kogel

Afbeelding van een bol met cirkels voor lengte- en breedtegraad

In de geometrie is een bol de afkorting voor bolvormig oppervlak of bolvormig lichaam.

Bolvormig oppervlak en bolvormig lichaam

Het bolvormige oppervlak wordt door de rotatie van een cirkel gevormd rond een oppervlak met een cirkeldiameter. Het is zowel een omwentelingsoppervlak als een speciaal oppervlak van de tweede orde en wordt beschreven als de verzameling (de geometrische locatie) van alle punten in de driedimensionale Euclidische ruimte waarvan de afstand tot een vast punt in de ruimte gelijk is aan een gegeven positieve reële nummer $\!\ r$ ${\ weergavestijl \! \ r}$ $\! \ R$ is. Het vaste punt wordt het middelpunt of middelpunt van de bol genoemd, het getal $\!\ r$ ${\ weergavestijl \! \ r}$ $\! \ R$ als de straal van de bol.

Het bolvormige oppervlak verdeelt de ruimte in twee afzonderlijke open deelverzamelingen , waarvan er precies één convex is . Deze hoeveelheid wordt het binnenste van de bol genoemd. De vereniging van een bolvormig oppervlak en het inwendige ervan wordt een bolvormig lichaam of vaste bol genoemd . Het bolvormige oppervlak wordt ook wel het bolvormige oppervlak of bol genoemd .

Zowel bolvormige oppervlakken als bolvormige lichamen worden vaak kortweg bollen genoemd, waarbij uit de context duidelijk moet zijn welke van de twee betekenissen wordt bedoeld.

Een bolvormig oppervlak met een middelpunt ( $\!\ x_{0}$ ${\ displaystyle \! \ x_ {0}}$ $\! \ x_ {0}$ , $\!\ y_{0}$ ${\ displaystyle \! \ y_ {0}}$ $\! \ y_ {0}$ , $\!\ z_{0}$ ${\ displaystyle \! \ z_ {0}}$ $\! \ z_ {0}$ ) en straal $\!\ r$ ${\ weergavestijl \! \ r}$ $\! \ R$ is de verzameling van alle punten ( $\!\ x$ ${\ weergavestijl \! \ x}$ $\! \ x$ , $\!\ y$ ${\ weergavestijl \! \ y}$ $\! \ y$ , $\!\ z$ ${\ weergavestijl \! \ z}$ $\! \ z$ ), voor de

\!\ (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}

{\ displaystyle \! \ (x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ {2} + (z-z_ {0}) ^ {2} = r ^ {2} }

\! \ (x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ {2} + (z-z_ {0}) ^ {2} = r ^ {2}

is tevreden.

Sferische coördinaten en Cartesiaans coördinatensysteem

In vectornotatie met ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ einde {pmatrix}}}$ ${\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ einde {pmatrix}}$ , ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ vec {m}} = {\ begin {pmatrix} x_ {0} \\ y_ {0} \\ z_ {0} \ einde {pmatrix}}}$ ${\ vec {m}} = {\ begin {pmatrix} x_ {0} \\ y_ {0} \\ z_ {0} \ einde {pmatrix}}$ :

({\vec {x}}-{\vec {m}})\cdot ({\vec {x}}-{\vec {m}})=r^{2}

{\ displaystyle ({\ vec {x}} - {\ vec {m}}) \ cdot ({\ vec {x}} - {\ vec {m}}) = r ^ {2}}

{\ displaystyle ({\ vec {x}} - {\ vec {m}}) \ cdot ({\ vec {x}} - {\ vec {m}}) = r ^ {2}}

,

({\vec {x}}-{\vec {m}})^{2}=r^{2}

{\ displaystyle ({\ vec {x}} - {\ vec {m}}) ^ {2} = r ^ {2}}

(\ vec x - \ vec m) ^ 2 = r ^ 2

,

|{\vec {x}}-{\vec {m}}|^{2}=r^{2}

{\ displaystyle | {\ vec {x}} - {\ vec {m}} | ^ {2} = r ^ {2}}

| {\ vec {x}} - {\ vec {m}} | ^ {2} = r ^ {2}

of

|{\vec {x}}-{\vec {m}}|=r

{\ displaystyle | {\ vec {x}} - {\ vec {m}} | = r}

| {\ vec {x}} - {\ vec {m}} | = r

.

De punten op het boloppervlak met de straal $\!\ r$ ${\ weergavestijl \! \ r}$ $\! \ R$ en het centrum aan de oorsprong kan als volgt worden geparametriseerd door bolcoördinaten :

x=r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi

{\ displaystyle x = r \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ cos \ varphi}

x = r \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ cos \ varphi

y=r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi

{\ displaystyle y = r \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ sin \ varphi}

y = r \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ sin \ varphi

z=r\cdot \cos \theta

{\ displaystyle z = r \ cdot \ cos \ theta}

z = r \ cdot \ cos \ theta

met $0\leq \theta \leq \pi$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq \ pi}$ $0 \ leq \ theta \ leq \ pi$ en $0\leq \varphi <2\pi$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ varphi <2 \ pi}$ $0 \ leq \ varphi <2 \ pi$ .

