Kegel (geometrie)

Rechte cirkelvormige kegel (links) en schuine cirkelvormige kegel

Een kegel of kegel is een geometrisch lichaam dat ontstaat wanneer alle punten van een begrensd en verbonden gebied dat in een vlak ligt, in een rechte lijn zijn verbonden met een punt (punt of top) buiten het vlak. Als de pleister een cirkelvormige schijf is , wordt het lichaam een cirkelvormige kegel genoemd . Het gebied wordt de basis genoemd, waarvan de grenslijn de geleidingscurve wordt genoemd, het punt de apex of top van de kegel en het gebied aan de zijkant wordt het laterale oppervlak genoemd . Een kegel heeft dus een punt (de apex), een rand (de geleidingscurve) en twee vlakken (het oppervlak en de basis).

De hoogte van de kegel betekent enerzijds de loodlijn van de punt tot de basis (de hoogte staat altijd loodrecht op de basis), maar anderzijds ook de lengte van deze loodlijn (dwz de afstand tussen de punt en de basis ).

De verbindingslijnen van de tip met de geleidingsboog genoemd oppervlaktelijnen, hun vereniging vormt het kegeloppervlak of oppervlak.

Rechte en schuine kegel

Wanneer er in de geometrie gesproken wordt over een kegel, wordt vaak het speciale geval van de rechte cirkelvormige kegel bedoeld. Een cirkelvormige kegel is een lichaam dat wordt gedefinieerd door een cirkel ( basiscirkel of basiscirkel ) en een punt buiten het vlak van de cirkel ( punt van de kegel).

Het vlak waarin de basiscirkel ligt, wordt het basis (cirkel) vlak genoemd. Onder de straal $R$ ${\ weergavestijl r}$ $R$ van de kegel wordt meestal begrepen als de straal van de basiscirkel. De rechte lijn door het middelpunt van de basiscirkel en de punt wordt de as van de kegel genoemd. de hoogte $H$ ${\ weergavestijl h}$ $H$ van de kegel is de afstand van de top tot het basisvlak; deze afstand moet loodrecht op het basisvlak worden gemeten.

Als de as loodrecht staat op het basisvlak, dan is er een rechte cirkelvormige kegel of een roterende kegel . Anders spreekt men van een schuine cirkelvormige kegel of een elliptische kegel. Elke elliptische kegel heeft twee richtingen waarin het snijpunt met een vlak een cirkel is; dit feit maakt gebruik van de stereografische projectie als trouw aan de cirkel .

De term "roterende kop" geeft aan dat het een vaste stof omwenteling. Het wordt gemaakt door een rechthoekige driehoek rond een van zijn twee benen te draaien . In dit geval worden de oppervlaktelijnen (d.w.z. de verbindingslijnen van de (rand)punten van de basiscirkel met de punt) ook wel generatoren genoemd ( $s$ ${\ weergavestijl s}$ $s$ ), terwijl ze de vacht "creëren". De openingshoek is tweemaal de hoek tussen de oppervlaktelijnen en de as van een roterende kegel. De engel $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ tussen de oppervlaktelijnen en de as wordt de halve openingshoek genoemd.

Een roterende kegel met een openingshoek van 60° heet een gelijkzijdige kegel. Deze aanduiding wordt als volgt uitgelegd: Als je zo'n kegel doorsnijdt met een vlak dat de as bevat, krijg je een gelijkzijdige driehoek.

De woordkegel (van Latijnse conus ) wordt ook gebruikt voor de roterende kegel, vooral in technologie . Het bijbehorende adjectief conisch duidt objecten aan met de vorm van een rotatiekegel of een afgeknotte kegel .

Met name in verband met kegelsneden wordt het woord "kegel" ook gebruikt in de zin van de hieronder genoemde dubbele kegel .

Hoeveelheden en formules

Rechte ronde kegel

Hoeveelheden en formules
straal van een rechte cirkelvormige kegel	$r={\sqrt {s^{2}-h^{2}}}$ ${\ displaystyle r = {\ sqrt {s ^ {2} -h ^ {2}}}}$ $r = {\ sqrt {s ^ {2} -h ^ {2}}}$
hoogte van een rechte cirkelvormige kegel	$h={\sqrt {s^{2}-r^{2}}}$ ${\ displaystyle h = {\ sqrt {s ^ {2} -r ^ {2}}}}$ $h = {\ sqrt {s ^ {2} -r ^ {2}}}$
Oppervlakte lijn van een rechte cirkelvormige kegel	$s={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$ ${\ displaystyle s = {\ sqrt {h ^ {2} + r ^ {2}}}}$ $s = {\ sqrt {h ^ {2} + r ^ {2}}}$
Halve openingshoek van een rechte cirkelvormige kegel	$\varphi =\arcsin {\frac {r}{s}}=\arctan {\frac {r}{h}}$ ${\ displaystyle \ varphi = \ arcsin {\ frac {r} {s}} = \ arctan {\ frac {r} {h}}}$ ${\ displaystyle \ varphi = \ arcsin {\ frac {r} {s}} = \ arctan {\ frac {r} {h}}}$
Diameter van de basis van een rechte cirkelvormige kegel	$d=2\cdot r=2\cdot h\cdot \tan \varphi$ ${\ displaystyle d = 2 \ cdot r = 2 \ cdot h \ cdot \ tan \ varphi}$ ${\ displaystyle d = 2 \ cdot r = 2 \ cdot h \ cdot \ tan \ varphi}$
Vloer ruimte van een cirkelvormige kegel	$A_{G}=r^{2}\cdot \pi$ ${\ displaystyle A_ {G} = r ^ {2} \ cdot \ pi}$ ${\ displaystyle A_ {G} = r ^ {2} \ cdot \ pi}$
Oppervlakte van het zijoppervlak van een rechte cirkelvormige kegel	$A_{M}=r\cdot s\cdot \pi$ ${\ displaystyle A_ {M} = r \ cdot s \ cdot \ pi}$ ${\ displaystyle A_ {M} = r \ cdot s \ cdot \ pi}$
oppervlakte van een rechte cirkelvormige kegel	$A_{O}=A_{G}+A_{M}=r\cdot \pi \cdot (r+s)$ ${\ displaystyle A_ {O} = A_ {G} + A_ {M} = r \ cdot \ pi \ cdot (r + s)}$ ${\ displaystyle A_ {O} = A_ {G} + A_ {M} = r \ cdot \ pi \ cdot (r + s)}$
volume van een cirkelvormige kegel	$V={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h={\frac {1}{3}}\cdot A_{G}\cdot h$ ${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ cdot \ pi \ cdot r ^ {2} \ cdot h = {\ frac {1} {3}} \ cdot A_ {G} \ cdot h}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ cdot \ pi \ cdot r ^ {2} \ cdot h = {\ frac {1} {3}} \ cdot A_ {G} \ cdot h}$
Traagheidsmoment van een rechte cirkelvormige kegel (Rotatie rond de symmetrieas)	massieve kegel: $J={\frac {3}{10}}\cdot m\cdot r^{2}$ ${\ displaystyle J = {\ frac {3} {10}} \ cdot m \ cdot r ^ {2}}$ ${\ displaystyle J = {\ frac {3} {10}} \ cdot m \ cdot r ^ {2}}$ Kegel jas: $J={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot r^{2},$ ${\ displaystyle J = {\ frac {1} {2}} \ cdot m \ cdot r ^ {2},}$ ${\ displaystyle J = {\ frac {1} {2}} \ cdot m \ cdot r ^ {2},}$ waarin $m$ ${\ weergavestijl m}$ $m$ de menigte is.

bewijzen

volume

Al in 1781 beschrijft Johann Friedrich Lorenz in zijn vertaling de elementen van Euclides Euclides' uitspraak: Elke kegel is het derde deel van een cilinder, die daarmee een grondvlak, ABCD, en dezelfde hoogte heeft. ^[1] In de elementaire meetkunde is de volumeformule vaak gebaseerd op het Cavalieri-principe . Men vergelijkt de gegeven cirkelvormige kegel met een piramide van hetzelfde basisoppervlak en dezelfde hoogte. Voor vlakken evenwijdig aan de basis op elke afstand, volgt uit de wetten van overeenkomst of centrische verlenging dat de corresponderende snijvlakken hetzelfde gebied hebben. Daarom moeten de twee lichamen qua volume overeenkomen. Die voor piramides van de basis $A_{G}$ ${\ weergavestijl A_ {G}}$ $A_G$ en hoogte $H$ ${\ weergavestijl h}$ $H$ geldige volumeformule

V={\frac {1}{3}}\cdot A_{G}\cdot h

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ cdot A_ {G} \ cdot h}

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ cdot A_ {G} \ cdot h}

kan daarom worden overgebracht naar de kegel. Samen met de formule voor de cirkelvormige oppervlakte verkrijgt men

V={\frac {1}{3}}\cdot r^{2}\cdot \pi \cdot h

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ cdot r ^ {2} \ cdot \ pi \ cdot h}

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ cdot r ^ {2} \ cdot \ pi \ cdot h}

.

