Cartesisch coördinatenstelsel

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
Spring naar navigatie Spring naar zoeken

Een cartesiaans coördinatensysteem is een orthogonaal coördinatensysteem . Het is vernoemd naar de gelatiniseerde naam Cartesius van de Franse wiskundige René Descartes , die het begrip "Cartesiaanse coördinaten" bekend maakte. In de twee- en driedimensionale ruimte is het het meest gebruikte coördinatenstelsel, omdat hierin veel geometrische feiten duidelijk en duidelijk kunnen worden beschreven.

Asoriëntatie en draairichting van geodetische en wiskundige coördinatensystemen

Het coördinatensysteem in de tweedimensionale ruimte

In de regel: rechtshandige cartesiaanse coördinatenstelsels

Plat (2-dimensionaal) Cartesisch coördinatensysteem met 2 punten en hun coördinaten en

De twee richtingsassen staan ​​loodrecht op elkaar, d.w.z. ze snijden elkaar in een hoek van 90°. De coördinaatlijnen zijn rechte lijnen op een constante afstand van elkaar. Uitgaande van wiskundige rechtshandigheid , wordt de horizontale as de abscis-as (van het Latijnse linea abscissa "cut line ") of rechteras genoemd. De verticale as wordt de ordinaat-as (van het Latijnse linea ordinata "geordende lijn" [1] ) of verticale as genoemd .

Vaak in de wiskunde de variabelen en gebruikt om de coördinaten aan te duiden, bijvoorbeeld wanneer rechte lijnen of krommen worden beschreven door vergelijkingen. Men spreekt dan van de As in plaats van de as van de abscis en de -As in plaats van ordinaat as . De - of. -De waarde van een punt wordt de abscis of ordinaat genoemd . Soms worden de coördinaatassen ook wel de abscis of kortweg ordinaat genoemd .

Als ezelbrug kun je je herinneren dat de namen voor en achter in het alfabet altijd bij elkaar horen: naar abscis en ordineren. Nog een ezelsbruggetje: The O rdinatenachse shows (met positieve Waarden) o ben - de x-as moet daarom (bij positief waarden) naar rechts.

Het punt , waarin de twee assen elkaar ontmoeten, wordt de coördinaat oorsprong of origo genoemd (Latijn voor "oorsprong").

voor één punt met de coördinaten en men schrijft of .

Linkshandige cartesiaanse coördinatenstelsels

In geodesie worden de XY-coördinaatassen verwisseld en geodetische coördinatensystemen zijn soms beperkt tot het eerste kwadrant om negatieve waarden te voorkomen. Voor dit doel wordt het nulpunt van het coördinatensysteem fictief naar het zuidwesten, buiten het kaartgebied, verschoven door optelconstanten te gebruiken, zodat alleen positieve coördinaatwaarden optreden (voorbeeld: Soldner-Berlijn-coördinatensysteem). Linkshandige coördinatenstelsels zijn ook te vinden in gebieden zoals economie, waar bijvoorbeeld de afhankelijke grootte van de aanbod- , prijs-verkoop- of vraagfunctie meestal niet op de verticale, maar transversale as wordt uitgezet, terwijl de onafhankelijke is in plaats daarvan op de verticale as.

Linkshandige coördinatensystemen worden ook vaak gebruikt in computergraphics . De meeste 2D-systemen gebruiken de linkerbovenhoek als (0,0).

Coördinatenstelsels met meer dan twee dimensies

In de driedimensionale ruimte is er een derde as, de ruimtelijke as ( -Axis, hier niet getoond), genaamd Applikate (in geografie : Kote ). Lig hier meestal - en -As in het vliegtuig, en de -Axis wordt gebruikt om de hoogte weer te geven. De acht delen van de ruimte gevormd door de coördinaatvlakken worden octanten genoemd . Grafisch resulteren punten hier in een puntenwolk .

Net als in het tweedimensionale geval zijn er ook driedimensionale geodetische coördinatenstelsels - en -As verwisseld terwijl de -As wijst naar boven zoals in het geval van het wiskundige coördinatensysteem.

In de veralgemening voorziet de wiskunde in hoger-dimensionale ruimten (zie: 4D ). Zo wordt de as voor de expansie in de vierde ruimtelijke dimensie soms genoemd -Axis, de richtingen van expansie als ana ("boven") en kata ("onder").

Toepassingen

Computer beelden

De huidige standaard in de industrie is het rechtshandige XYZ-coördinatensysteem, waarbij x naar rechts wijst, y naar boven wijst en z naar buiten wijst, dat wil zeggen uit het scherm. Grafische software zoals Maya en OpenGL gebruiken een rechtshandig coördinatensysteem, terwijl DirectX , pbrt en PRMan een linkshandig coördinatensysteem gebruiken. De keuze van handigheid van het coördinatensysteem speelt ook een cruciale rol als het gaat om de rotatie en het kruisproduct van twee vectoren . [2]

fysica

In de natuurkunde wordt de rechteras vaak gebruikt om tijd weer te geven gebruikt als een onafhankelijke variabele; daarvan heet dan de tijd of -Axis gesproken, terwijl de verticale as de tijdvariabele is, z. B. de afgelegde afstand of de snelheid , vertegenwoordigd en dienovereenkomstig als - of As is aangewezen.