Sferische sneden

Als je een vlak met een bol naar het snijpunt brengt , ontstaat er altijd een cirkel. Als het vlak het middelpunt van de bol bevat, wordt de snijlijn de grote cirkel genoemd , anders de kleine cirkel .
Zowel dit deel van het lichaam resulteert in een heet bolvormig segment of bolsegment, in het geval van de grote cirkel hemisfeer (halfrond).
Het gekromde deel van het oppervlak van een bolsegment wordt een bolvormige kap , bolvormige kap of bolvormige kap genoemd .
Een bolsegment en de conus met de snijcirkel als de basis en het middelpunt van de bol wanneer de punt resulteren in een bolvormige doorsnede en sferische sector.
Twee evenwijdige vlakken die de bol snijden (die elkaar niet raken ) snijden een bolvormige laag uit de bol. Het gekromde deel van het oppervlak van een bolvormige laag wordt de bolvormige zone genoemd .
Twee elkaar snijdende vlakken, waarvan de snijlijn gedeeltelijk in de bol ligt, snijden een object uit de bol, waarvan het gekromde oppervlak de bolvormige driehoek is .
Een bolvormige schil ( holle bol ) is het verschil tussen twee concentrische bollen met verschillende stralen.

Bochten op een bol

Vlakke doorsnede van een bol

Doorsnede bol - cilinder: 2 cirkels

Cirkels

Het snijpunt van een vlak met een bol is een cirkel, een punt of leeg.

Als de sectie een cirkel is, kan deze worden uitgedrukt in parametrische vorm $\;{\vec {x}}=({\vec {e}}_{0}+{\vec {e}}_{1}\cos t+{\vec {e}}_{2}\sin t)^{T}\;$ ${\ displaystyle \; {\ vec {x}} = ({\ vec {e}} _ {0} + {\ vec {e}} _ {1} \ cos t + {\ vec {e}} _ { 2 } \ sin t) ^ {T} \;}$ ${\ displaystyle \; {\ vec {x}} = ({\ vec {e}} _ {0} + {\ vec {e}} _ {1} \ cos t + {\ vec {e}} _ { 2 } \ sin t) ^ {T} \;}$ weergave: zie vlakke doorsnede van een ellipsoïde .

Een bol kan echter ook meer gecompliceerde oppervlakken in een cirkel snijden:

Een niet-leeg gedeelte van een bol met een omwentelingsoppervlak , waarvan de as door het middelpunt van de bol gaat, bestaat uit cirkels en/of punten.

Op de afbeelding snijdt een bol een cilinder in twee cirkels. Als de straal van de cilinder gelijk zou zijn aan de straal van de bol, zou de sectie uit een contactcirkel bestaan. Een omwentelingsellipsoïde met hetzelfde middelpunt als de bol en de straal van de bol als de grote halve as zou de bol op twee punten (hoekpunten) raken.

Deze eigenschap wordt gebruikt in de beschrijvende geometrie voor de constructie van punten van de snijpuntkromme van omwentelingsoppervlakken (zie hulpbolmethode ).

Sferische spiraal met

c=8

{\ weergavestijl c = 8}

{\ weergavestijl c = 8}

Clelia-curven

Is de bol in parametrische vorm

{\vec {x}}=(r\cos \theta \cos \varphi ,r\cos \theta \sin \varphi ,r\sin \theta )^{T}

{\ displaystyle {\ vec {x}} = (r \ cos \ theta \ cos \ varphi, r \ cos \ theta \ sin \ varphi, r \ sin \ theta) ^ {T}}

{\ displaystyle {\ vec {x}} = (r \ cos \ theta \ cos \ varphi, r \ cos \ theta \ sin \ varphi, r \ sin \ theta) ^ {T}}

gegeven, verkrijgt men Clelia-curven als men

$\varphi =c\;\theta \;,\ c>0\;,$ ${\ displaystyle \ varphi = c \; \ theta \;, \ c> 0 \ ;,}$ ${\ displaystyle \ varphi = c \; \ theta \;, \ c> 0 \ ;,}$

zet. Speciale gevallen hiervan zijn: Vivian-curven ( $c=1$ ${\ weergavestijl c = 1}$ ${\ weergavestijl c = 1}$ ) en sferische spiralen ( $c>2$ ${\ weergavestijl c> 2}$ ${\ weergavestijl c> 2}$ ).

Loxodrome

De kromme op de aardbol, die de meridianen (langscirkels) altijd onder dezelfde hoek snijdt, is een loxodroom . Het spiraalt rond de polen, die de twee asymptotische punten zijn, dat wil zeggen dat het de polen niet bevat. Het is geen sferische spiraal in de bovenstaande zin. Er is geen eenvoudige relatie tussen de hoeken $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ en $\theta$ ${\ weergavestijl \ theta}$ $\ theta$ .