Het is ook mogelijk om een piramide met een regelmatige n-gon als basis te gebruiken (voor $n\to \infty$ ${\ displaystyle n \ tot \ infty}$ $n \ tot \ infty$ ) bij benadering.

Een ander bewijs (hier speciaal getoond voor de rechte cirkelvormige kegel) gebruikt de integraalrekening als hulpmiddel. Er wordt een cartesiaans coördinatensysteem gebruikt, met de punt van de kegel in de oorsprong (0 | 0) en het middelpunt van de basiscirkel in het punt ( $H$ ${\ weergavestijl h}$ $H$ | 0). De kegel kan nu worden gezien als zijnde samengesteld uit een oneindig aantal cilindrische schijven van oneindig kleine (oneindig kleinere) hoogte (dikte) $\mathrm {d} x$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$ $\ mathrm dx$ . Aangezien de afstand van zo'n cilindrische schijf tot de top van de kegel wordt gegeven door de coördinaat $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ wordt gegeven, volgens de straalstelling :

Straal van een oneindig kleine cilinder:

r_{Z}(x)={\frac {r}{h}}x

{\ displaystyle r_ {Z} (x) = {\ frac {r} {h}} x}

{\ displaystyle r_ {Z} (x) = {\ frac {r} {h}} x}

Volume van een oneindig kleine cilinder:

\left({\frac {r}{h}}x\right)^{2}\pi \mathrm {d} x={\frac {r^{2}}{h^{2}}}\pi x^{2}\,\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ left ({\ frac {r} {h}} x \ right) ^ {2} \ pi \ mathrm {d} x = {\ frac {r ^ {2}} {h ^ {2}} } \ pi x ^ {2} \, \ wiskunde {d} x}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {r} {h}} x \ right) ^ {2} \ pi \ mathrm {d} x = {\ frac {r ^ {2}} {h ^ {2}} } \ pi x ^ {2} \, \ wiskunde {d} x}

Het totale volume van de roterende kegel komt overeen met het geheel van al deze oneindig kleine cilinders. Voor de berekening vormt men de bepaalde integraal met de integratiegrenzen 0 en $H$ ${\ weergavestijl h}$ $H$ :

V=\int _{0}^{h}{\frac {r^{2}}{h^{2}}}\pi x^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {r^{2}\pi }{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}\,\mathrm {d} x

{\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {h} {\ frac {r ^ {2}} {h ^ {2}}} \ pi x ^ {2} \, \ mathrm {d} x = { \ frac {r ^ {2} \ pi} {h ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {h} x ^ {2} \, \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {h} {\ frac {r ^ {2}} {h ^ {2}}} \ pi x ^ {2} \, \ mathrm {d} x = { \ frac {r ^ {2} \ pi} {h ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {h} x ^ {2} \, \ mathrm {d} x}

V={\frac {r^{2}\pi }{h^{2}}}\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{h}

{\ displaystyle V = {\ frac {r ^ {2} \ pi} {h ^ {2}}} \ left [{\ frac {x ^ {3}} {3}} \ right] _ {0} ^ {H}}

{\ displaystyle V = {\ frac {r ^ {2} \ pi} {h ^ {2}}} \ left [{\ frac {x ^ {3}} {3}} \ right] _ {0} ^ {H}}

V={\frac {r^{2}\pi }{h^{2}}}\left({\frac {h^{3}}{3}}-{\frac {0^{3}}{3}}\right)

{\ displaystyle V = {\ frac {r ^ {2} \ pi} {h ^ {2}}} \ left ({\ frac {h ^ {3}} {3}} - {\ frac {0 ^ { 3}} {3}} \ rechts)}

{\ displaystyle V = {\ frac {r ^ {2} \ pi} {h ^ {2}}} \ left ({\ frac {h ^ {3}} {3}} - {\ frac {0 ^ { 3}} {3}} \ rechts)}

V={\frac {r^{2}\pi }{h^{2}}}{\frac {h^{3}}{3}}

{\ displaystyle V = {\ frac {r ^ {2} \ pi} {h ^ {2}}} {\ frac {h ^ {3}} {3}}}

{\ displaystyle V = {\ frac {r ^ {2} \ pi} {h ^ {2}}} {\ frac {h ^ {3}} {3}}}

Dit leidt tot de bekende formule:

V={\frac {r^{2}\pi h}{3}}={\frac {1}{3}}r^{2}\pi h

{\ displaystyle V = {\ frac {r ^ {2} \ pi h} {3}} = {\ frac {1} {3}} r ^ {2} \ pi h}

{\ displaystyle V = {\ frac {r ^ {2} \ pi h} {3}} = {\ frac {1} {3}} r ^ {2} \ pi h}

.

Buitenoppervlak:

Rechte ronde kegel met een ontwikkeld zijoppervlak

Het zijoppervlak van een rechte cirkelvormige kegel is gekromd, maar bij een cirkelvormige sector afgewikkeld . De straal van deze sector komt overeen met de lengte van een oppervlaktelijn van de kegel ( $s$ ${\ weergavestijl s}$ $s$ ) overeenkomst. De centrale hoek $\alpha$ ${\ weergavestijl \ alpha}$ $\alpha$ van de cirkelsector kan worden bepaald door een verhoudingsvergelijking. Het is gerelateerd aan de 360° hoek zoals de booglengte $2\pi r$ ${\ weergavestijl 2 \ pi r}$ $2 \ pi r$ (Omtrek van de basiscirkel) tot de gehele omtrek van een cirkel met een straal $s$ ${\ weergavestijl s}$ $s$ :

{\frac {\alpha }{360^{\circ }}}={\frac {2\pi r}{2\pi s}}={\frac {r}{s}}

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {360 ^ {\ circ}}} = {\ frac {2 \ pi r} {2 \ pi s}} = {\ frac {r} {s}}}

{\ frac {\ alpha} {360 ^ {\ circ}}} = {\ frac {2 \ pi r} {2 \ pi s}} = {\ frac {r} {s}}

De oppervlakte van het mantelvlak die u zoekt, resulteert uit de formule voor de oppervlakte van een sector van een cirkel:

A_{M}={\frac {\alpha }{360^{\circ }}}s^{2}\pi ={\frac {r}{s}}s^{2}\pi =rs\pi

{\ displaystyle A_ {M} = {\ frac {\ alpha} {360 ^ {\ circ}}} s ^ {2} \ pi = {\ frac {r} {s}} s ^ {2} \ pi = rs \ pi}

{\ displaystyle A_ {M} = {\ frac {\ alpha} {360 ^ {\ circ}}} s ^ {2} \ pi = {\ frac {r} {s}} s ^ {2} \ pi = rs \ pi}

De ontwikkeling van het mantelvlak van een rechte cirkelvormige kegel wordt in de beschrijvende geometrie ongeveer met passer en liniaal uitgevoerd: zie ontwikkeling (beschrijvende geometrie) .

Middenhoek

De centrale hoek $\alpha$ ${\ weergavestijl \ alpha}$ $\alpha$ het buitenoppervlak kan worden gebaseerd op de formule

{\frac {\alpha }{360^{\circ }}}={\frac {2\pi r}{2\pi s}}={\frac {r}{s}}

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {360 ^ {\ circ}}} = {\ frac {2 \ pi r} {2 \ pi s}} = {\ frac {r} {s}}}

{\ frac {\ alpha} {360 ^ {\ circ}}} = {\ frac {2 \ pi r} {2 \ pi s}} = {\ frac {r} {s}}

worden berekend:

\alpha ={\frac {r}{s}}\cdot {360^{\circ }},

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {r} {s}} \ cdot {360 ^ {\ circ}},}

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {r} {s}} \ cdot {360 ^ {\ circ}},}

Wat betreft de halve openingshoek $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ van de kegel $\sin(\varphi )={\tfrac {r}{s}}$ ${\ displaystyle \ sin (\ varphi) = {\ tfrac {r} {s}}}$ ${\ displaystyle \ sin (\ varphi) = {\ tfrac {r} {s}}}$ is, geldt het volgende:

\alpha =\sin(\varphi )\cdot 360^{\circ }

{\ displaystyle \ alpha = \ sin (\ varphi) \ cdot 360 ^ {\ circ}}

{\ displaystyle \ alpha = \ sin (\ varphi) \ cdot 360 ^ {\ circ}}

.

