Lichaam (geometrie)
In de geometrie is een lichaam een driedimensionale figuur die kan worden beschreven aan de hand van zijn oppervlak . Het oppervlak van een lichaam kan zijn samengesteld uit platte of gebogen oppervlaktestukken. Als het oppervlak van een lichaam alleen uit platte stukken bestaat, is het een veelvlak . Er zijn wiskundige formules voor het berekenen van het volume en de oppervlakte van veel geometrische lichamen (zie de verzameling Geometrieformules ). Om precies te zijn, een geometrische figuur van het zojuist beschreven type wordt een driedimensionaal lichaam genoemd , omdat deze conceptualisering ook kan worden veralgemeend naar hogere dimensies.
definitie
Geometrische lichamen kunnen op verschillende manieren wiskundig worden gedefinieerd. Als driedimensionale ruimte wordt opgevat als een verzameling punten , dan is een lichaam een deelverzameling van deze punten die aan bepaalde eigenschappen voldoet.
In stereometrie is een lichaam een beperkte driedimensionale subset van driedimensionale ruimte die aan alle kanten wordt begrensd door een eindig aantal platte of gebogen oppervlaktestukken , inclusief deze grensvlakken. Een verzameling wordt beperkt genoemd als er een overeenkomstig grote bol is die de verzameling volledig omvat. De vereniging van de punten van alle grensvlakken vormt het oppervlak van het lichaam. Het oppervlak van een lichaam verdeelt de ruimte in twee afzonderlijke subsets, waarbij het inwendige van het lichaam de subset is die geen rechte lijn bevat . [1]
Bij geometrische modellering is een lichaam een beperkte en regelmatige subset van driedimensionale ruimte. Een grootheid wordt regulier genoemd als het het einde van zijn binnenste is. Deze voorwaarde zorgt ervoor dat een lichaam ook zijn rand omvat en volledig driedimensionaal is, d.w.z. geen gebieden met lagere afmetingen heeft. Op dit punt spreekt men van de homogeniteit van een lichaam. Volgens deze definitie kan een lichaam ook uit meerdere losse onderdelen bestaan. [2] [3]
Het oppervlak van een lichaam kan ook uit meerdere losse delen bestaan. Door aan elk van deze deelgebieden een oriëntatie toe te kennen, kan een lichaam ook aan de hand van zijn oppervlak worden beschreven. Men spreekt dan van de grensrepresentatie van het lichaam.
Voorbeelden
De bekendste lichamen hebben platte of cirkelvormige of bolvormige interfaces. Voorbeelden van vaste stoffen in het algemeen zijn: kubus , tetraëder , piramide , prisma , octaëder , cilinder , kegel , bol en volledige torus .
Soorten geometrische lichamen
veelvlak
Een veelvlak is een geometrisch lichaam waarvan de grenzen polygonen zijn . De meest populaire veelvlakken zijn de reguliere veelvlakken. Dit zijn de driedimensionale veelhoeken begrensd door regelmatige veelhoeken waarvan de randen alleen naar buiten wijzen en die niet oneindig groot zijn, zoals de kubus, de tetraëder of de zogenaamde voetbal . Er zijn slechts vijf soorten van deze lichamen: de Platonische lichamen, die dubbel zijn met zichzelf of met elkaar, de Archimedische lichamen en de dubbele Catalaanse lichamen, en de Johnson lichamen . Dan zijn er de prisma's en de anti- prisma's . Er zijn slechts vijf regelmatige veelvlakken waarmee een volledig alleen kamerlading mogelijk is: kubussen, driehoekig en hexagonaal prisma gedraaide dubbele wig en afgeknotte octaëder .
Convex lichaam
Als een meetkundig lichaam ook convex is , spreekt men van een convex lichaam. Alle regelmatige veelvlakken zijn convex. Bolle lichamen kunnen ook worden afgeleid uit normen , bijvoorbeeld de p-normen .
Solide van revolutie
Lichamen waarvan het oppervlak wordt geconstrueerd door een curve rond een bepaalde as te draaien, worden omwentelingslichamen genoemd. Elk snijvlak dat loodrecht op de rotatie-as staat, heeft een cirkelvormige of ringvormige vorm. Deze omvatten bol, cilinder, kegel, afgeknotte kegel, torus en omwentelingsellipsoïde. De bol heeft een bijzondere positie omdat elke rechte lijn door het middelpunt een rotatie-as is.
aanvullend
- Body netten , (fysieke) lichaam modellen en softwaretoepassingen voor dynamische ruimtelijke geometrie en CAD worden gebruikt om organen te illustreren.
- Geometrie kent formules voor het berekenen van het oppervlak en het volume van veel lichamen.
- Symmetrische eigenschappen van individuele lichamen kunnen worden weergegeven in groepentheorie .
- Kristallen zijn opgebouwd uit (geïdealiseerde) eenheidscellen, die kunnen worden opgevat als geometrische lichamen.
literatuur
- Tommy Bonnesen, W. Venkel: Theorie van convexe lichamen . American Mathematical Soc., 1971, ISBN 0-8284-0054-7 .
web links
- Uitgebreide lijst van wiskundige velden in de Engelse Wikipedia
Individueel bewijs
- ^ Walter Gellert, Herbert Kästner , Siegfried Neuber (red.): Fachlexikon ABC Mathematik . Harri Deutsch, Thun / Frankfurt am Main 1998, ISBN 3-87144-336-0 , p. 298
- ^ Max K. Agoston: Computer Graphics en geometrische modellering: implementatie en algoritmen . Springer, 2005, ISBN 1-84628-108-3 , blz. 158 .
- ↑ Leila de Floriani, Enrico Puppo: Representatie- en conversieproblemen bij solide modellering . In: George Zobrist, CY Ho (red.): Intelligente systemen en robotica . CRC Press, 2000, ISBN 90-5699-665-7 .