Secties met andere kwadraten

Bol-cilinder snijpunt kromme

Als een bol wordt doorsneden door een andere kwadraat (cilinder, kegel ...), ontstaan snijpuntkrommen met geschikte stralen, parameters ...

Voorbeeld: bol - cilinder

De snijpuntkromme van de bol met de vergelijking $\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;$ ${\ displaystyle \; x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2} \;}$ ${\ displaystyle \; x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2} \;}$ en de cilinder met de vergelijking $\;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2}\;$ ${\ displaystyle \; (y-y_ {0}) ^ {2} + z ^ {2} = een ^ {2} \;}$ ${\ displaystyle \; (y-y_ {0}) ^ {2} + z ^ {2} = een ^ {2} \;}$ bestaat uit de oplossingen van het niet-lineaire stelsel vergelijkingen

x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -r ^ {2} = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -r ^ {2} = 0}

(y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0\ .

{\ displaystyle (y-y_ {0}) ^ {2} + z ^ {2} -a ^ {2} = 0 \.}

{\ displaystyle (y-y_ {0}) ^ {2} + z ^ {2} -a ^ {2} = 0 \.}

(zie impliciete curve , afbeelding)

formules

Formules voor de bol
Geometrische maat	formule
bol straal	$\!\ r$ ${\ weergavestijl \! \ r}$ $\! \ R$
Ball diameter	$\!\ d=2r$ ${\ weergavestijl \! \ d = 2r}$ $\!\ d = 2r$
Omtrek (grote cirkel)	$U=2\pi r=\pi d\ {\color {OliveGreen}={\frac {\mathrm {d} A_{\mathrm {PF} }}{\mathrm {d} r}}}$ ${\ displaystyle U = 2 \ pi r = \ pi d \ {\ kleur {Olijfgroen} = {\ frac {\ mathrm {d} A _ {\ mathrm {PF}}} {\ mathrm {d} r}}} }$ $U = 2 \ pi r = \ pi d \ {\ kleur {Olijfgroen} = {\ frac {\ mathrm {d} A _ {\ mathrm {PF}}} {\ mathrm {d} r}}}$
volume	$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {1}{6}}\pi d^{3}=\int _{-r}^{r}\left(r^{2}-x^{2}\right)\pi \mathrm {d} x$ ${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = {\ frac {1} {6}} \ pi d ^ {3} = \ int _ {- r} ^ { r} \ links (r ^ {2} -x ^ {2} \ rechts) \ pi \ mathrm {d} x}$ $V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = {\ frac {1} {6}} \ pi d ^ {3} = \ int _ {- r} ^ {r} \ links (r ^ {2} -x ^ {2} \ rechts) \ pi \ mathrm {d} x$
oppervlakte	$A_{O}=4\pi r^{2}=\pi d^{2}\ {\color {OliveGreen}={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}}$ ${\ displaystyle A_ {O} = 4 \ pi r ^ {2} = \ pi d ^ {2} \ {\ kleur {Olijfgroen} = {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} r }}}}$ $A_ {O} = 4 \ pi r ^ {2} = \ pi d ^ {2} \ {\ kleur {Olijfgroen} = {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} r}}}$
Projectiegebied / sferische doorsnede	$A_{\mathrm {PF} }=\pi r^{2}=\int _{0}^{r}U\mathrm {d} r$ ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {PF}} = \ pi r ^ {2} = \ int _ {0} ^ {r} U \ mathrm {d} r}$ $A _ {\ mathrm {PF}} = \ pi r ^ {2} = \ int _ {0} ^ {r} U \ mathrm {d} r$
Hoogte (bolsegment / bolkap, bollaag, niet identiek aan de h in de onderstaande schets)	$\!\ h$ ${\ weergavestijl \! \ h}$ $\!\ H$
Volume van een bolvormige dop	$V_{\mathrm {KK} }={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {KK}} = {\ frac {\ pi h ^ {2}} {3}} (3r-h)}$ $V _ {\ mathrm {KK}} = {\ frac {\ pi h ^ {2}} {3}} (3r-h)$
Gebied van een bolvormige dop	$A_{\mathrm {KK} }=2\pi rh=2\pi r^{2}\left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)$ ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {KK}} = 2 \ pi rh = 2 \ pi r ^ {2} \ left (1- \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right)}$ $A _ {\ mathrm {KK}} = 2 \ pi rh = 2 \ pi r ^ {2} \ links (1- \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ rechts)$
Lateraal oppervlak van een bolvormige laag	$A_{\mathrm {KS} }=2\pi rh=2\pi r^{2}\int _{\alpha }^{\beta }\sin x\,\mathrm {d} x$ ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {KS}} = 2 \ pi rh = 2 \ pi r ^ {2} \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ sin x \, \ mathrm {d} x}$ ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {KS}} = 2 \ pi rh = 2 \ pi r ^ {2} \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ sin x \, \ mathrm {d} x}$
Traagheidsmoment van een holle bol (rotatieas door middelpunt)	$J={\frac {2}{3}}mr^{2}$ ${\ displaystyle J = {\ frac {2} {3}} mr ^ {2}}$ $J = {\ frac {2} {3}} dhr ^ {2}$
Traagheidsmoment van een volledige bol (rotatie-as door middelpunt)	$J={\frac {2}{5}}mr^{2}$ ${\ displaystyle J = {\ frac {2} {5}} mr ^ {2}}$ $J = {\ frac {2} {5}} dhr ^ {2}$

volume

Het bolvormige volume is het volume van een bol dat wordt begrensd door het bolvormige oppervlak.