Dubbele kegel

Dubbele kegel met punten die naar elkaar wijzen, vergelijkbaar met een zandloper

Een dubbele conus ontstaat als omwentelingsoppervlak van een rechte lijn rond een as die niet snijden doet loodrecht . Er zijn twee draaikegels met dezelfde openingshoek en een gemeenschappelijke as die elkaar raken aan de punt. Als je zo'n oneindige dubbele kegel met een vlak snijdt, ontstaan de kegelsneden : cirkel , ellips , parabool , hyperbool .

Analytische beschrijving

Een verticale cirkelvormige kegel (dubbele kegel) met de punt aan de oorsprong en de z-as als symmetrieas kan worden uitgedrukt door een vergelijking

$x^{2}+y^{2}=R^{2}z^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2} z ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2} z ^ {2}}$

beschrijven. Het nummer $R.$ ${\ weergavestijl R}$ $R.$ is de straal van de hoogtecirkels van de hoogten $z=\pm 1$ ${\ weergavestijl z = \ pm 1}$ ${\ weergavestijl z = \ pm 1}$ . is $R=1$ ${\ weergavestijl R = 1}$ $R = 1$ , dus de vergelijking vereenvoudigt tot

$x^{2}+y^{2}=z^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2}}$ $x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2$

en in dit geval wordt de kegel de eenheidskegel genoemd (analoog aan de eenheidscirkel).

Net zoals elke ellips het affiene beeld van de eenheidscirkel is , is elke kegel (als een kwadratisch ) het affiene beeld van de eenheidskegel. De eenvoudigste affiene toewijzingen zijn het schalen van de coördinaten. Het schalen van de x- en y-assen resulteert in kegels met vergelijkingen

$K_{ab}\colon \,{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2};\;\;a,b>0.$ ${\ displaystyle K_ {ab} \ dubbele punt \, {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = z ^ {2}; \; \; a, b> 0.}$ ${\ displaystyle K_ {ab} \ dubbele punt \, {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = z ^ {2}; \; \; a, b> 0.}$

Vectoren voor de parametrische weergave van een elliptische kegel

De verticale secties van dergelijke kegels zijn ellipsen. Het snijpunt met het hoogtevlak $z=1$ ${\ weergavestijl z = 1}$ $z = 1$ is de ellips $E\colon {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\ displaystyle E \ dubbele punt {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ ${\ displaystyle E \ dubbele punt {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ . De kegel is gelijk aan de vereniging van alle rechte lijnen (generatoren) door de top en de punten van de ellips. Beschrijft de ellips $e.$ ${\ weergavestijl E}$ $e.$ via de parametrische representatie ${\vec {x}}(t)=(a\cos t,b\sin t,1)$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t) = (a \ cos t, b \ sin t, 1)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t) = (a \ cos t, b \ sin t, 1)}$ en vertegenwoordigt de generatoren in parametrische vorm, de volgende parametrische weergave van de kegel wordt verkregen: $K_{ab}$ ${\ displaystijl K_ {van}}$ ${\ displaystijl K_ {van}}$ :

$K_{ab}\colon \,{\vec {x}}(s,t)=s\cdot (a\cos t,b\sin t,1)^{T};\;\;s\in \mathbb {R} ,\,0\leq t<2\pi$ ${\ displaystyle K_ {ab} \ dubbele punt \, {\ vec {x}} (s, t) = s \ cdot (a \ cos t, b \ sin t, 1) ^ {T}; \; \; s \ in \ mathbb {R}, \, 0 \ leq t <2 \ pi}$ ${\ displaystyle K_ {ab} \ dubbele punt \, {\ vec {x}} (s, t) = s \ cdot (a \ cos t, b \ sin t, 1) ^ {T}; \; \; s \ in \ mathbb {R}, \, 0 \ leq t <2 \ pi}$

De vergelijking van een kegel die ergens in de ruimte is geplaatst, is moeilijk te geven. De parametrische weergave van een kegel daarentegen is relatief eenvoudig:

${\vec {x}}(s,t)={\vec {q}}_{0}+s{\vec {f}}_{1}\cos t+s{\vec {f}}_{2}\sin t+s{\vec {f}}_{3};\;\;\ s\in \mathbb {R} ,\,0\leq \ t<2\pi$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (s, t) = {\ vec {q}} _ {0} + s {\ vec {f}} _ {1} \ cos t + s {\ vec {f }} _ {2} \ sin t + s {\ vec {f}} _ {3}; \; \; \ s \ in \ mathbb {R}, \, 0 \ leq \ t <2 \ pi}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (s, t) = {\ vec {q}} _ {0} + s {\ vec {f}} _ {1} \ cos t + s {\ vec {f }} _ {2} \ sin t + s {\ vec {f}} _ {3}; \; \; \ s \ in \ mathbb {R}, \, 0 \ leq \ t <2 \ pi}$

Het is ${\vec {q}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ vec {q}} _ {0}}$ ${\ vec q} _ {0}$ de bovenkant van de kegel en ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}, {\ vec {f}} _ {3}}$ ${\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}, {\ vec {f}} _ {3}$ zijn drie lineair onafhankelijke vectoren. ${\vec {f}}_{3}$ ${\ weergavestijl {\ vec {f}} _ {3}}$ ${\ vec f} _ {3}$ wijst in de richting van de kegelas (zie afbeelding). ^[2] Voor elke constante parameter $s$ ${\ weergavestijl s}$ $s$ het resultaat is een ellips waarmee men zich (samen met de punt) kan voorstellen dat de kegel ontstaat.

Zijn de drie vectoren ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}, {\ vec {f}} _ {3}}$ ${\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}, {\ vec {f}} _ {3}$ paarsgewijs orthogonaal en is $|{\vec {f}}_{1}|=|{\vec {f}}_{2}|$ ${\ displaystyle | {\ vec {f}} _ {1} | = | {\ vec {f}} _ {2} |}$ $| \ vec f_1 | = | \ vec f_2 |$ , wordt een verticale cirkelvormige kegel beschreven door de parameterweergave.

Het feit dat elke elliptische kegel altijd cirkels bevat, wordt weergegeven in het cirkelvormige doorsnedevlak.

Kegelcoördinaten (coördinatentransformatie)

Parametrische weergave

De parametrische weergave van de kegel kan als volgt worden beschreven. Met de illustratie ${\overrightarrow {P}}$ ${\ displaystyle {\ pijl naar rechts {P}}}$ ${\ displaystyle {\ pijl naar rechts {P}}}$ de kegelcoördinaten kunnen worden omgezet in cartesiaanse coördinaten. Met de illustratie ${\overrightarrow {Q}}$ ${\ displaystyle {\ pijl naar rechts {Q}}}$ ${\ displaystyle {\ pijl naar rechts {Q}}}$ de cartesiaanse coördinaten kunnen worden omgezet in kegelcoördinaten.

${\overrightarrow {P}}(\gamma ,\varphi ,\chi )={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=\chi \cdot {\begin{pmatrix}\gamma \cos(\varphi )\\\gamma \sin(\varphi )\\1\end{pmatrix}}\quad \quad \quad {\overrightarrow {Q}}(x,y,z)={\begin{pmatrix}\gamma \\\varphi \\\chi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{z}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\arctan 2(y,x)\\z\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {P}} (\ gamma, \ varphi, \ chi) = {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} = \ chi \ cdot {\ begin {pmatrix } \ gamma \ cos (\ varphi) \\\ gamma \ sin (\ varphi) \\ 1 \ end {pmatrix}} \ quad \ quad \ quad {\ pijl rechts {Q}} (x, y, z) = { \ begin {pmatrix} \ gamma \\\ varphi \\\ chi \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {z}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ arctan 2 (y, x) \\ z \ einde {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {P}} (\ gamma, \ varphi, \ chi) = {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} = \ chi \ cdot {\ begin {pmatrix } \ gamma \ cos (\ varphi) \\\ gamma \ sin (\ varphi) \\ 1 \ end {pmatrix}} \ quad \ quad \ quad {\ pijl rechts {Q}} (x, y, z) = { \ begin {pmatrix} \ gamma \\\ varphi \\\ chi \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {z}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ arctan 2 (y, x) \\ z \ einde {pmatrix}}}$