Driedimensionale coördinatensystemen maken bijvoorbeeld de weergave mogelijk van tweedimensionale statistische verdelingen waarin de hoogte-as de kans- of dichtheidsfunctie aangeeft.

Een van de meest voorkomende toepassingen van 3-assige coördinatensystemen is waarschijnlijk voor ruimtelijke registratie en beschrijving, b.v. B. in de bouw, landmeetkunde en navigatie. In de navigatie worden ze bijvoorbeeld gebruikt om een ​​object te lokaliseren met behulp van GPS . Dit wordt gevolgd door de beschrijving van de ruimtelijke oriëntatie van objecten met behulp van hoeken, die vaak wordt geïmplementeerd met behulp van roll-, pitch- en yaw-hoeken ( RPY-hoeken ). Aarde-gerelateerde coördinatensystemen worden vaak als ongeveer cartesiaans beschouwd omdat het eigenlijk bolvormige coördinatensystemen zijn. In de meeste gevallen levert het gebruik zeer bruikbare waarden op voor de toepassing met relatief korte afstanden - de afwijkingen van de benadering zijn typisch enkele ordes van grootte kleiner dan de meetnauwkeurigheid die vereist is voor de toepassing of in de praktijk haalbaar is op basis van andere factoren.

verhaal

In Definitie 4 van de Konika schrijft Apollonios over parallellen die "op een ordelijke manier worden getekend" met de diameter van een kegelsnede. De Griekse term voor "geordend", tetagmenos , wordt in het Latijn weergegeven als ordinatim . Dat is de oorsprong van het woord ordinaat . [3]

Het eerste bekende gebruik van de woorden abscis en ordinaat is te vinden in een brief van Gottfried Wilhelm Leibniz aan Henry Oldenburg op 27 augustus 1676. [4]

synthetische geometrie

De term Cartesiaans coördinatensysteem wordt gegeneraliseerd in synthetische meetkunde voor vlakken : daar wordt een affien coördinatensysteem genoemd Cartesisch als de eenheid wijst aangrenzende hoeken in een gecentreerd vierkant zijn.

geodesie

Linkshandige cartesiaanse coördinatensystemen worden gebruikt in geodesie . De x-as ( abscis ) wordt beschouwd als de hoofdas, de y-as (ordinaat) wordt verkregen door de x-as 100 gon (90 °) rechtsom rond de oorsprong van de coördinaten te draaien. De "geodetisch positieve" draairichting is met de klok mee en niet tegen de klok in zoals de "wiskundig positieve" richting.

Vergeleken met rechtshandige Cartesiaanse coördinatenstelsels in de wiskunde, zijn de x- en y-assen verwisseld: de x-as wijst meestal naar boven in kaarten en plattegronden, de y-as naar rechts. In het geval van nationale coördinaten wijst de x-as naar het noorden en de y-as naar het oosten.

De hoogte als derde coördinaat (ook wel applicate genoemd ) is lange tijd - als het al is - afzonderlijk van de positiecoördinaten bepaald en geverifieerd. Door deze scheiding van positie en hoogte was er geen behoefte aan driedimensionale berekeningen. Naarmate echter driedimensionale ruimtelijke referenties aan belang winnen in geodesie, bijvoorbeeld door satellietpositionering , neemt ook het belang van driedimensionale coördinatensystemen toe.

Lokale coördinaten

Bij lokale coördinatenstelsels, dat wil zeggen coördinatenstelsels die (vooralsnog) niet zijn aangesloten op een landelijk dekkend referentiestelsel , worden de x-as en het nulpunt passend gekozen. Het kan bijvoorbeeld de hoofdas van een gebouw of een polygoonzijde zijn en hoeft niet naar het noorden te wijzen. De y-as wijst vanaf deze as naar rechts.

Om negatieve coördinaten te vermijden, kunnen er positieve waarden aan de coördinaten worden toegevoegd, waardoor de oorsprong van de coördinaten verschuift. Bij meetlijnen in de orthogonale methode betekenen positieve ordinaat dat een punt rechts van de meetlijn ligt, punten met negatieve ordinaat links.

Land coördinaten

Oorsprong van coördinaten

Fictief coördinatensysteem met valse oost van 500.000 m, dat in de praktijk wijdverbreid is (UTM, GK) De hoge waarde is fictief, evenals de helling van de aangrenzende lengtegraden.

Voor de lengtegraad van het grondpunt of de centrale meridiaan van een transversale Mercatorprojectie wordt in plaats van een coördinaatwaarde 0 - afhankelijk van de omvang van het in kaart te brengen gebied en andere praktische overwegingen - een willekeurige waarde ingesteld ( "false easting" , zie afb.). Op deze manier wordt een positieve "easting-waarde" (y-waarde) verkregen voor elk punt dat kan worden weergegeven.