Kegelafleiding (Archimedische afleiding)

Afleiding van het bolvormige volume volgens Cavalieri

Volgens een gedachte van de Griekse wiskundige Archimedes is er een halfrond met een straal $\!\ r$ ${\ weergavestijl \! \ r}$ $\! \ R$ een referentielichaam waarvan het volume overeenkomt met dat van het halfrond, maar dat gemakkelijk te berekenen is. Dit vergelijkingslichaam wordt gemaakt door een cilinder te maken (meer precies: een rechte cirkelvormige cilinder) met een straal van het basisgebied $\!\ r$ ${\ weergavestijl \! \ r}$ $\! \ R$ en hoogte $\!\ r$ ${\ weergavestijl \! \ r}$ $\! \ R$ een kegel (meer precies: een rechte cirkelvormige kegel) met een basisoppervlakradius $\!\ r$ ${\ weergavestijl \! \ r}$ $\! \ R$ en hoogte $\!\ r$ ${\ weergavestijl \! \ r}$ $\! \ R$ VERWIJDERD.

Om te bewijzen dat de halve bol en het referentielichaam hetzelfde volume hebben, kan men het principe van Cavalieri gebruiken. Dit principe is gebaseerd op het idee om de waargenomen lichamen te verdelen in een oneindig aantal plakjes van oneindig kleine (oneindig kleinere) dikte. (Een alternatief voor deze methode zou het gebruik van integraalrekening zijn .) Volgens het genoemde principe worden de snijvlakken met de vlakken voor beide lichamen onderzocht, die evenwijdig zijn aan de respectieve basis en op een vooraf bepaalde afstand daarvan $\!\ h$ ${\ weergavestijl \! \ h}$ $\!\ H$ hebben.

In het geval van de halve bol is het snijvlak een cirkelvormig oppervlak. de straal $\!\ s$ ${\ weergavestijl \! \ s}$ $\! \ s$ dit cirkelvormige gebied is het resultaat van de stelling van Pythagoras :

s^{2}+h^{2}\,=\,r^{2}

{\ displaystyle s ^ {2} + h ^ {2} \, = \, r ^ {2}}

s ^ {2} + h ^ {2} \, = \, r ^ {2}

.

Dit geeft voor de inhoud van het snijvlak

A_{1}\,=\,\pi s^{2}=\pi (r^{2}-h^{2})=\pi r^{2}-\pi h^{2}

{\ displaystyle A_ {1} \, = \, \ pi s ^ {2} = \ pi (r ^ {2} -h ^ {2}) = \ pi r ^ {2} - \ pi h ^ {2 }}

A_ {1} \, = \, \ pi s ^ {2} = \ pi (r ^ {2} -h ^ {2}) = \ pir ^ {2} - \ pi h ^ {2}

.

In het geval van het referentielichaam is het snijvlak daarentegen een cirkelvormige ring met een buitenradius $\!\ r$ ${\ weergavestijl \! \ r}$ $\! \ R$ en binnenradius $\!\ h$ ${\ weergavestijl \! \ h}$ $\!\ H$ . Het gebied van dit snijvlak is dienovereenkomstig

A_{2}\,=\,\pi r^{2}-\pi h^{2}

{\ displaystyle A_ {2} \, = \, \ pi r ^ {2} - \ pi h ^ {2}}

A_ {2} \, = \, \ pi r ^ {2} - \ pi h ^ {2}

.

Voor elke afstand $\!\ h$ ${\ weergavestijl \! \ h}$ $\!\ H$ Het gebied van de twee snijdende oppervlakken komt dus overeen met de basis gebied . Met het Cavalieri-principe volgt dat de halve bol en het referentielichaam hetzelfde volume hebben.

Het volume van het referentielichaam en dus ook van het halfrond kan nu eenvoudig worden berekend:

Het kegelvolume wordt afgetrokken van het cilindervolume.

