Gnomonische projectie

Gnomonische projectie op een vlak: grote cirkels worden rechte lijnen

Een gnomonische projectie is een centrale projectie waarbij het projectiecentrum zich in het centrum van het af te beelden lichaam bevindt.

De Gnomonische projectie wordt gebruikt:

in cartografie met een projectiecentrum in het midden van de aarde voor kaartnetwerkontwerpen , vooral voor gnomonische azimutale projecties waarbij het projectieoppervlak een vlak is (zie hieronder)
in kristallografie met het projectiecentrum in het midden van het kristal .

Het type projectie of beeldoppervlak is in principe willekeurig; Een oud voorbeeld is het binnenoppervlak van een bol in een van de oudste zonnewijzers , de scaaf . Afhankelijk van de geometrie van het beeldoppervlak wordt het beeld echter sterk vervormd naar alle of afzonderlijke randen toe; De gnomonische projectie is daarom niet geschikt voor topografische kaarten .

Etymologie en geschiedenis

De term gnomonische projectie is afgeleid van gnomon (γνόμον), het Griekse woord voor de schaduwstok van een zonnewijzer , waarin de hemelbol met de zon centraal wordt weergegeven vanaf de gnomonpunt ( nodus ) op de wijzerplaat .

Met de punt van de gnomon als schaduwgevend projectiecentrum, z. B. Reeds in de oudheid werd de stand van de zon weergegeven in een zonnewijzer en gebruikt om de tijd van de dag weer te geven . Een ontwerpspecificatie voor een zonnewijzer die een gnomon bevat, is overgeleverd als The Analemma of Vitruvius .

Azimutale gnomonische projectie

Constructie van een gnomonische azimutale projectie in normale positie, geprojecteerde elementen gemarkeerd met een lijn

Gnomonische azimutale projecties zijn "getrouw aan een rechte lijn", dwz alle grootcirkels op het aardoppervlak en dus alle orthodromen worden als rechte lijnen in kaart gebracht. Als je via de kortste route van het ene punt naar het andere wilt navigeren, kun je daarom de route bepalen in een kaart met een gnomonische azimutale projectie door de punten met een rechte lijn te verbinden. Daarom worden deze kaarten samen met conforme kaarten gebruikt bij de navigatie op zee en in de lucht en bij radionavigatie .

Kristallografie maakt gebruik van het feit dat polen van tautozonale oppervlakken op rechte lijnen liggen in gnomonische azimutale projectie.

De gnomonische azimutale projectie maakt het beeld van de open halve ruimte mogelijk, beginnend bij het projectiecentrum, waarin het beeldvlak ligt. Een grootcirkel die binnen de grenzen van de halve ruimte ligt, wordt tot in het oneindige geprojecteerd (bijvoorbeeld de evenaar in de afbeelding rechts). Door vervormingen die sterk toenemen met toenemende afstand tot het centrum van de projectie, is de projectie meestal beperkt tot een hoekbereik van maximaal 60° rond de centrale as.

Gnomonische projecties in cartografie

Normale (polaire) positie

Als het projectievlak van een gnomonische azimutale projectie zich in de normale positie bevindt , dwz het raakt de aarde in een pool , worden de breedtecirkels weergegeven als concentrische cirkels rond de pool en de meridianen als radiale rechte lijnen . Het ontwerp van het kaartnetwerk kan worden uitgevoerd met behulp van kompassen en linialen .

De mapping-vergelijkingen in deze positie zijn voor de poolcoördinaten van de kaart:

\alpha =\lambda

{\ displaystyle \ alpha = \ lambda}

\ alpha = \ lambda

r=m\cdot \tan \delta

{\ displaystyle r = m \ cdot \ tan \ delta}

{\ displaystyle r = m \ cdot \ tan \ delta}

met

azimut $\alpha$ ${\ weergavestijl \ alpha}$ $\alpha$
geografische lengtegraad $\lambda$ ${\ weergavestijl \ lambda}$ $\ lambda$
Schaal factor $m$ ${\ weergavestijl m}$ $m$
straal $R$ ${\ weergavestijl r}$ $R$
brede aanvulling $\delta$ ${\ weergavestijl \ delta}$ $\delta$ = 90 ° - breedtegraad .

Transversale positie

Het contactpunt bevindt zich op de evenaar. De meridianen worden weergegeven als evenwijdige rechte lijnen, de breedtecirkels als hyperbolen . De evenaar wordt een rechte lijn die de meridianen loodrecht snijdt.

Hellende positie

De kaart raakt elk punt op het aardoppervlak (hier Japan). Het beeldt ook de meridianen af als een bundel rechte lijnen , de breedtecirkels worden kegelsneden .

Normale positie:
Noordpool
Transversale positie:
Evenaar (0 ° lengtegraad)
Hellende positie:
Japan

illustratie

Als je een bol van binnenuit verlicht (met een bijna puntachtige lichtbron in het midden van de bol) zodat het boloppervlak op een vlakke muur of het plafond wordt geprojecteerd, komt dit beeld op de muur overeen met de gnomonische azimutale projectie .

Als de bolas loodrecht op het plafond staat, worden alle evenwijdige cirkels afgebeeld als concentrische cirkels, als de bol schuin staat, als ellipsen en hyperbolen ; de meridianen blijven echter recht.

web links

Instituut voor Discrete Wiskunde en Meetkunde aan de Technische Universiteit van Wenen: Gnomonische azimutale projectie van de aarde - interactief
Instituut voor Discrete Wiskunde en Meetkunde aan de Technische Universiteit van Wenen: Gnomonische kegelprojectie van de aarde - interactief
Böhm-wandelkaarten: Gnomonische azimutale projectie - a. in verschillende posities