Conversie van een gegeven kegelsegment in kegelcoördinaten

Conisch segment met hoogte h en de stralen r1 en r2

De parameters van een kegelsegment worden gegeven door (zie afbeelding hiernaast):

r_{1}\leq r\leq r_{2}\quad \quad \quad 0\leq \varphi \leq 2\pi \quad \quad \quad h=z_{2}-z_{1}

{\ displaystyle r_ {1} \ leq r \ leq r_ {2} \ quad \ quad \ quad 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi \ quad \ quad \ quad h = z_ {2} -z_ {1}}

{\ displaystyle r_ {1} \ leq r \ leq r_ {2} \ quad \ quad \ quad 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi \ quad \ quad \ quad h = z_ {2} -z_ {1}}

,

Dan kunnen de limieten als volgt in kegelparameters worden uitgedrukt:

\gamma _{1}={\frac {r_{2}-r_{1}}{h}}\quad \quad \chi _{1}={\frac {r_{1}}{\gamma _{1}}}=h\cdot {\frac {r_{1}}{r_{2}-r_{1}}}\quad \quad \chi _{2}={\frac {r_{2}}{\gamma _{1}}}=h\cdot {\frac {r_{2}}{r_{2}-r_{1}}}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {r_ {2} -r_ {1}} {h}} \ quad \ quad \ chi _ {1} = {\ frac {r_ {1}} {\ gamma _ {1}}} = h \ cdot {\ frac {r_ {1}} {r_ {2} -r_ {1}}} \ quad \ quad \ chi _ {2} = {\ frac {r_ {2 }} {\ gamma _ {1}}} = h \ cdot {\ frac {r_ {2}} {r_ {2} -r_ {1}}}}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {r_ {2} -r_ {1}} {h}} \ quad \ quad \ chi _ {1} = {\ frac {r_ {1}} {\ gamma _ {1}}} = h \ cdot {\ frac {r_ {1}} {r_ {2} -r_ {1}}} \ quad \ quad \ chi _ {2} = {\ frac {r_ {2 }} {\ gamma _ {1}}} = h \ cdot {\ frac {r_ {2}} {r_ {2} -r_ {1}}}}

.

De parameters van een massief kegelsegment liggen in het bereik:

0\leq \gamma \leq \gamma _{1}\quad \quad \quad 0\leq \varphi \leq 2\pi \quad \quad \quad \chi _{1}\leq \chi \leq \chi _{2}

{\ displaystyle 0 \ leq \ gamma \ leq \ gamma _ {1} \ quad \ quad \ quad 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi \ quad \ quad \ quad \ chi _ {1} \ leq \ chi \ leq \ chi _ {2}}

{\ displaystyle 0 \ leq \ gamma \ leq \ gamma _ {1} \ quad \ quad \ quad 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi \ quad \ quad \ quad \ chi _ {1} \ leq \ chi \ leq \ chi _ {2}}

.

De volgende parameterweergave is van toepassing op het overeenkomstige mantelvlak van dit conische segment:

\gamma =\gamma _{1}\quad \quad \quad 0\leq \varphi \leq 2\pi \quad \quad \quad \chi _{1}\leq \chi \leq \chi _{2}

{\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {1} \ quad \ quad \ quad 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi \ quad \ quad \ quad \ chi _ {1} \ leq \ chi \ leq \ chi _ { 2}}

{\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {1} \ quad \ quad \ quad 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi \ quad \ quad \ quad \ chi _ {1} \ leq \ chi \ leq \ chi _ { 2}}

.

Oppervlakte normaal vector

De oppervlaktenormaalvector staat loodrecht op het laterale oppervlak van de kegel. Het is verplicht om B. stromingsberekeningen door het oppervlak uitvoeren. Het oppervlak van het zijoppervlak kan worden berekend als een dubbele integraal met behulp van de norm van de oppervlaktenormaalvector.

${\overrightarrow {n}}={\frac {\partial {\overrightarrow {P}}}{\partial \varphi }}\times {\frac {\partial {\overrightarrow {P}}}{\partial \chi }}=\chi \gamma \cdot {\begin{pmatrix}\cos(\varphi )\\\sin(\varphi )\\-\gamma \end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {n}} = {\ frac {\ gedeeltelijke {\ overrightarrow {P}}} {\ gedeeltelijke \ varphi}} \ times {\ frac {\ gedeeltelijke {\ overrightarrow {P}}} {\ gedeeltelijk \ chi}} = \ chi \ gamma \ cdot {\ begin {pmatrix} \ cos (\ varphi) \\\ sin (\ varphi) \\ - \ gamma \ einde {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {n}} = {\ frac {\ gedeeltelijke {\ overrightarrow {P}}} {\ gedeeltelijke \ varphi}} \ times {\ frac {\ gedeeltelijke {\ overrightarrow {P}}} {\ gedeeltelijk \ chi}} = \ chi \ gamma \ cdot {\ begin {pmatrix} \ cos (\ varphi) \\\ sin (\ varphi) \\ - \ gamma \ einde {pmatrix}}}$

Eenheidsvectoren van de kegelcoördinaten in cartesiaanse componenten

De eenheidsvectoren in cartesiaanse componenten worden verkregen door de raaklijnvectoren van de parametrering te normaliseren . De raakvector resulteert uit de eerste partiële afgeleide volgens de respectieve variabele. Deze drie eenheidsvectoren vormen een normale basis. Dit is geen orthonormale basis omdat niet alle eenheidsvectoren loodrecht op elkaar staan.

${\overrightarrow {e_{\gamma }}}={\frac {\partial _{\gamma }{\overrightarrow {P}}}{\left\|\partial _{\gamma }{\overrightarrow {P}}\right\|}}={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )\\\sin(\varphi )\\0\end{pmatrix}}\quad \quad {\overrightarrow {e_{\varphi }}}={\frac {\partial _{\varphi }{\overrightarrow {P}}}{\left\|\partial _{\varphi }{\overrightarrow {P}}\right\|}}={\begin{pmatrix}-\sin(\varphi )\\\cos(\varphi )\\0\end{pmatrix}}\quad \quad {\overrightarrow {e_{\chi }}}={\frac {\partial _{\chi }{\overrightarrow {P}}}{\left\|\partial _{\chi }{\overrightarrow {P}}\right\|}}={\frac {1}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}{\begin{pmatrix}\gamma \cos(\varphi )\\\gamma \sin(\varphi )\\1\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ pijl rechts {e _ {\ gamma}}} = {\ frac {\ gedeeltelijke _ {\ gamma} {\ pijl rechts {P}}} {\ links \ | \ gedeeltelijk _ {\ gamma} {\ pijl rechts { P}} \ right \ |}} = {\ begin {pmatrix} \ cos (\ varphi) \\\ sin (\ varphi) \\ 0 \ end {pmatrix}} \ quad \ quad {\ overrightarrow {e _ {\ varphi}}} = {\ frac {\ gedeeltelijke _ {\ varphi} {\ pijl rechts {P}}} {\ links \ | \ gedeeltelijk _ {\ varphi} {\ pijl rechts {P}} \ rechts \ |} } = {\ begin {pmatrix} - \ sin (\ varphi) \\\ cos (\ varphi) \\ 0 \ end {pmatrix}} \ quad \ quad {\ overrightarrow {e _ {\ chi}}} = { \ frac { \ gedeeltelijk _ {\ chi} {\ pijl rechts {P}}} {\ links \ | \ gedeeltelijk _ {\ chi} {\ pijl rechts {P}} \ rechts \ |}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ gamma ^ {2}}}} {\ begin {pmatrix} \ gamma \ cos (\ varphi) \\\ gamma \ sin (\ varphi) \\ 1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ pijl rechts {e _ {\ gamma}}} = {\ frac {\ gedeeltelijke _ {\ gamma} {\ pijl rechts {P}}} {\ links \ | \ gedeeltelijk _ {\ gamma} {\ pijl rechts { P}} \ right \ |}} = {\ begin {pmatrix} \ cos (\ varphi) \\\ sin (\ varphi) \\ 0 \ end {pmatrix}} \ quad \ quad {\ overrightarrow {e _ {\ varphi}}} = {\ frac {\ gedeeltelijke _ {\ varphi} {\ pijl rechts {P}}} {\ links \ | \ gedeeltelijk _ {\ varphi} {\ pijl rechts {P}} \ rechts \ |} } = {\ begin {pmatrix} - \ sin (\ varphi) \\\ cos (\ varphi) \\ 0 \ end {pmatrix}} \ quad \ quad {\ overrightarrow {e _ {\ chi}}} = { \ frac { \ gedeeltelijk _ {\ chi} {\ pijl rechts {P}}} {\ links \ | \ gedeeltelijk _ {\ chi} {\ pijl rechts {P}} \ rechts \ |}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ gamma ^ {2}}}} {\ begin {pmatrix} \ gamma \ cos (\ varphi) \\\ gamma \ sin (\ varphi) \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

Transformatiematrices

Jacobi-matrix (functionele matrix )

De functionele matrix en zijn inverse zijn nodig om de partiële afgeleiden later te transformeren.