V_{\text{Zylinder}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}

{\ displaystyle V _ {\ text {cilinder}} = \ pi r ^ {2} \ cdot r = \ pi r ^ {3}}

V _ {\ tekst {cilinder}} = \ pi r ^ {2} \ cdot r = \ pi r ^ {3}

V_{\text{Kegel}}={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\cdot r={\frac {1}{3}}\pi r^{3}

{\ displaystyle V _ {\ text {Kegel}} = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} \ cdot r = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {3 } }

V _ {\ text {cone}} = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} \ cdot r = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {3}

V_{\text{Halbkugel}}=V_{\text{Vergleichskörper}}\,=\pi r^{3}-{\frac {1}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\pi r^{3}

{\ displaystyle V _ {\ text {halfrond}} = V _ {\ text {vergelijkingsveld}} \, = \ pi r ^ {3} - {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {3 } = { \ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3}}

V _ {\ tekst {halfrond}} = V _ {\ tekst {vergelijkingsveld}} \, = \ pi r ^ {3} - {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {3} = { \ frac { 2} {3}} \ pi r ^ {3}

Voor het volume van de (volle) bol geldt dus het volgende:

V_{\text{Kugel}}\,=\,2\cdot V_{\text{Halbkugel}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

{\ displaystyle V _ {\ text {sphere}} \, = \, 2 \ cdot V _ {\ text {hemisphere}} = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}

{\ displaystyle V _ {\ text {sphere}} \, = \, 2 \ cdot V _ {\ text {hemisphere}} = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}

.

alternatieve afleiding

De bol kan in een oneindig aantal piramides met hoogte zijn $\!\ r$ ${\ weergavestijl \! \ r}$ $\! \ R$ (punten in het midden van de bol), waarvan het hele basisgebied overeenkomt met het oppervlak van de bol (zie hieronder). Het totale volume van alle piramides is dus: $V={\frac {O\,r}{3}}={\frac {(4\pi r^{2})r}{3}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {O \, r} {3}} = {\ frac {(4 \ pi r ^ {2}) r} {3}} = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$ $V = {\ frac {O \, r} {3}} = {\ frac {(4 \ pi r ^ {2}) r} {3}} = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}$ .

Afleiding met behulp van de integraalrekening

Straal in afstand $\!\ x$ ${\ weergavestijl \! \ x}$ $\! \ x$ :

s={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}

{\ displaystyle s = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}

s = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}

.

Cirkelvormig gebied op afstand $\!\ x$ ${\ weergavestijl \! \ x}$ $\! \ x$ :

\!\ A_{x}=\pi s^{2}

{\ displaystyle \! \ A_ {x} = \ pi s ^ {2}}

{\ displaystyle \! \ A_ {x} = \ pi s ^ {2}}

.

Volume van de bol $\!\ V$ ${\ weergavestijl \! \ V}$ $\!\ V$ :

V=\int _{-r}^{r}{A_{x}\,\mathrm {d} x}=\int _{-r}^{r}{\pi s^{2}\,\mathrm {d} x}=\int _{-r}^{r}{\left({r^{2}-x^{2}}\right)}\pi \,\mathrm {d} x=\int _{-r}^{r}\pi {r^{2}}\,\mathrm {d} x-\int _{-r}^{r}\pi {x^{2}}\,\mathrm {d} x

{\ displaystyle V = \ int _ {- r} ^ {r} {A_ {x} \, \ mathrm {d} x} = \ int _ {- r} ^ {r} {\ pi s ^ {2} \, \ mathrm {d} x} = \ int _ {- r} ^ {r} {\ links ({r ^ {2} -x ^ {2}} \ rechts)} \ pi \, \ mathrm {d } x = \ int _ {- r} ^ {r} \ pi {r ^ {2}} \, \ mathrm {d} x- \ int _ {- r} ^ {r} \ pi {x ^ {2 }} \, \ wiskunde {d} x}

{\ displaystyle V = \ int _ {- r} ^ {r} {A_ {x} \, \ mathrm {d} x} = \ int _ {- r} ^ {r} {\ pi s ^ {2} \, \ mathrm {d} x} = \ int _ {- r} ^ {r} {\ links ({r ^ {2} -x ^ {2}} \ rechts)} \ pi \, \ mathrm {d } x = \ int _ {- r} ^ {r} \ pi {r ^ {2}} \, \ mathrm {d} x- \ int _ {- r} ^ {r} \ pi {x ^ {2 }} \, \ wiskunde {d} x}

V=\pi r^{2}\left[x\right]_{-r}^{r}-{\frac {1}{3}}\pi \left[{x^{3}}\right]_{-r}^{r}

{\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} \ links [x \ rechts] _ {- r} ^ {r} - {\ frac {1} {3}} \ pi \ links [{x ^ {3} } \ rechts] _ {- r} ^ {r}}

{\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} \ links [x \ rechts] _ {- r} ^ {r} - {\ frac {1} {3}} \ pi \ links [{x ^ {3} } \ rechts] _ {- r} ^ {r}}

V=\pi r^{2}\left[r-(-r)\right]-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(-r)^{3}\right]=2\pi r^{3}-{\frac {2}{3}}\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

{\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} \ links [r - (- r) \ rechts] - {\ frac {1} {3}} \ pi \ links [r ^ {3} - (- r) ^ {3} \ rechts] = 2 \ pi r ^ {3} - {\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} = {\ frac {4} {3}} \ pir ^ { 3}}

{\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} \ links [r - (- r) \ rechts] - {\ frac {1} {3}} \ pi \ links [r ^ {3} - (- r) ^ {3} \ rechts] = 2 \ pi r ^ {3} - {\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} = {\ frac {4} {3}} \ pir ^ { 3}}

.

