Coördinatie systeem

Dit artikel is geplaatst op de pagina kwaliteitszorg van het wiskundeportaal . Dit wordt gedaan om de kwaliteit van de wiskundeartikelen op een acceptabel niveau te brengen .

Help alstublieft de tekortkomingen in dit artikel op te lossen en neem deel aan de discussie ! ( Voer artikel in )

Getallenlijn (boven), vlak Cartesiaanse coördinaten (onder)

	een	B	C	NS	e	F	G	H
8ste									8ste
7e									7e
6e									6e
5									5
4e									4e
3									3
2									2
1									1
	een	B	C	NS	e	F	G	H

De velden van het schaakbord zijn gemarkeerd met een paar cijfers en letters.

Een coördinatensysteem wordt gebruikt om punten op een duidelijke manier te beschrijven met behulp van getallen, de coördinaten . De eenvoudigste voorbeelden zijn een getallenlijn en cartesiaanse coördinaten in het vlak . In het eerste geval wordt een reëel getal toegekend aan een punt op een rechte lijn. In het tweede geval wordt een punt in het vlak beschreven door twee reële getallen.

In verschillende gebieden van wiskunde en natuurkunde wordt er op verschillende manieren naar coördinaten verwezen. De coördinaten van een element ( vector ) van een eindig-dimensionale vectorruimte worden de componenten ervan genoemd, de coördinaten in een product van verzamelingen zijn de projecties op een van de factoren. Er zijn vaak oneindig veel mogelijkheden om een coördinatenstelsel in te voeren. In het voorbeeld van de getallenlijn heb je een willekeurig aantal opties om een punt te selecteren waaraan de coördinaat 0 moet worden toegewezen. In het vliegtuig is de situatie nog ingewikkelder. Zelfs na het kiezen van een punt dat de coördinaat is $(0,0)$ ${\ weergavestijl (0,0)}$ $(0.0)$ elk (verschillend) paar getallenlijnen door dit punt kan als coördinaatassen worden geselecteerd.

Afhankelijk van de aard van de verzameling waarop je een coördinatensysteem wilt kiezen, heb je ook meer dan één of twee coördinaten nodig. De geordende reeks coördinaten wordt meestal een n-tupel genoemd . Het punt van de getallenlijn met de coördinaat 0 en het punt van het vlak met de coördinaten $(0,0)$ ${\ weergavestijl (0,0)}$ $(0.0)$ of het specifieke punt van een verzameling, waarvan de coördinaten allemaal 0 zijn, wordt de oorsprong van coördinaten genoemd (kortweg: oorsprong ).

Naast de veelgebruikte Cartesiaanse coördinaten zijn er ook andere manieren om coördinatenstelsels te definiëren. Als u bijvoorbeeld coördinaten op het cirkelvormige gebied wilt invoeren, zijn poolcoördinaten ook geschikt . Het middelpunt van de cirkel zou dan de oorsprong zijn en elk punt van het cirkelvormige gebied zou duidelijk worden beschreven door de afstand tot het middelpunt en een hoek op te geven. In dit geval kan, vergeleken met de Cartesiaanse coördinaten, slechts één van de twee coördinaten worden geïnterpreteerd als een lengte. Een ander voorbeeld is dat van een schaakbord . Hier wordt een combinatie van letters en natuurlijke cijfers gebruikt om de velden op het bord te benoemen.

In veel situaties is het onmogelijk om voldoende zinvolle en handige globale coördinaten op de hele set in te voeren. Bijvoorbeeld, de punten op een bolvormig oppervlak kunnen , in tegenstelling tot die op een vlak, niet in een continue één-op-één correspondentie worden gebracht met getallenparen. Daarom werd het concept van lokale coördinaten geïntroduceerd. Dit is bijvoorbeeld het geval in de theorie van de spruitstukken .