$J_{f}={\frac {\partial \left(x,y,z\right)}{\partial \left(\gamma ,\varphi ,\chi \right)}}={\begin{pmatrix}\partial _{\gamma }x&\partial _{\varphi }x&\partial _{\chi }x\\\partial _{\gamma }y&\partial _{\varphi }y&\partial _{\chi }y\\\partial _{\gamma }z&\partial _{\varphi }z&\partial _{\chi }z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\chi \cos(\varphi )&-\chi \gamma \sin(\varphi )&\gamma \cos(\varphi )\\\chi \sin(\varphi )&\chi \gamma \cos(\varphi )&\gamma \sin(\varphi )\\0&0&1\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle J_ {f} = {\ frac {\ gedeeltelijke \ links (x, y, z \ rechts)} {\ gedeeltelijke \ links (\ gamma, \ varphi, \ chi \ rechts)}} = {\ begin { pmatrix} \ gedeeltelijk _ {\ gamma} x & \ gedeeltelijk _ {\ varphi} x & \ gedeeltelijk _ {\ chi} x \\\ gedeeltelijk _ {\ gamma} y & \ gedeeltelijk _ {\ varphi} y & \ gedeeltelijk _ {\ chi } y \\\ gedeeltelijk _ {\ gamma} z & \ gedeeltelijk _ {\ varphi} z & \ gedeeltelijk _ {\ chi} z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ chi \ cos (\ varphi) & - \ chi \ gamma \ sin (\ varphi) & \ gamma \ cos (\ varphi) \\\ chi \ sin (\ varphi) & \ chi \ gamma \ cos (\ varphi) & \ gamma \ sin (\ varphi) \\ 0 & 0 & 1 \ einde {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle J_ {f} = {\ frac {\ gedeeltelijke \ links (x, y, z \ rechts)} {\ gedeeltelijke \ links (\ gamma, \ varphi, \ chi \ rechts)}} = {\ begin { pmatrix} \ gedeeltelijk _ {\ gamma} x & \ gedeeltelijk _ {\ varphi} x & \ gedeeltelijk _ {\ chi} x \\\ gedeeltelijk _ {\ gamma} y & \ gedeeltelijk _ {\ varphi} y & \ gedeeltelijk _ {\ chi } y \\\ gedeeltelijk _ {\ gamma} z & \ gedeeltelijk _ {\ varphi} z & \ gedeeltelijk _ {\ chi} z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ chi \ cos (\ varphi) & - \ chi \ gamma \ sin (\ varphi) & \ gamma \ cos (\ varphi) \\\ chi \ sin (\ varphi) & \ chi \ gamma \ cos (\ varphi) & \ gamma \ sin (\ varphi) \\ 0 & 0 & 1 \ einde {pmatrix}}}$

$J_{f}^{-1}={\frac {\partial \left(\gamma ,\varphi ,\chi \right)}{\partial \left(x,y,z\right)}}={\begin{pmatrix}\partial _{x}\gamma &\partial _{y}\gamma &\partial _{z}\gamma \\\partial _{x}\varphi &\partial _{y}\varphi &\partial _{z}\varphi \\\partial _{x}\chi &\partial _{y}\chi &\partial _{z}\chi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\cos(\varphi )}{\chi }}&{\frac {\sin(\varphi )}{\chi }}&-{\frac {\gamma }{\chi }}\\-{\frac {\sin(\varphi )}{\chi \gamma }}&{\frac {\cos(\varphi )}{\chi \gamma }}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle J_ {f} ^ {- 1} = {\ frac {\ gedeeltelijke \ links (\ gamma, \ varphi, \ chi \ rechts)} {\ gedeeltelijke \ links (x, y, z \ rechts)}} = {\ begin {pmatrix} \ gedeeltelijk _ {x} \ gamma & \ gedeeltelijk _ {y} \ gamma & \ gedeeltelijk _ {z} \ gamma \\\ gedeeltelijk _ {x} \ varphi & \ gedeeltelijk _ {y} \ varphi & \ gedeeltelijk _ {z} \ varphi \\\ gedeeltelijk _ {x} \ chi & \ gedeeltelijk _ {y} \ chi & \ gedeeltelijk _ {z} \ chi \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} {\ frac {\ cos (\ varphi)} {\ chi}} & {\ frac {\ sin (\ varphi)} {\ chi}} & - {\ frac {\ gamma} {\ chi}} \ \ - {\ frac {\ sin (\ varphi)} {\ chi \ gamma}} & {\ frac {\ cos (\ varphi)} {\ chi \ gamma}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle J_ {f} ^ {- 1} = {\ frac {\ gedeeltelijke \ links (\ gamma, \ varphi, \ chi \ rechts)} {\ gedeeltelijke \ links (x, y, z \ rechts)}} = {\ begin {pmatrix} \ gedeeltelijk _ {x} \ gamma & \ gedeeltelijk _ {y} \ gamma & \ gedeeltelijk _ {z} \ gamma \\\ gedeeltelijk _ {x} \ varphi & \ gedeeltelijk _ {y} \ varphi & \ gedeeltelijk _ {z} \ varphi \\\ gedeeltelijk _ {x} \ chi & \ gedeeltelijk _ {y} \ chi & \ gedeeltelijk _ {z} \ chi \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} {\ frac {\ cos (\ varphi)} {\ chi}} & {\ frac {\ sin (\ varphi)} {\ chi}} & - {\ frac {\ gamma} {\ chi}} \ \ - {\ frac {\ sin (\ varphi)} {\ chi \ gamma}} & {\ frac {\ cos (\ varphi)} {\ chi \ gamma}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

Transformatiematrix S

De transformatiematrix is nodig om de eenheidsvectoren en vectorvelden te transformeren. De matrix is samengesteld uit de eenheidsvectoren van de parametrering als kolomvectoren. Meer details vindt u onder het artikel wijziging van basis .

$S={\begin{pmatrix}{\overrightarrow {e_{\gamma }}}&{\overrightarrow {e_{\varphi }}}&{\overrightarrow {e_{\chi }}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )&-\sin(\varphi )&{\frac {\gamma \cos(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\\\sin(\varphi )&\cos(\varphi )&{\frac {\gamma \sin(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\\0&0&{\frac {1}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\end{pmatrix}}\quad \quad \quad \quad S^{-1}={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )&\sin(\varphi )&-\gamma \\-\sin(\varphi )&\cos(\varphi )&0\\0&0&{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} {\ pijl rechts {e _ {\ gamma}}} & {\ pijl rechts {e _ {\ varphi}}} & {\ pijl rechts {e _ {\ chi}}} \ end {pmatrix }} = {\ begin {pmatrix} \ cos (\ varphi) & - \ sin (\ varphi) & {\ frac {\ gamma \ cos (\ varphi)} {\ sqrt {1+ \ gamma ^ { 2}} }} \\\ sin (\ varphi) & \ cos (\ varphi) & {\ frac {\ gamma \ sin (\ varphi)} {\ sqrt {1+ \ gamma ^ {2}}}} \ \ 0 & 0 & { \ frac {1} {\ sqrt {1+ \ gamma ^ {2}}}} \ end {pmatrix}} \ quad \ quad \ quad \ quad S ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} \ cos ( \ varphi) & \ sin (\ varphi) & - \ gamma \\ - \ sin (\ varphi) & \ cos (\ varphi) & 0 \\ 0 & 0 & {\ sqrt {1+ \ gamma ^ {2}}} \ einde {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} {\ pijl rechts {e _ {\ gamma}}} & {\ pijl rechts {e _ {\ varphi}}} & {\ pijl rechts {e _ {\ chi}}} \ end {pmatrix }} = {\ begin {pmatrix} \ cos (\ varphi) & - \ sin (\ varphi) & {\ frac {\ gamma \ cos (\ varphi)} {\ sqrt {1+ \ gamma ^ { 2}} }} \\\ sin (\ varphi) & \ cos (\ varphi) & {\ frac {\ gamma \ sin (\ varphi)} {\ sqrt {1+ \ gamma ^ {2}}}} \ \ 0 & 0 & { \ frac {1} {\ sqrt {1+ \ gamma ^ {2}}}} \ end {pmatrix}} \ quad \ quad \ quad \ quad S ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} \ cos ( \ varphi) & \ sin (\ varphi) & - \ gamma \\ - \ sin (\ varphi) & \ cos (\ varphi) & 0 \\ 0 & 0 & {\ sqrt {1+ \ gamma ^ {2}}} \ einde {pmatrix}}}$

Transformatie van de partiële afgeleiden

De partiële afgeleiden kunnen worden getransformeerd met de inverse Jacobi-matrix.