Het volume van een segment van een bol kan op dezelfde manier worden bepaald $\!\ V_{\mathrm {KS} }$ ${\ displaystyle \! \ V _ {\ mathrm {KS}}}$ $\!\ V _ {\ mathrm {KS}}$ de hoogte $\!\ h$ ${\ weergavestijl \! \ h}$ $\!\ H$ berekenen:

V_{\mathrm {KS} }=\int _{r-h}^{r}{A_{x}\,\mathrm {d} x}=\pi r^{2}\left[x\right]_{r-h}^{r}-{\frac {1}{3}}\pi \left[{x^{3}}\right]_{r-h}^{r}

{\ displaystyle V _ {\ mathrm {KS}} = \ int _ {rh} ^ {r} {A_ {x} \, \ mathrm {d} x} = \ pi r ^ {2} \ left [x \ rechts ] _ {rh} ^ {r} - {\ frac {1} {3}} \ pi \ links [{x ^ {3}} \ rechts] _ {rh} ^ {r}}

V _ {\ mathrm {KS}} = \ int _ {rh} ^ {r} {A_ {x} \, \ mathrm {d} x} = \ pi r ^ {2} \ left [x \ right] _ { rh} ^ {r} - {\ frac {1} {3}} \ pi \ links [{x ^ {3}} \ rechts] _ {rh} ^ {r}

V_{\mathrm {KS} }=\pi r^{2}\left[r-(r-h)\right]-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(r-h)^{3}\right]=\pi r^{2}h-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(r^{3}-3r^{2}h+3rh^{2}-h^{3})\right]

{\ displaystyle V _ {\ mathrm {KS}} = \ pi r ^ {2} \ left [r- (rh) \ right] - {\ frac {1} {3}} \ pi \ left [r ^ { 3 } - (rh) ^ {3} \ rechts] = \ pi r ^ {2} h - {\ frac {1} {3}} \ pi \ links [r ^ {3} - (r ^ {3} - 3r ^ {2} h + 3rh ^ {2} -h ^ {3}) \ rechts]}

V _ {\ mathrm {KS}} = \ pi r ^ {2} \ left [r- (rh) \ right] - {\ frac {1} {3}} \ pi \ left [r ^ {3} - ( rh) ^ {3} \ rechts] = \ pi r ^ {2} h - {\ frac {1} {3}} \ pi \ links [r ^ {3} - (r ^ {3} -3r ^ { 2} u + 3rh ^ {2} -h ^ {3}) \ rechts]

V_{\mathrm {KS} }=\pi r^{2}h-\pi r^{2}h+\pi rh^{2}-{\frac {1}{3}}\pi h^{3}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)

{\ displaystyle V _ {\ mathrm {KS}} = \ pi r ^ {2} h- \ pi r ^ {2} h + \ pi rh ^ {2} - {\ frac {1} {3}} \ pi h ^ {3} = {\ frac {\ pi h ^ {2}} {3}} (3r-h)}

V _ {\ mathrm {KS}} = \ pi r ^ {2} h- \ pi r ^ {2} h + \ pi rh ^ {2} - {\ frac {1} {3}} \ pi h ^ {3 } = {\ frac {\ pi h ^ {2}} {3}} (3r-h)

.

verdere afleidingen

Een bol met een straal $R.$ ${\ weergavestijl R}$ $R.$ , waarvan het middelpunt de oorsprong van de coördinaten is, kan worden uitgedrukt door de vergelijking

K:~x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}

{\ displaystyle K: ~ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ leq R ^ {2}}

K: ~ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ leq R ^ {2}

beschrijven, waar? $x,\ y,\ z$ ${\ weergavestijl x, \ y, \ z}$ $x, \ y, \ z$ de ruimtecoördinaten zijn.

Dit probleem kan op twee manieren worden opgelost met behulp van integraalrekening:

We parametriseren de bol tot een Lebesgue-nulset

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r~\sin \vartheta ~\cos \varphi \\r~\sin \vartheta ~\sin \varphi \\r~\cos \vartheta \end{pmatrix}}\qquad (0\leq r\leq R,\ 0\leq \vartheta \leq \pi ,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi )

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ einde {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} r ~ \ sin \ vartheta ~ \ cos \ varphi \\ r ~ \ sin \ vartheta ~ \ sin \ varphi \\ r ~ \ cos \ vartheta \ end {pmatrix}} \ qquad (0 \ leq r \ leq R, \ 0 \ leq \ vartheta \ leq \ pi, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi )}

{\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ einde {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} r ~ \ sin \ vartheta ~ \ cos \ varphi \\ r ~ \ sin \ vartheta ~ \ sin \ varphi \\ r ~ \ cos \ vartheta \ end {pmatrix}} \ qquad (0 \ leq r \ leq R, \ 0 \ leq \ vartheta \ leq \ pi, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi)

.