De term coördinaat - wat "locatie-informatie" betekent - werd in de 18e eeuw gevormd uit het woord ordinaat (verticaal). ^[1]

Gemeenschappelijke coördinatensystemen

getallenlijn

Het eenvoudigste voorbeeld van een coördinatensysteem is de identificatie van punten op een rechte lijn met de reële getallenlijn. In dit systeem wordt een willekeurig punt O (de oorsprong ) op een gegeven rechte lijn gekozen. De coördinaat van een punt P wordt gedefinieerd als de getekende afstand van O tot P , waarbij wordt aangenomen dat de getekende afstand positief of negatief is, afhankelijk van aan welke kant van de lijn P ligt. Elk punt krijgt een unieke coördinaat en elk reëel getal is de coördinaat van een uniek punt. ^[2]

Cartesisch coördinatenstelsel

Het cartesiaanse coördinatenstelsel in de driedimensionale ruimte

Links- en rechtshandig (rechts) driedimensionaal coördinatensysteem

Een van de bekendste voorbeelden van een coördinatensysteem is het cartesiaanse coördinatensysteem. Er worden twee loodlijnen in het vlak geselecteerd en de coördinaten van een punt worden geïnterpreteerd als de getekende afstanden tot de rechte lijnen. In drie dimensies kiest men drie onderling orthogonale vlakken en de drie coördinaten van een punt zijn de getekende afstanden tot elk van de vlakken. Dit kan worden gegeneraliseerd om n -coördinaten te genereren voor elk punt in de n -dimensionale Euclidische ruimte.

Het is genoemd naar de gelatiniseerde naam Cartesius van de Franse wiskundige René Descartes , die het concept van "Cartesiaanse coördinaten" bekend maakte. ^[3] Afhankelijk van de rangschikking van de coördinaatassen kan het driedimensionale coördinatensysteem een rechts of een links systeem zijn.

Affine coördinatensysteem

affiene coördinaten

Als men drie punten kiest die niet op een rechte lijn in het Euclidische vlak liggen $P_{0},P_{1},P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$ ${\ displaystijl P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$ uit zo zijn de twee vectoren ${\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}}}, {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}}}, {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {2}}}}$ lineair onafhankelijk. met het punt $P_{0}$ ${\ displaystijl P_ {0}}$ $P_ {0}$ De positie vector kan worden gebruikt als de bron ${\overrightarrow {P_{0}P}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P}}}$ enig punt $P.$ ${\ weergavestijl P}$ $P.$ schrijf als volgt:

{\overrightarrow {P_{0}P}}=u{\overrightarrow {P_{0}P_{1}}}+v{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P}} = u {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}}} + v {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P}} = u {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}}} + v {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {2}}}}

en het punt $P.$ ${\ weergavestijl P}$ $P.$ het paar getallen $(u,v)_{a}$ ${\ weergavestijl (u, v) _ {a}}$ ${\ weergavestijl (u, v) _ {a}}$ als affiene coördinaten ^[4] ten opzichte van de basispunten $P_{0},P_{1},P_{2}$ ${\ displaystijl P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$ ${\ displaystijl P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$ toewijzen.

Vorm de vectoren ${\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}}}, {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}}}, {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {2}}}}$ een orthonormale basis , de bovengenoemde cartesiaanse coördinaten resultaat. In dit geval zijn voor één punt $(u_{0},v_{0})_{a}$ ${\ displaystyle (u_ {0}, v_ {0}) _ {a}}$ ${\ displaystyle (u_ {0}, v_ {0}) _ {a}}$ de puntensets $u=u_{0}$ ${\ weergavestijl u = u_ {0}}$ ${\ weergavestijl u = u_ {0}}$ en $v=v_{0}$ ${\ displaystyle v = v_ {0}}$ $v = v_ {0}$ Rechte lijnen die elkaar orthogonaal kruisen. Als de basisvectoren niet orthogonaal zijn (zie afbeelding), spreekt men van schuine coördinaten .

Affine coördinaten voor hogere dimensies worden dienovereenkomstig uitgelegd. Het op deze manier definiëren van coördinaten is mogelijk voor elke n-dimensionale affiene ruimte boven een lichaam, dus het is niet beperkt tot een Euclidische ruimte.