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}^{T}=(J_{f}^{-1})^{T}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial \chi }}\end{pmatrix}}^{T}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke x}} & {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke y}} & {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke z}} \ end {pmatrix}} ^ {T} = (J_ {f} ^ {- 1}) ^ {T} \ cdot {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ gedeeltelijk} {\ gedeeltelijk \ gamma}} & { \ frac {\ gedeeltelijk} {\ gedeeltelijk \ varphi}} & {\ frac {\ gedeeltelijk} {\ gedeeltelijk \ chi}} \ end {pmatrix}} ^ {T}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke x}} & {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke y}} & {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke z}} \ end {pmatrix}} ^ {T} = (J_ {f} ^ {- 1}) ^ {T} \ cdot {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ gedeeltelijk} {\ gedeeltelijk \ gamma}} & { \ frac {\ gedeeltelijk} {\ gedeeltelijk \ varphi}} & {\ frac {\ gedeeltelijk} {\ gedeeltelijk \ chi}} \ end {pmatrix}} ^ {T}}$

Het resultaat is:

${\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\cos(\varphi )}{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}-{\frac {\sin(\varphi )}{\gamma \chi }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke x}} = {\ frac {\ cos (\ varphi)} {\ chi}} {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke \ gamma}} - {\ frac {\ sin (\ varphi)} {\ gamma \ chi}} {\ frac {\ gedeeltelijk} {\ gedeeltelijk \ varphi}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke x}} = {\ frac {\ cos (\ varphi)} {\ chi}} {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke \ gamma}} - {\ frac {\ sin (\ varphi)} {\ gamma \ chi}} {\ frac {\ gedeeltelijk} {\ gedeeltelijk \ varphi}}}$

${\frac {\partial }{\partial y}}={\frac {\sin(\varphi )}{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}+{\frac {\cos(\varphi )}{\gamma \chi }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke y}} = {\ frac {\ sin (\ varphi)} {\ chi}} {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke \ gamma}} + {\ frac {\ cos (\ varphi)} {\ gamma \ chi}} {\ frac {\ gedeeltelijk} {\ gedeeltelijk \ varphi}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke y}} = {\ frac {\ sin (\ varphi)} {\ chi}} {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke \ gamma}} + {\ frac {\ cos (\ varphi)} {\ gamma \ chi}} {\ frac {\ gedeeltelijk} {\ gedeeltelijk \ varphi}}}$

${\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {\partial }{\partial \chi }}-{\frac {\gamma }{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke z}} = {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke \ chi}} - {\ frac {\ gamma} {\ chi}} {\ frac {\ gedeeltelijke } {\ gedeeltelijk \ gamma}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke z}} = {\ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke \ chi}} - {\ frac {\ gamma} {\ chi}} {\ frac {\ gedeeltelijke } {\ gedeeltelijk \ gamma}}}$

Transformatie van de eenheidsvectoren

De eenheidsvectoren kunnen worden getransformeerd met de inverse transformatiematrix.

${\begin{pmatrix}{\overrightarrow {e_{x}}}&{\overrightarrow {e_{y}}}&{\overrightarrow {e_{z}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\overrightarrow {e_{\gamma }}}&{\overrightarrow {e_{\varphi }}}&{\overrightarrow {e_{\chi }}}\end{pmatrix}}\cdot S^{-1}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ overrightarrow {e_ {x}}} & {\ overrightarrow {e_ {y}}} & {\ overrightarrow {e_ {z}}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ overrightarrow {e _ {\ gamma}}} & {\ overrightarrow {e _ {\ varphi}}} & {\ overrightarrow {e _ {\ chi}}} \ end {pmatrix}} \ cdot S ^ { -1}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ overrightarrow {e_ {x}}} & {\ overrightarrow {e_ {y}}} & {\ overrightarrow {e_ {z}}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ overrightarrow {e _ {\ gamma}}} & {\ overrightarrow {e _ {\ varphi}}} & {\ overrightarrow {e _ {\ chi}}} \ end {pmatrix}} \ cdot S ^ { -1}}$

Het resultaat is:

${\overrightarrow {e_{x}}}=\cos(\varphi )\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}-\sin(\varphi )\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}$ ${\ displaystyle {\ pijl rechts {e_ {x}}} = \ cos (\ varphi) \ cdot {\ pijl rechts {e _ {\ gamma}}} - \ sin (\ varphi) \ cdot {\ pijl rechts {e _ { \ varphi }}}}$ ${\ displaystyle {\ pijl rechts {e_ {x}}} = \ cos (\ varphi) \ cdot {\ pijl rechts {e _ {\ gamma}}} - \ sin (\ varphi) \ cdot {\ pijl rechts {e _ { \ varphi }}}}$

${\overrightarrow {e_{y}}}=\sin(\varphi )\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\cos(\varphi )\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}$ ${\ displaystyle {\ pijl rechts {e_ {y}}} = \ sin (\ varphi) \ cdot {\ pijl rechts {e _ {\ gamma}}} + \ cos (\ varphi) \ cdot {\ pijl rechts {e _ { \ varphi }}}}$ ${\overrightarrow {e_{y}}}=\sin(\varphi )\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\cos(\varphi )\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}$

${\overrightarrow {e_{z}}}={\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\cdot {\overrightarrow {e_{\chi }}}-\gamma \cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}$ ${\overrightarrow {e_{z}}}={\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\cdot {\overrightarrow {e_{\chi }}}-\gamma \cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}$ ${\overrightarrow {e_{z}}}={\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\cdot {\overrightarrow {e_{\chi }}}-\gamma \cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}$

Transformation von Vektorfeldern

Vektorfelder lassen sich durch Matrixmultiplikation mit der Transformationsmatrix transformieren.

${\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}=S\cdot {\begin{pmatrix}F_{\gamma }\\F_{\varphi }\\F_{\chi }\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}=S\cdot {\begin{pmatrix}F_{\gamma }\\F_{\varphi }\\F_{\chi }\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}=S\cdot {\begin{pmatrix}F_{\gamma }\\F_{\varphi }\\F_{\chi }\end{pmatrix}}$

Als Ergebnis erhält man:

$F_{x}=\cos(\varphi )\cdot F_{\gamma }-\sin(\varphi )\cdot F_{\varphi }+{\frac {\gamma \cos(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }$ $F_{x}=\cos(\varphi )\cdot F_{\gamma }-\sin(\varphi )\cdot F_{\varphi }+{\frac {\gamma \cos(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }$ $F_{x}=\cos(\varphi )\cdot F_{\gamma }-\sin(\varphi )\cdot F_{\varphi }+{\frac {\gamma \cos(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }$

$F_{y}=\sin(\varphi )\cdot F_{\gamma }+\cos(\varphi )\cdot F_{\varphi }+{\frac {\gamma \sin(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }$ $F_{y}=\sin(\varphi )\cdot F_{\gamma }+\cos(\varphi )\cdot F_{\varphi }+{\frac {\gamma \sin(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }$ $F_{y}=\sin(\varphi )\cdot F_{\gamma }+\cos(\varphi )\cdot F_{\varphi }+{\frac {\gamma \sin(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }$

$F_{z}={\frac {1}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }$ $F_{z}={\frac {1}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }$ $F_{z}={\frac {1}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }$

Oberflächen- und Volumendifferential

Das Volumendifferential lässt sich über die Determinante der Jacobi-Matrix angeben. Dies bietet die Möglichkeit z. B. das Volumen eines Kegels per Dreifachintegral zu berechnen.

$dV=\det J_{f}\cdot d\gamma d\chi d\varphi =\chi ^{2}\gamma \cdot d\gamma d\chi d\varphi$ $dV=\det J_{f}\cdot d\gamma d\chi d\varphi =\chi ^{2}\gamma \cdot d\gamma d\chi d\varphi$ $dV=\det J_{f}\cdot d\gamma d\chi d\varphi =\chi ^{2}\gamma \cdot d\gamma d\chi d\varphi$

Das Oberflächendifferential lässt sich mit der Norm des Flächennormalenvektors angeben. Damit kann man z. B. per Doppelintegral den Flächeninhalt der Mantelfläche bestimmen.

