Continuüm (wiskunde)

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
Spring naar navigatie Spring naar zoeken

In de wiskunde wordt elke verzameling met de kracht van reële getallen een continuüm genoemd .

Continua in het algemeen

Men kan aantonen (bijvoorbeeld met de ZF-axioma's , zelfs zonder het axioma van keuze ) dat de volgende verzamelingen allemaal even krachtig zijn:

  1. , de verzameling van alle reële getallen
  2. , de verzameling van alle complexe getallen
  3. , de verzameling van alle reële getallen tussen 0 en 1
  4. , de verzameling van alle irrationele getallen
  5. , de verzameling van alle echte transcendente getallen
  6. , de verzameling van alle complexe transcendente getallen
  7. , de verzameling van alle deelverzamelingen van de natuurlijke getallen , dat wil zeggen, de machtsverzameling van
  8. , de verzameling van alle functies met een domein en doelbereik {0.1}
  9. , de verzameling van alle rijen van natuurlijke getallen
  10. , de verzameling van alle rijen van reële getallen
  11. , de verzameling van alle continue functies van tot
  12. Elke ontelbare Poolse ruimte omvat, met bepaalde voor de hand liggende interpretaties, alle voorgaande voorbeelden, behalve de reeksen transcendente getallen, en ook alle ten minste eendimensionale variëteiten .
  13. , de verzameling van alle hyperreële getallen

Het hoofdnummer van deze set (of het hoofdnummer ) is meestal (Fraktur c, voor c ontinuum), (zie Beth-functie ) of (Aleph, de eerste letter van het Hebreeuwse alfabet). Aangezien het de machtsreeks van is handelingen en de kracht van met wordt genoemd, schrijft men er ook voor .

Het is aangetoond dat veel andere structuren die in de wiskunde worden onderzocht, dezelfde dikte hebben.

Continuümhypothese

De veronderstelling dat alle ontelbare deelverzamelingen van de reële getallen gelijk zijn aan de reële getallen wordt de continuümhypothese genoemd . Het is (met de gebruikelijke axioma's) niet weerlegbaar of bewijsbaar.

Continua in de topologie

In de topologie is de term continuüm vaak nauwer gedefinieerd dan in andere takken van de wiskunde . Hier wordt onder een continuüm verstaan ​​een coherente compacte Hausdorff-ruimte (term continuüm in ruimere zin) . [1] [2]

Sommige auteurs eisen bovendien dat een continuüm altijd moet voldoen aan het tweede axioma van telbaarheid , [3] of zelfs de aangrenzende compacte metrische ruimten moet omvatten onder het concept continuüm (concept continuüm in engere zin) . [4] Zo'n continuüm in engere zin wordt daarom (nauwkeuriger) een metrisch continuüm (Engl. Metrisch continuüm) genoemd. [5] De metrische continua biedt veel van de belangrijkste ruimten in de topologie. Typische voorbeelden zijn:

  1. Voltooide intervallen van reële getallen
  2. Voltooide volledige sferen in de -dimensionale Euclidische ruimte
  3. de -Gebied in (n + 1) -dimensionale Euclidische ruimte
  4. Veelhoekige lijnen [6]
  5. Jordan bochten

De volgende zin laat zien dat het concept van een continuüm dat in het algemeen in de wiskunde voorkomt en dat in de topologie wordt gebruikt, niet te ver uit elkaar liggen: [7] [8] [9]

Een metrisch continuüm met meer dan één element heeft de kracht de verzameling reële getallen.

Peano kamers

Peano-ruimten of Peano-continuüms zijn continua met speciale verbonden eigenschappen en zijn genoemd naar de Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano . Ook zij hebben verschillende opvattingen over de kwestie van het bestaan ​​van een metriek . Na moderne conceptie is een Peano-ruimte (. Of Peanoraum; engl Peano-ruimte of Peano-continuüm) eenlokaal coherent metrisch continuüm met ten minste één element. [10] [11] [12]

In zijn beroemde werk Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane in Volume 36 van de Mathematical Annals of 1890, toonde Peano aan dat de eenheidsinterval doorlopend op het plein het Euclidische vlak kan in kaart worden gebracht. Nader onderzoek van dit verrassende resultaat toonde aan dat de Peano-ruimten de volgende karakterisering mogelijk maken , die nu bekend staat als de stelling van Hahn en Mazurkiewicz en de stelling van Hahn-Mazurkiewicz-Sierpiński (naar Stefan Mazurkiewicz , Hans Hahn en Wacław Sierpiński ) bekend is: [13] [ 14] [15] [16] [17]

Een Hausdorff-kamer is homeomorf met een Peano-ruimte dan en slechts dan als een continue afbeelding bestaat, wat tegelijkertijd surjectief is .

Kortom, behalve homeomorfisme , zijn Peano-ruimten de continue beelden van de Peano-krommen .

literatuur

  • Charles O. Christenson, William L. Voxman: aspecten van topologie . 2e editie. BCS Associates, Moskou, Idaho, VS 1998, ISBN 0-914351-08-7 .
  • Lutz Führer : Algemene topologie met toepassingen . Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3 .
  • Stephen Willard: Algemene topologie . Addison-Wesley, Reading, Massachusetts et al. 1970. MR0264581
  • Hans von Mangoldt , Konrad Knopp : Inleiding tot hogere wiskunde. Tweede deel: differentiaalrekening, oneindige reeksen, elementen van differentiaalmeetkunde en functietheorie . 13e editie. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1967.
  • Willi Rnow : Leerboek Topologie . VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1975, ISBN 978-3-326-00433-4 .

Referenties en voetnoten

  1. ^ W. Rinow: leerboek topologie . 1975, blz.   223   ff .
  2. ^ S. Willard: Algemene Topologie . 1970, blz.   203   ff .
  3. ^ W. Rinow: leerboek topologie . 1975, blz.   223 .
  4. L. Leader: Algemene topologie met toepassingen . 1977, blz.   125   ff .
  5. ^ S. Willard: Algemene Topologie . 1970, blz.   206
  6. ^ H. von Mangoldt, K. Knopp: Inleiding tot hogere wiskunde . plakband   2 , 1967, blz.   306   ff .
  7. L. Leader: Algemene topologie met toepassingen . 1977, blz.   126 .
  8. ^ W. Rinow: leerboek topologie . 1975, blz.   223 .
  9. ^ S. Willard: Algemene Topologie . 1970, blz.   206
  10. ^ CO Christenson, WL Voxman: Aspecten van topologie. 1998, blz.   225   ff .
  11. ^ S. Willard: Algemene Topologie . 1970, blz.   219   ff .
  12. ^ In W. Rinow: leerboek topologie . 1975, blz.   223   ff . elk niet-leeg lokaal verbonden continuüm met een aftelbare basis wordt een peanoruimte genoemd. Aangezien een dergelijk apparaat altijd kan worden gemeten volgens de metrisatiestelling van Urysohn , maakt dit geen significant verschil.
  13. ^ CO Christenson, WL Voxman: Aspecten van topologie. 1998, blz.   228
  14. L. Leader: Algemene topologie met toepassingen . 1977, blz.   150, 154 .
  15. ^ W. Rinow: leerboek topologie . 1975, blz.   224 .
  16. ^ S. Willard: Algemene Topologie . 1970, blz.   221
  17. ^ H. von Mangoldt, K. Knopp: Inleiding tot hogere wiskunde . plakband   2 , 1967, blz.   406   ff .