinieerd als het scalaire product van het vectorveld en het gebied (als vector). Zo wordt de stroom berekend $I.$ ${\ weergavestijl I}$ $I.$ van de huidige dichtheid ${\vec {J}}$ ${\ weergavestijl {\ vec {J}}}$ $\ vec {J}$ volgens

I=\int \limits _{A}{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}

{\ displaystyle I = \ int \ limieten _ {A} {\ vec {J}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}}

{\ displaystyle I = \ int \ limieten _ {A} {\ vec {J}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}}

,

waar in de integraal het scalaire product

{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}

{\ displaystyle {\ vec {J}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}}

\ vec J \ cdot \ mathrm {d} \ vec A

is gevormd. Voor de evaluatie van dergelijke integralen zijn formules voor het berekenen van oppervlakken nuttig.

In de natuurkunde zijn er ook gebiedsgroottes die daadwerkelijk experimenteel worden bepaald, zoals verstrooiingsdoorsneden . De aanname hierbij is dat een deeltjesstroom een vast doelobject raakt, het zogenaamde doel, en dat de deeltjes van de deeltjesstroom de deeltjes van het doel met een zekere waarschijnlijkheid raken. Het macroscopisch gemeten verstrooiingsgedrag maakt het vervolgens mogelijk conclusies te trekken over de dwarsdoorsnede-oppervlakken die de doeldeeltjes vasthouden tegen de stroomdeeltjes. De zo bepaalde grootte heeft de afmeting van een gebied. Aangezien het verstrooiingsgedrag niet alleen afhangt van geometrische parameters, maar ook van andere interacties tussen de verstrooiingspartners, kan het gemeten oppervlak niet altijd direct gelijkgesteld worden met de geometrische doorsnede van de verstrooiingspartners. Men spreekt dan meer in het algemeen van de doorsnede , die ook de afmeting van een gebied heeft.

Oppervlakteberekening bij landmeten

In de regel kan het gebied van land, landdelen, landen of andere gebieden niet worden bepaald met behulp van de formules voor eenvoudige geometrische figuren. Dergelijke gebieden kunnen grafisch, semi-grafisch, uit veldafmetingen of uit coördinaten worden berekend. ^[1]

Voor het grafische proces moet een kaart van het gebied beschikbaar zijn. Gebieden waarvan de grenzen worden gevormd door een veelhoek, kunnen worden onderverdeeld in driehoeken of trapezoïden, waarvan de basislijnen en hoogten worden gemeten. Uit deze metingen wordt dan de oppervlakte van de deelgebieden en tenslotte de oppervlakte van de totale oppervlakte berekend. De semi-grafische oppervlakteberekening wordt gebruikt wanneer de oppervlakte kan worden opgesplitst in smalle driehoeken, waarvan de korte basiszijde nauwkeurig in het veld is gemeten. Aangezien de relatieve fout van het gebied voornamelijk wordt bepaald door de relatieve fout van de korte basiszijde, verhoogt het meten van de basiszijde in het veld in plaats van op de kaart de nauwkeurigheid van het gebied in vergelijking met de puur grafische methode.

Onregelmatige oppervlakken kunnen worden vastgelegd met behulp van een vierkant glaspaneel. Deze heeft aan de onderzijde een raster van vierkanten waarvan de zijdelengte bekend is (bijvoorbeeld 1 millimeter). Het bord wordt op het in kaart gebrachte gebied geplaatst en het gebied wordt bepaald door de vierkanten te tellen die binnen het gebied liggen.

Een planimeterharp kan worden gebruikt voor langwerpige oppervlakken. Deze bestaat uit een vel papier met evenwijdige lijnen waarvan de uniforme afstand bekend is. De planimeterharp wordt zo op het oppervlak geplaatst dat de lijnen ongeveer loodrecht op de lengterichting van het oppervlak staan. Dit verdeelt het gebied in trapeziums, waarvan de hartlijnen worden toegevoegd met een paar verdelers. De oppervlakte kan worden berekend uit de som van de lengtes van de hartlijnen en de regelafstand.

Polaire planimeter, rechts de pen met vergrootglas, links de roller met teller, bovenaan de paal vast tijdens de meting

De planimeter , een mechanisch integratie- instrument , is met name geschikt voor het bepalen van de oppervlakte van gebieden met een kromlijnige rand. De grens moet worden overschreden met de pen van de planimeter. Bij het rijden rond het gebied draait een rol en kan de rotatie van de rol en de grootte van het gebied worden afgelezen op een mechanische of elektronische teller. De nauwkeurigheid hangt af van hoe precies de operator de rand van het gebied aflegt met de rijpen. Hoe kleiner de omtrek ten opzichte van het gebied, hoe nauwkeuriger het resultaat.

De oppervlakteberekening uit veldafmetingen kan worden gebruikt als de oppervlakte kan worden opgesplitst in driehoeken en trapeziums en de afstanden die nodig zijn voor de oppervlakteberekening in het veld worden gemeten. Als de hoekpunten van het oppervlak onder een hoek op een meetlijn zijn geplaatst met behulp van de orthogonale methode, kan het oppervlak ook worden berekend met behulp van de Gauss-trapeziumformule .

Tegenwoordig worden gebieden vaak berekend op basis van coördinaten. Dit kunnen bijvoorbeeld de coördinaten zijn van grenspunten in het vastgoedkadaster of hoekpunten van een gebied in een geografisch informatiesysteem . Vaak zijn de hoekpunten verbonden door rechte lijnen, soms ook door bogen. Daarom kan het gebied worden berekend met behulp van de Gauss-trapeziumformule. Bij cirkelbogen moet rekening worden gehouden met de cirkelsegmenten tussen de polygoonzijde en de cirkelboog. Als de inhoud van een meer onregelmatig gebied in een geografisch informatiesysteem moet worden bepaald, kan het gebied worden benaderd door een veelhoek met korte zijdelengtes.

Zie ook

Orde van grootte (gebied)

Individueel bewijs

↑ Heribert Kahmen: Topografie I. Walter de Gruyter, Berlijn 1988.

web links

WikiWoordenboek: area - uitleg van betekenissen, woordoorsprong, synoniemen, vertalingen

[1] Heribert Kahmen: Topografie I. Walter de Gruyter, Berlijn 1988.

[1]