Pool coördinaten

Een ander veelgebruikt coördinatensysteem is dat van de poolcoördinatentypes. Dit kan alleen in het vliegtuig worden ingevoerd. Voor driedimensionale ruimte zijn er twee verschillende generalisaties: de sferische en cilindrische coördinaten. In tegenstelling tot de hierboven genoemde systemen zijn dit coördinatensysteem en zijn twee generalisaties geen speciale gevallen van affiene coördinatensystemen.

Om dit coördinatensysteem te definiëren, wordt een punt gekozen als de pool en een straal vanaf dit punt als de poolas. Voor een bepaalde hoek $\phi$ ${\ weergavestijl \ phi}$ $\ phi$ er is een enkele lijn door de pool waarvan de hoek met de poolas is $\phi$ ${\ weergavestijl \ phi}$ $\ phi$ is (gemeten tegen de klok in vanaf de as tot de lijn). Dan is er een enkel punt op deze lijn waarvan de afstand tot de oorsprong de waarde is $R$ ${\ weergavestijl r}$ $R$ is. Voor een gegeven paar coördinaten $(r,\phi )$ ${\ weergavestijl (r, \ phi)}$ $(r, \ phi)$ er is een enkel punt, maar elk punt wordt vertegenwoordigd door vele paren coördinaten. Bijvoorbeeld zijn $(r,\phi )$ ${\ weergavestijl (r, \ phi)}$ $(r, \ phi)$ en $(r,\phi +2\pi )$ ${\ displaystyle (r, \ phi +2 \ pi)}$ ${\ displaystyle (r, \ phi +2 \ pi)}$ Poolcoördinaten voor hetzelfde punt. De paal is door $(0,\phi )$ ${\ weergavestijl (0, \ phi)}$ ${\ weergavestijl (0, \ phi)}$ voor elke waarde van $\phi$ ${\ weergavestijl \ phi}$ $\ phi$ getoond.

Sferische en cilindrische coördinaten

Cilindrische coördinaten

sferische coördinaten

Er zijn twee gebruikelijke methoden om de poolcoördinaten voor driedimensionale ruimte uit te breiden.

Bij een cilindrisch coördinatensysteem wordt een z-coördinaat de poolcoördinaten met dezelfde betekenis als bij cartesiaanse coördinaten $(r,\phi )$ ${\ weergavestijl (r, \ phi)}$ $(r, \ phi)$ toegevoegd wat een triple $(r,\phi ,z)$ ${\ displaystyle (r, \ phi, z)}$ ${\ displaystyle (r, \ phi, z)}$ resultaten.

In het geval van sferische coördinaten of ruimtelijke poolcoördinaten, wordt een punt in de driedimensionale ruimte gespecificeerd door zijn afstand tot de oorsprong en door twee hoeken. Een bekend voorbeeld van een bolcoördinatenstelsel is het stelsel van geografische coördinaten met behulp waarvan de aarde wordt verdeeld in lengte- en breedtegraden . De derde coördinaat, namelijk de afstand tot het middelpunt van de aarde, is in dit systeem niet relevant.

Elliptische coördinaten

Elliptische coördinaten gebruiken loodrecht kruisende systemen van confocale ellipsen en hyperbolen. Deze coördinaten zijn niet gedefinieerd voor de brandpunten en de tussenliggende punten.

De ellipsoïde coördinaten komen overeen met de (vlakke) elliptische coördinaten . Het hier gebruikte orthogonale oppervlaktesysteem bestaat uit confocale ellipsoïden, enkelwandige en dubbelwandige hyperboloïden.

Verder zijn er de ellipsoïde coördinaten , die worden gebruikt om de punten van een omwentelingsellipsoïde (aarde) te beschrijven.

Parametrische weergave

Parametrische representaties van oppervlakken kunnen worden gezien als coördinatensystemen van deze oppervlakken. Bijvoorbeeld de parametrische weergave van een vlak, de gebruikelijke parametrische weergave van een bolvormig oppervlak met geografische lengte- en breedtegraad of de parametrische weergave van een ellipsoïde .