Aangezien de noord-zuidrichting ("hoge waarde", x-waarde, "valse noorden" ) dienovereenkomstig wordt gebruikt, is er meestal een beperking tot het eerste kwadrant van het coördinatensysteem: alle kwadranten zijn gedefinieerd, maar praktisch alleen de coördinaten van de eerste kwadrant gebruikt.

Easting-waarde (y-waarde)

De juiste waarde , ook aangeduid met y , is de afstand van een punt tot de (hier verticaal lopende) abscis of x-as in vlakke Cartesiaanse coördinatenstelsels gerelateerd aan het aardoppervlak. De wettelijke waarde is dus de afstand tot de volgende centrale meridiaan en komt dus overeen met het Engelse "easting".

Voor een betere hantering in de praktijk worden negatieve wettelijke waarden vermeden (voor gebieden ten westen van de abscis of de referentiemeridiaan) door willekeurig een gedefinieerde wettelijke waarde in te stellen in plaats van nul (dwz de centrale meridiaan) (in het Engels "false easting" genoemd) Engelstalige landen, zie hierboven).

De oorsprong van de coördinaten van het Zwitserse nationale onderzoek werd bijvoorbeeld 600 km naar het westen verschoven in het gebied van Bordeaux om verwarring tussen waarden rechts en noord te voorkomen: Coördinatenwaarden onder 400.000 m moeten hoge waarden zijn, waarden hierboven zijn altijd oostwaartse waarden. Op deze manier is het niet nodig om een ​​volgorde van de coördinaatcomponenten te definiëren en kunnen verwisselingen worden herkend op basis van de waarden.

Een raster in het Gauß-Krüger-coördinatensysteem met een regelafstand van 50 km wordt over een kaart van Duitsland geplaatst.

Voorbeeld in het Gauß-Krüger-systeem (met 500 km false easting): R 4541238. R maakt duidelijk dat het de easting-waarde is. Het eerste cijfer (in dit geval 4) vertegenwoordigt het codenummer voor de respectieve lengtegraad, in dit geval (4 · 3 = 12) voor de centrale meridiaan 12 ° E. De overige getallen geven nu in meters aan hoe ver het punt van de centrale meridiaan ligt na aftrek van 500 km: 541238-500000 = 41238. De lijn die we zoeken (een punt wordt alleen verkregen met een overeenkomstige hoge waarde) is 41.238 km ten oosten van 12 ° E.

Een false-easting van 500 km voor de centrale meridiaan zoals in het UTM-coördinatensysteem zorgt ervoor dat het gehele geldige bereik van de easting-waarde (6 cijfers) tussen 100.000 en 900.000 ligt.

Het Finse YKJ-systeem verschuift de oorsprong van coördinaten met 3.500 km naar het westen om altijd 7-cijferige coördinaten horizontaal en verticaal te ontvangen.

Hoge waarde (x-waarde)

De hoge waarde , ook wel x genoemd , is de afstand tussen een punt gemeten in de noordelijke richting en zijn basispunt op de horizontaal lopende basislijn van het coördinatensysteem (hier de y-as). De term hoge waarde komt overeen met het Engelse noorden . Door overeenkomstig geselecteerde posities van de y-as (bijvoorbeeld op de evenaar voor Europa) kunnen ook altijd positieve hoge waarden worden bereikt.

Rechts- en noordwaarden vormen de tweedimensionale coördinaten van een punt.

Toepassingen

Vanwege de bolvorm van de aarde kunnen Cartesiaanse coördinatensystemen alleen gebieden met een beperkte uitbreiding in kaart brengen met praktisch geen vervormingen ( nauwkeurige lengte ). Historisch gezien waren ze gebaseerd op een lokaal fundamenteel punt van trigonometrische landmetingen en werden ze uitgerekt langs een normale loodlijn (lengte nul, centrale meridiaan), die typisch, maar niet noodzakelijk, overeenkwam met de meridiaan van het fundamentele punt. Moderne coördinatensystemen gebruiken lengtegraden als referentie of centrale meridianen, waarvan de graadwaarden deelbaar zijn door 3.

Praktische toepassingen van cartesiaanse coördinatenstelsels in geodesie zijn:

Zie ook

literatuur

  • Bertold Witte , Peter Sparla: Landmeten en de basis van statistieken voor de bouwsector . 7e editie. Wichmann, Berlijn 2011, ISBN 978-3-87907-497-6 , coördinatensystemen.

web links

Individueel bewijs

  1. ^ Duden, het grote buitenlandse woordenboek, Mannheim & Leipzig, 2000, ISBN 3-411-04162-5 .
  2. ^ Scratchapixel: Coördinatensystemen
  3. ^ Helmuth Gericke : Wiskunde in de oudheid, het oosten en het westen. Marix Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1 , blz. 132.
  4. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 jaar geometrie. 2e editie. Springer, 2005, ISBN 3-540-22471-8 , blz. 331.