$dA=\|{\overrightarrow {n}}\|\cdot d\chi d\varphi =\chi \gamma {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\cdot d\chi d\varphi \quad {\text{wobei}}\quad \gamma ={\text{const.}}$ $dA=\|{\overrightarrow {n}}\|\cdot d\chi d\varphi =\chi \gamma {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\cdot d\chi d\varphi \quad {\text{wobei}}\quad \gamma ={\text{const.}}$ $dA=\|{\overrightarrow {n}}\|\cdot d\chi d\varphi =\chi \gamma {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\cdot d\chi d\varphi \quad {\text{wobei}}\quad \gamma ={\text{const.}}$

Transformierte Vektor-Differentialoperatoren

Nabla-Operator

Eine Darstellung des Nabla-Operators in Kegelkoordinaten erhält man, indem man die transformierten Einheitsvektoren und partielle Ableitungen in den kartesischen Nabla-Operator einsetzt:

\nabla =\left({\frac {1+\gamma ^{2}}{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}-\gamma {\frac {\partial }{\partial \chi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\left({\frac {1}{\gamma \chi }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}+{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial \chi }}-{\frac {\gamma }{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\chi }}}

\nabla =\left({\frac {1+\gamma ^{2}}{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}-\gamma {\frac {\partial }{\partial \chi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\left({\frac {1}{\gamma \chi }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}+{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial \chi }}-{\frac {\gamma }{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\chi }}}

\nabla =\left({\frac {1+\gamma ^{2}}{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}-\gamma {\frac {\partial }{\partial \chi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\left({\frac {1}{\gamma \chi }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}+{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial \chi }}-{\frac {\gamma }{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\chi }}}

Gradient

Den Gradienten in Kegelkoordinaten erhält man, indem man den transformieren Nabla-Operator auf ein Skalarfeld in Kegelkoordinaten anwendet.

\operatorname {grad} \phi =\nabla \phi =\left({\frac {1+\gamma ^{2}}{\chi }}{\frac {\partial \phi }{\partial \gamma }}-\gamma {\frac {\partial \phi }{\partial \chi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\left({\frac {1}{\gamma \chi }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}+{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial \chi }}-{\frac {\gamma }{\chi }}{\frac {\partial \phi }{\partial \gamma }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\chi }}}

\operatorname {grad} \phi =\nabla \phi =\left({\frac {1+\gamma ^{2}}{\chi }}{\frac {\partial \phi }{\partial \gamma }}-\gamma {\frac {\partial \phi }{\partial \chi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\left({\frac {1}{\gamma \chi }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}+{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial \chi }}-{\frac {\gamma }{\chi }}{\frac {\partial \phi }{\partial \gamma }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\chi }}}

\operatorname {grad} \phi =\nabla \phi =\left({\frac {1+\gamma ^{2}}{\chi }}{\frac {\partial \phi }{\partial \gamma }}-\gamma {\frac {\partial \phi }{\partial \chi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\left({\frac {1}{\gamma \chi }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}+{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial \chi }}-{\frac {\gamma }{\chi }}{\frac {\partial \phi }{\partial \gamma }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\chi }}}

Divergenz

Den Operator für die Divergenz eines Vektorfeldes erhält man, indem man den Nabla-Operator auf das Vektorfeld in Kegelkoordinaten anwendet:

\operatorname {div} {\overrightarrow {F}}=\nabla \cdot {\overrightarrow {F}}={\frac {1}{\gamma \chi }}\cdot \left({\frac {\partial \left(F_{\gamma }\cdot \gamma \right)}{\partial \gamma }}+{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)+{\frac {1}{\chi ^{2}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}}{\frac {\partial \left(F_{\chi }\cdot \chi ^{2}\right)}{\partial \chi }}

\operatorname {div} {\overrightarrow {F}}=\nabla \cdot {\overrightarrow {F}}={\frac {1}{\gamma \chi }}\cdot \left({\frac {\partial \left(F_{\gamma }\cdot \gamma \right)}{\partial \gamma }}+{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)+{\frac {1}{\chi ^{2}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}}{\frac {\partial \left(F_{\chi }\cdot \chi ^{2}\right)}{\partial \chi }}

\operatorname {div} {\overrightarrow {F}}=\nabla \cdot {\overrightarrow {F}}={\frac {1}{\gamma \chi }}\cdot \left({\frac {\partial \left(F_{\gamma }\cdot \gamma \right)}{\partial \gamma }}+{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)+{\frac {1}{\chi ^{2}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}}{\frac {\partial \left(F_{\chi }\cdot \chi ^{2}\right)}{\partial \chi }}

Laplace-Operator

Der Laplace-Operator $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$ ist die Divergenz eines Gradienten. In Kegelkoordinaten ergibt dies den folgenden Operator:

\Delta \phi =\operatorname {div} (\operatorname {grad} \phi )=\left({\frac {1+\gamma ^{2}}{\chi ^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \gamma ^{2}}}+\left({\frac {1+2\gamma ^{2}}{\gamma \chi ^{2}}}\right){\frac {\partial \phi }{\partial \gamma }}+\left({\frac {1}{\gamma \chi }}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \chi ^{2}}}-\left({\frac {2\gamma }{\chi }}\right){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \gamma \partial \chi }}

\Delta \phi =\operatorname {div} (\operatorname {grad} \phi )=\left({\frac {1+\gamma ^{2}}{\chi ^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \gamma ^{2}}}+\left({\frac {1+2\gamma ^{2}}{\gamma \chi ^{2}}}\right){\frac {\partial \phi }{\partial \gamma }}+\left({\frac {1}{\gamma \chi }}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \chi ^{2}}}-\left({\frac {2\gamma }{\chi }}\right){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \gamma \partial \chi }}

\Delta \phi =\operatorname {div} (\operatorname {grad} \phi )=\left({\frac {1+\gamma ^{2}}{\chi ^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \gamma ^{2}}}+\left({\frac {1+2\gamma ^{2}}{\gamma \chi ^{2}}}\right){\frac {\partial \phi }{\partial \gamma }}+\left({\frac {1}{\gamma \chi }}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \chi ^{2}}}-\left({\frac {2\gamma }{\chi }}\right){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \gamma \partial \chi }}

Rotation

Die Rotation eines Vektorfeldes lässt sich als Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit den Elementen des Vektorfelds auffassen:

\operatorname {rot} {\overrightarrow {F}}=\nabla \times {\overrightarrow {F}}=\left({\frac {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}{\gamma \chi }}{\frac {\partial F_{\chi }}{\partial \varphi }}+{\frac {1}{\chi }}{\frac {\partial F_{\gamma }}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{\chi }}{\frac {\partial \left(F_{\varphi }\cdot \chi \right)}{\partial \chi }}\right){\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\left({\frac {\partial F_{\gamma }}{\partial \chi }}+{\frac {\gamma }{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}{\frac {\partial F_{\chi }}{\partial \chi }}-{\frac {\gamma }{\chi }}{\frac {\partial F_{\gamma }}{\partial \gamma }}-{\frac {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}{\chi }}{\frac {\partial F_{\chi }}{\partial \gamma }}\right){\overrightarrow {e_{\varphi }}}+\left({\frac {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}{\chi \gamma }}{\frac {\partial (\gamma F_{\varphi })}{\partial \gamma }}-{\frac {\sqrt {\gamma ^{2}+1}}{\chi \gamma }}{\frac {\partial F_{\gamma }}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{\chi }}{\frac {\partial F_{\chi }}{\partial \varphi }}\right){\overrightarrow {e_{\chi }}}

\operatorname {rot} {\overrightarrow {F}}=\nabla \times {\overrightarrow {F}}=\left({\frac {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}{\gamma \chi }}{\frac {\partial F_{\chi }}{\partial \varphi }}+{\frac {1}{\chi }}{\frac {\partial F_{\gamma }}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{\chi }}{\frac {\partial \left(F_{\varphi }\cdot \chi \right)}{\partial \chi }}\right){\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\left({\frac {\partial F_{\gamma }}{\partial \chi }}+{\frac {\gamma }{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}{\frac {\partial F_{\chi }}{\partial \chi }}-{\frac {\gamma }{\chi }}{\frac {\partial F_{\gamma }}{\partial \gamma }}-{\frac {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}{\chi }}{\frac {\partial F_{\chi }}{\partial \gamma }}\right){\overrightarrow {e_{\varphi }}}+\left({\frac {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}{\chi \gamma }}{\frac {\partial (\gamma F_{\varphi })}{\partial \gamma }}-{\frac {\sqrt {\gamma ^{2}+1}}{\chi \gamma }}{\frac {\partial F_{\gamma }}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{\chi }}{\frac {\partial F_{\chi }}{\partial \varphi }}\right){\overrightarrow {e_{\chi }}}