Lokaal coördinatensysteem

Bolcoördinaten met de bijbehorende lokale basis

\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi }

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {r}, \ mathbf {e} _ {\ theta}, \ mathbf {e} _ {\ varphi}}

\ mathbf {e} _ {r}, \ mathbf {e} _ {\ theta}, \ mathbf {e} _ {\ varphi}

Een lokaal coördinatensysteem of (coördinaten)kaart ^[5] is een coördinatensysteem voor een deelverzameling van een geometrisch object. Het concept van coördinatenkaarten staat centraal in de theorie van variëteiten . Een verdeelstuk is een geometrisch object, zodat er voor elk punt een lokaal coördinatensysteem is dat compatibel is met de aangrenzende coördinatensystemen. Meer specifiek is een coördinatenkaart een homeomorfisme van een open deelverzameling van ruimte naar een open deelverzameling van $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Het is vaak niet mogelijk om een enkel consistent coördinatensysteem voor een hele kamer te bieden. In dit geval wordt een verzameling coördinatenkaarten samengevoegd tot een atlas die de hele ruimte beslaat. ^[6]

zijn bijvoorbeeld $(u,v)_{c}$ ${\ weergavestijl (u, v) _ {c}}$ ${\ weergavestijl (u, v) _ {c}}$ Kromlijnige orthogonale coördinaten (polaire coördinaten, elliptische coördinaten, ...) op het vlak en worden bepaald op een punt $P_{0}=(u_{0},v_{0})_{c}$ ${\ displaystyle P_ {0} = (u_ {0}, v_ {0}) _ {c}}$ ${\ displaystyle P_ {0} = (u_ {0}, v_ {0}) _ {c}}$ de raaklijnen van de krommen $v=v_{0}$ ${\ displaystyle v = v_ {0}}$ $v = v_ {0}$ en $u=u_{0}$ ${\ weergavestijl u = u_ {0}}$ ${\ weergavestijl u = u_ {0}}$ en deze normaliseert, verkrijgt men lokale basisvectoren die kunnen worden gebruikt voor een lokaal coördinatensysteem. Bij poolcoördinaten wijst de ene vector in de richting van de straal en de andere in de richting van de raaklijn van de cirkel $P_{0}$ ${\ displaystijl P_ {0}}$ $P_ {0}$ . Hier kan men zich het lokale systeem voorstellen alsof het is ontstaan uit het mondiale systeem door het te verschuiven en op de juiste manier te roteren.

In de ruimte bepaalt men de raakvectoren aan door een punt $P_{0}=(u_{0},v_{0},w_{0})_{c}$ ${\ displaystyle P_ {0} = (u_ {0}, v_ {0}, w_ {0}) _ {c}}$ ${\ displaystyle P_ {0} = (u_ {0}, v_ {0}, w_ {0}) _ {c}}$ bochten maken $(u,v_{0},w_{0})_{c}$ ${\ displaystyle (u, v_ {0}, w_ {0}) _ {c}}$ ${\ displaystyle (u, v_ {0}, w_ {0}) _ {c}}$ , $(u_{0},v,w_{0})_{c}$ ${\ displaystyle (u_ {0}, v, w_ {0}) _ {c}}$ ${\ displaystyle (u_ {0}, v, w_ {0}) _ {c}}$ en $(u_{0},v_{0},w)_{c}$ ${\ displaystyle (u_ {0}, v_ {0}, w) _ {c}}$ ${\ displaystyle (u_ {0}, v_ {0}, w) _ {c}}$ en normaliseert ze.

Coördinaten transformaties

De coördinatentransformaties worden gebruikt om de coördinaten van het ene systeem om te zetten in de coördinaten van een ander systeem.