Met de functionele determinant

\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\vartheta ,\varphi )}}=r^{2}\sin \vartheta

{\ displaystyle \ det {\ frac {\ gedeeltelijke (x, y, z)} {\ gedeeltelijke (r, \ vartheta, \ varphi)}} = r ^ {2} \ sin \ vartheta}

\ det {\ frac {\ gedeeltelijk (x, y, z)} {\ gedeeltelijk (r, \ vartheta, \ varphi)}} = r ^ {2} \ sin \ vartheta

de vereiste resultaten van het volume-element $\!\ \mathrm {d} V$ ${\ displaystyle \! \ \ mathrm {d} V}$ $\!\ \ mathrm {d} V$ zoals

\mathrm {d} V=r^{2}\sin \vartheta \;\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \vartheta

{\ displaystyle \ mathrm {d} V = r ^ {2} \ sin \ vartheta \; \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} \ vartheta}

\ mathrm {d} V = r ^ {2} \ sin \ vartheta \; \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} \ vartheta

.

Het volume van de bol wordt daarom gegeven als

{\begin{aligned}\int _{K}\mathrm {d} V&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}r^{2}\sin \vartheta \;\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \vartheta \\&=\int _{0}^{R}r^{2}\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \int _{0}^{\pi }\sin \vartheta \;\mathrm {d} \vartheta \\&={\frac {R^{3}}{3}}\cdot 2\pi \cdot 2\\&={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ int _ {K} \ mathrm {d} V & = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ { 0 } ^ {R} r ^ {2} \ sin \ vartheta \; \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} \ vartheta \\ & = \ int _ {0 } ^ {R} r ^ {2} \ mathrm {d} r \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ varphi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ vartheta \ ; \ mathrm {d} \ vartheta \\ & = {\ frac {R ^ {3}} {3}} \ cdot 2 \ pi \ cdot 2 \\ & = {\ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3}. \\\ einde {uitgelijnd}}}

{\ begin {uitgelijnd} \ int _ {K} \ mathrm {d} V & = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ { R} r ^ {2} \ sin \ vartheta \; \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} \ vartheta \\ & = \ int _ {0} ^ { R } r ^ {2} \ mathrm {d} r \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ varphi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ vartheta \; \ mathrm {d} \ vartheta \\ & = {\ frac {R ^ {3}} {3}} \ cdot 2 \ pi \ cdot 2 \\ & = {\ frac {4} {3}} \ pi R ^ { 3}. \\\ einde {uitgelijnd}}

Een andere mogelijkheid is via de poolcoördinaten:

{\begin{aligned}\int _{K}\!\mathrm {d} V&=\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leq R^{2}}\left(\int \limits _{-{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}}^{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}\mathrm {d} z\right)\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leq R^{2}}2{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ int _ {K} \! \ mathrm {d} V & = \ iint \ limieten _ {x ^ {2} + y ^ {2} \ leq R ^ {2}} \ links (\ int \ limieten _ {- {\ sqrt {R ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2}}}} ^ {\ sqrt {R ^ {2} -x ^ {2} - y ^ {2}}} \ mathrm {d} z \ rechts) \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} x \\ & = \ iint \ limieten _ {x ^ {2} + y ^ { 2 } \ leq R ^ {2}} 2 {\ sqrt {R ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2}}} \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} x \ eind {uitgelijnd}}}

{\ begin {uitgelijnd} \ int _ {K} \! \ mathrm {d} V & = \ iint \ limieten _ {x ^ {2} + y ^ {2} \ leq R ^ {2}} \ left ( \ int \ limieten _ {- {\ sqrt {R ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2}}}} ^ {\ sqrt {R ^ {2} -x ^ {2} -y ^ { 2}}} \ mathrm {d} z \ rechts) \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} x \\ & = \ iint \ limieten _ {x ^ {2} + y ^ {2} \ leq R ^ {2}} 2 {\ sqrt {R ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2}}} \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} x. \ End { uitgelijnd}}

Nu wordt het cartesiaanse coördinatensysteem omgezet in het poolcoördinatensysteem , wat betekent dat de integratie na de "verandering" van het coördinatensysteem door middel van de variabelen $\!\varphi$ ${\ displaystyle \! \ varphi}$ $\!\ varphi$ en $\!r$ ${\ weergavestijl \! r}$ $\! R$ wordt voortgezet in plaats van zoals voorheen $\!x$ ${\ weergavestijl \! x}$ $\! x$ en $\!y$ ${\ weergavestijl \! y}$ $\! y$ . De aanleiding voor deze transformatie is de aanzienlijke vereenvoudiging van de berekening in het verdere verloop. Voor het differentieel betekent dit: $\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\;{\xrightarrow {\text{wird zu}}}\;r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} x \; {\ xrightarrow {\ text {wordt}}} \; r \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ varphi }$ $\ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} x \; {\ xrightarrow {\ text {wordt}}} \; r \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ varphi$ (Trefwoord: oppervlakte-element )