\operatorname {rot} {\overrightarrow {F}}=\nabla \times {\overrightarrow {F}}=\left({\frac {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}{\gamma \chi }}{\frac {\partial F_{\chi }}{\partial \varphi }}+{\frac {1}{\chi }}{\frac {\partial F_{\gamma }}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{\chi }}{\frac {\partial \left(F_{\varphi }\cdot \chi \right)}{\partial \chi }}\right){\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\left({\frac {\partial F_{\gamma }}{\partial \chi }}+{\frac {\gamma }{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}{\frac {\partial F_{\chi }}{\partial \chi }}-{\frac {\gamma }{\chi }}{\frac {\partial F_{\gamma }}{\partial \gamma }}-{\frac {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}{\chi }}{\frac {\partial F_{\chi }}{\partial \gamma }}\right){\overrightarrow {e_{\varphi }}}+\left({\frac {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}{\chi \gamma }}{\frac {\partial (\gamma F_{\varphi })}{\partial \gamma }}-{\frac {\sqrt {\gamma ^{2}+1}}{\chi \gamma }}{\frac {\partial F_{\gamma }}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{\chi }}{\frac {\partial F_{\chi }}{\partial \varphi }}\right){\overrightarrow {e_{\chi }}}

Verallgemeinerungen

Konvexe Mengen

Man verallgemeinert die Eigenschaft des (unendlichen) Kegels, aus Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt zu bestehen, zu kegelförmigen Mengen, zu denen dann z. B. auch eine unendlich hohe Pyramide gehört. Besonderes Interesse gilt dabei den konvexen Kegeln, die in der linearen Optimierung eine Rolle spielen.

Dabei ist der Begriff des Ordnungskegels wichtig: Definiert man eine Halbordnung mittels $x\geq y:\Leftrightarrow x-y\in K$ $x\geq y:\Leftrightarrow xy\in K$ $x\geq y:\Leftrightarrow x-y\in K$ , wobei $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ ein konvexer und abgeschlossener Kegel ist, so ist diese reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und multiplikativ sowie additiv verträglich. Damit ist eine solche Halbordnung eine Verallgemeinerung der (komponentenweisen) arithmetischen Halbordnung, der der positive Orthant $\mathbb {R} _{+}^{n}$ $\mathbb {R} _{+}^{n}$ $\mathbb {R} _{+}^{n}$ zugrunde liegt. Eine mögliche Definition eines solchen Kegels lautet:

Sei $(E,\|\cdot \|)$ $(E,\|\cdot \|)$ $(E,\|\cdot \|)$ ein reeller Banachraum und $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ eine nichtleere Teilmenge von $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ . $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ heißt Kegel, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

$K$ ${\displaystyle K}$ $K$ ist abgeschlossen,
$x,y\in K\Rightarrow x+y\in K$ $x,y\in K\Rightarrow x+y\in K$ $x,y\in K\Rightarrow x+y\in K$ ,
$x\in K,\lambda \geq 0\Rightarrow \lambda x\in K$ $x\in K,\lambda \geq 0\Rightarrow \lambda x\in K$ $x\in K,\lambda \geq 0\Rightarrow \lambda x\in K$ ,
$K\cap -K=\{0\}$ $K\cap -K=\{0\}$ $K\cap -K=\{0\}$ .

Wird die vierte Bedingung weggelassen, so erhält man eine mögliche Definition eines Keils .

Allgemeinere Grundflächen

Als weitere Verallgemeinerung des Kegels kann man beliebige Grundflächen zulassen. Der Kegel entsteht dann als konvexe Hülle der Grundfläche und eines weiteren Punktes außerhalb der Fläche (der Kegelspitze). In diesem Sinne ist eine Pyramide ein Kegel über einem Vieleck.
In der synthetischen Geometrie wird der Begriff Kegel für bestimmte quadratische Mengen in projektiven Geometrien beliebiger Dimension definiert. Siehe dazu Quadratische Menge#Kegel .

Topologie

In der Topologie versteht man unter dem Kegel über einem topologischen Raum $X$ ${\displaystyle X}$ $X$ den Raum, den man aus dem Produkt $X\times [0,1]$ $X\times [0,1]$ $X\times [0,1]$ durch Identifikation aller Punkte in $X\times \{1\}$ $X\times \{1\}$ $X\times \{1\}$ (der „Kegelspitze“) erhält.

Den entsprechenden „Doppelkegel“ (durch zusätzliche Identifikation von $X\times \{0\}$ $X\times \{0\}$ $X\times \{0\}$ ) bezeichnet man auch als Einhängung oder Suspension.

Anwendungsbeispiele

Ein Martiniglas hat annähernd die Form eines Kegels.

Trinkglas

Einige Trinkgläser , zum Beispiel ein Martiniglas , haben annähernd die Form eines Kegels.

Ein Martiniglas mit dem Durchmesser 103 Millimeter und der Füllhöhe 59 Millimeter wird bis zum Rand mit Orangensaft gefüllt. Daraus ergeben sich das Volumen und die Mantelfläche :

Volumen : $V={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot (51{,}5\ \mathrm {mm} )^{2}\cdot 59\ \mathrm {mm} \approx 164\cdot 10^{3}\ \mathrm {mm^{3}} =164\ \mathrm {cm^{3}} =164\ \mathrm {ml}$ $V={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot (51{,}5\ \mathrm {mm} )^{2}\cdot 59\ \mathrm {mm} \approx 164\cdot 10^{3}\ \mathrm {mm^{3}} =164\ \mathrm {cm^{3}} =164\ \mathrm {ml}$ $V={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot (51{,}5\ \mathrm {mm} )^{2}\cdot 59\ \mathrm {mm} \approx 164\cdot 10^{3}\ \mathrm {mm^{3}} =164\ \mathrm {cm^{3}} =164\ \mathrm {ml}$

Mantelfläche : $A_{M}=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot r\cdot {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}=\pi \cdot 51{,}5\ \mathrm {mm} \cdot {\sqrt {(59\ \mathrm {mm} )^{2}+(51{,}5\ \mathrm {mm} )^{2}}}\approx 127\cdot 10^{2}\ \mathrm {mm^{2}} =127\ \mathrm {cm^{2}}$ $A_{M}=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot r\cdot {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}=\pi \cdot 51{,}5\ \mathrm {mm} \cdot {\sqrt {(59\ \mathrm {mm} )^{2}+(51{,}5\ \mathrm {mm} )^{2}}}\approx 127\cdot 10^{2}\ \mathrm {mm^{2}} =127\ \mathrm {cm^{2}}$ $A_{M}=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot r\cdot {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}=\pi \cdot 51{,}5\ \mathrm {mm} \cdot {\sqrt {(59\ \mathrm {mm} )^{2}+(51{,}5\ \mathrm {mm} )^{2}}}\approx 127\cdot 10^{2}\ \mathrm {mm^{2}} =127\ \mathrm {cm^{2}}$

Das Martiniglas kann also mit etwa 164 Millilitern Orangensaft gefüllt werden. Die äußere Oberfläche beträgt etwa 127 Quadratzentimeter .

Weitere Beispiele

Leitkegel
Glastrichter mit eingelegtem Rundfilter
Apollo -Dockingsystem

Siehe auch

Literatur

Rolf Baumann: Geometrie für die 9./10. Klasse . Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen. 4. Auflage. Mentor-Verlag, München 2003, ISBN 3-580-63635-9 .

Weblinks

Commons : Kegel (Geometrie) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Das Namensgeheimnis der Kegelschnitte. Für Doppelkegel.

Einzelnachweise

↑ Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente, fünfzehn Bücher, aus dem Griechischen übersetzt . Hrsg.: Im Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses. Zwölftes Buch. Halle 1781, S. 308 ff . ( Der 10. Satz. Jeder Kegel ist der dritte Theil eines Cylinders, … [abgerufen am 1. November 2018]).
↑ E. Hartmann: Computerunterstützte Darstellende und konstruktive Geometrie. Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 105.

[1] Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente, fünfzehn Bücher, aus dem Griechischen übersetzt . Hrsg.: Im Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses. Zwölftes Buch. Halle 1781, S. 308 ff . ( Der 10. Satz. Jeder Kegel ist der dritte Theil eines Cylinders, … [abgerufen am 1. November 2018]).

[2] E. Hartmann: Computerunterstützte Darstellende und konstruktive Geometrie. Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 105.

[1]

[2]