Homogene coördinaten in het vlak

Het Euclidische vlak kan ook beschreven worden met homogene coördinaten . Dit doen zal een punt zijn $P=(x,y)$ ${\ displaystijl P = (x, y)}$ $P = (x, y)$ drie homogene coördinaten $(x_{1}:x_{2}:x_{3})$ ${\ displaystyle (x_ {1}: x_ {2}: x_ {3})}$ $(x_ {1}: x_ {2}: x_ {3})$ dus dat ook toegewezen $P=(cx_{1}:cx_{2}:cx_{3})$ ${\ displaystyle P = (cx_ {1}: cx_ {2}: cx_ {3})}$ ${\ displaystyle P = (cx_ {1}: cx_ {2}: cx_ {3})}$ voor iedereen $c\neq 0$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ $c \ neq 0$ is toepasbaar. Een standaard mapping is $P=(x:y:1)$ ${\ displaystijl P = (x: y: 1)}$ ${\ displaystijl P = (x: y: 1)}$ . Als je instelt $P=(x:y:1-x-y)$ ${\ displaystyle P = (x: y: 1-xy)}$ ${\ displaystyle P = (x: y: 1-x-y)}$ men verkrijgt barycentrische coördinaten . Het grote voordeel van homogene coördinaten is dat punten op de afstandslijn makkelijk te beschrijven zijn: in het standaard geval door de vergelijking $x_{3}=0$ ${\ weergavestijl x_ {3} = 0}$ $x_ {3} = 0$ , in het barycentrische geval door de vergelijking $x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$ ${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} = 0}$ $x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} = 0$ . De grenswaarde-overwegingen die nodig zijn voor affiene coördinaten zijn in het standaardgeval voor de eenvoudige instelling van $x_{3}=0$ ${\ weergavestijl x_ {3} = 0}$ $x_ {3} = 0$ .

Trilineaire coördinaten worden ook gebruikt in driehoeksgeometrie .

Andere coördinatensystemen

Sommige coördinatensystemen die alleen in specialistische gebieden worden gebruikt (bijvoorbeeld geodesie , cartografie , aardrijkskunde , teledetectie , astronomie , amateurradio ) zijn:

traagheidssysteem
Geografisch coördinatensysteem
Soldner coördinatensysteem
Gauss-Krüger coördinatenstelsel
UTM-coördinatensysteem
- UTM-referentiesysteem ook MGRS
Astronomische coördinatensystemen zoals de eclipticale of galactische
Parallelle coördinaten
Bewegende coördinatensystemen
Roterende coördinatensystemen
Voertuig coördinatensysteem
Wereld coördinatensysteem
QTH-zoeker (amateurradio)
Mariene vierkanten en graticules (uit WO II)

web links

WikiWoordenboek: Coördinaten - uitleg van betekenissen, woordoorsprong, synoniemen, vertalingen

WikiWoordenboek: Coördinatensysteem - uitleg van betekenissen, woordoorsprong, synoniemen, vertalingen

Eenvoudige en begrijpelijke uitleg (meestal door middel van illustraties)
Eric W. Weisstein : Coördinatensysteem . In: MathWorld (Engels).

Individueel bewijs

^ Etymologie volgens Kluge Etymologisch Woordenboek van de Duitse taal , 24e editie, 2002.
↑ James B. Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson: College Algebra. Red.: Brooks Cole . 5e editie. 2008, ISBN 978-0-495-56521-5 , blz. 13-19 .
↑ Cartesiaanse coördinaten . In: Guido Walz (red.): Lexicon of Mathematics . 1e editie. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 .
^ Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Teubner-Verlag, Leipzig, 1979, ISBN 3 87144 492 8 , blz. 606
↑ Complex spruitstuk . In: Guido Walz (red.): Lexicon of Mathematics . 1e editie. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 .
^ John M. Lee: Inleiding tot Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY et al. 2003, ISBN 0-387-95448-1 , blz. 4ff.

[1] Etymologie volgens Kluge Etymologisch Woordenboek van de Duitse taal , 24e editie, 2002.

[2] James B. Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson: College Algebra. Red.: Brooks Cole . 5e editie. 2008, ISBN 978-0-495-56521-5 , blz. 13-19 .

[3] Cartesiaanse coördinaten . In: Guido Walz (red.): Lexicon of Mathematics . 1e editie. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 .

[4] Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Teubner-Verlag, Leipzig, 1979, ISBN 3 87144 492 8 , blz. 606

[5] Complex spruitstuk . In: Guido Walz (red.): Lexicon of Mathematics . 1e editie. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 .

[6] John M. Lee: Inleiding tot Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY et al. 2003, ISBN 0-387-95448-1 , blz. 4ff.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]