Gauss-kromming

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
Spring naar navigatie Spring naar zoeken

In de theorie van oppervlakken in driedimensionale Euclidische ruimte ( ), een gebied van differentiële meetkunde , is de Gauss-kromming (de Gauss-maat van kromming ), genoemd naar de wiskundige Carl Friedrich Gauß , de belangrijkste krommingsterm naast de gemiddelde kromming .

definitie

Laat een regelmatig gebied worden gegeven in en een punt van dit gebied. De Gauss-kromming het gebied op dit punt is het product van de twee hoofdkrommingen en .

Zijn er en de twee belangrijkste kromtestralen.

Voorbeelden

  • In het geval van een bol (oppervlak) met een straal de Gauss-kromming wordt gegeven door .

berekening

  • Zijn , , of. , , de coëfficiënten van de eerste of tweede grondvorm , geldt de volgende formule:
  • Is het beschouwde gebied de grafiek van een functie? boven het parameterbereik: , dus voor iedereen , geldt dan voor de Gauss-kromming:
Geef hier aan en de eerste en , en de tweede partiële afgeleiden van .
  • Is het gebied als een reeks nullen een functie met normale waarde gegeven, dan wordt de Gauss-kromming berekend met de formule [1]
Het is de grootte van de gradiënt en de toevoegingen van de Hessische matrix van .

eigenschappen

teken

In elliptische punten is de Gauss-kromming positief ( ), negatief in hyperbolische punten ( ) en in parabolische punten of vlakke punten verdwijnt het.

Voorbeelden:

  • Bij een fietsbuis (= torus) zijn de punten op de velg hyperbolisch en de punten aan de buitenkant elliptisch. De twee scheidslijnen van deze twee gebieden zijn twee cirkels waarvan de punten parabolisch zijn.
  • Een ellipsoïde heeft alleen elliptische punten, een hyperbolische paraboloïde (= zadelvlak) heeft alleen hyperbolische punten.

Eigenschap van interne geometrie

De Gauss-kromming hangt alleen af ​​van de interne geometrie van het gegeven oppervlak (zie CF Gauss's Theorema egregium ). Deze zin is een uitvloeisel van de formule van Brioschi:

Zijn er , en de coëfficiënten van de eerste grondvorm. De namen , etc. staan ​​voor eerste en tweede partiële afgeleiden volgens de parameters en waarmee het gegeven gebied wordt geparametreerd. Deze vergelijking is onder andere een van de noodzakelijke integratievoorwaarden voor de Gauß-Weingarten-vergelijkingen .

Een andere formule voor het berekenen van de Gauss-kromming is:

Bij een orthogonale parametrering ( ) deze formule wordt gereduceerd tot

Als het gebied isotherm is geparametriseerd, is het van toepassing en , schrijf dan zelf

met de Laplace-operator

.

Totale kromming

De binnenhoeksom van een oppervlaktedriehoek op een negatief gekromd oppervlak is kleiner dan 180°.

De oppervlakte-integraal

de Gauss-kromming over een subset van een oppervlak wordt de totale kromming genoemd . In het geval van polygonen waarvan de randen geodetisch zijn , is er een relatie tussen de totale kromming en de som van de binnenhoeken. Geldt bijvoorbeeld voor de som van de binnenhoeken van een geodetische driehoek:

De totale kromming van een geodetische driehoek komt overeen met de afwijking van de interne hoeksom van : Overschrijdt de som van de binnenhoeken van een driehoek op een positief gekromd oppervlak , op een negatief gekromd oppervlak is de som van de binnenhoeken kleiner dan . Als de Gauss-kromming nul is, is de som van de binnenhoeken precies zoals in het platte geval .

Een veralgemening van dit feit is de stelling van Gauss-Bonnet , die een relatie beschrijft tussen de Gauss-kromming van een oppervlak en de geodetische kromming van de bijbehorende grenskromme.

literatuur

  • Manfredo Perdigão do Carmo: differentiële geometrie van krommen en oppervlakken. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7 .

Individueel bewijs

  1. Michael Spivak: Een uitgebreide inleiding tot differentiële meetkunde . 3. Uitgave. Volume 3. Publish or Perish, Houston, Texas 1999, ISBN 0-914098-72-1 , Hoofdstuk 3. Een compendium van oppervlakken.