{\begin{aligned}\int _{K}\!\mathrm {d} V&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{R}2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\;r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \\&=2\pi \int \limits _{0}^{R}2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\;r\,\mathrm {d} r\\&=2\pi (-1){\frac {2}{3}}\left[{\sqrt {(R^{2}-r^{2})^{3}}}\right]_{r=0}^{R}\\&={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ int _ {K} \! \ mathrm {d} V & = \ int \ limieten _ {0} ^ {2 \ pi} \ int \ limieten _ {0} ^ {R } 2 {\ sqrt {R ^ {2} -r ^ {2}}} \; r \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ varphi \\ & = 2 \ pi \ int \ limieten _ {0} ^ {R} 2 {\ sqrt {R ^ {2} -r ^ {2}}} \; r \, \ mathrm {d} r \\ & = 2 \ pi (-1) {\ frac {2} {3}} \ links [{\ sqrt {(R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {3}}} \ rechts] _ {r = 0} ^ {R} \\ & = {\ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3}. \ einde {uitgelijnd}}}

{\ begin {uitgelijnd} \ int _ {K} \!\ mathrm {d} V & = \ int \ limieten _ {0} ^ {2 \ pi} \ int \ limieten _ {0} ^ {R} 2 { \ sqrt {R ^ {2} -r ^ {2}}} \; r \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ varphi \\ & = 2 \ pi \ int \ limieten _ {0 } ^ {R} 2 {\ sqrt {R ^ {2} -r ^ {2}}} \; r \, \ mathrm {d} r \\ & = 2 \ pi (-1) {\ frac {2 } {3}} \ links [{\ sqrt {(R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {3}}} \ rechts] _ {r = 0} ^ {R} \\ & = {\ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3}. \ Einde {uitgelijnd}}

Verdere weg met behulp van de formule voor omwentelingslichamen

Als je een stuk oppervlak om een vaste ruimtelijke as laat draaien, krijg je een lichaam met een bepaald volume. In het geval van een cirkelvormig gebied ontstaat een bol. Je kunt dit visualiseren als een roterende munt.

De algemene formule voor omwentelingslichamen die rond de x-as roteren geeft

V=\pi \int _{a}^{b}[f(x)]^{2}\mathrm {d} x=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\,\mathrm {d} x

{\ displaystyle V = \ pi \ int _ {a} ^ {b} [f (x)] ^ {2} \ mathrm {d} x = \ pi \ int _ {a} ^ {b} y ^ {2 } \, \ wiskunde {d} x}

V = \ pi \ int _ {a} ^ {b} [f (x)] ^ {2} \ mathrm {d} x = \ pi \ int _ {a} ^ {b} y ^ {2} \, \ wiskunde {d} x

.

De vergelijking voor de cirkel is

(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}\,=\,r^{2}

{\ displaystyle (x-x_ {M}) ^ {2} + (y-y_ {M}) ^ {2} \, = \, r ^ {2}}

(x-x_ {M}) ^ {2} + (y-y_ {M}) ^ {2} \, = \, r ^ {2}

met focus

M={\begin{pmatrix}x_{M}\\y_{M}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} x_ {M} \\ y_ {M} \ einde {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ einde {pmatrix}}}

M = {\ begin {pmatrix} x_ {M} \\ y_ {M} \ einde {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ einde {pmatrix}}

.

Ingevoegd in de vergelijking voor de cirkel, krijgen we

x^{2}+y^{2}=r^{2}\Leftrightarrow y^{2}=r^{2}-x^{2}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2} \ Pijl naar links y ^ {2} = r ^ {2} -x ^ {2}}

x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2} \ Pijl naar links y ^ {2} = r ^ {2} -x ^ {2}

.

Door het in te voegen in de formule voor het roteren van lichamen rond de x-as, krijg je

{\begin{aligned}V_{\text{Kugel}}&=\pi \int _{-r}^{r}\left(r^{2}-x^{2}\right)\,\mathrm {d} x\\&=\pi \left[r^{2}x-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{-r}^{r}\\&=\pi \left(r^{3}-{\frac {1}{3}}r^{3}\right)-\pi \left(r^{2}\cdot (-r)-{\frac {1}{3}}(-r)^{3}\right)\\&=\pi \left[\left({\frac {2}{3}}r^{3}\right)-\left(-{\frac {2}{3}}r^{3}\right)\right]\\&={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} V _ {\ tekst {bol}} & = \ pi \ int _ {- r} ^ {r} \ links (r ^ {2} -x ^ {2} \ rechts) \ , \ mathrm {d} x \\ & = \ pi \ links [r ^ {2} x - {\ frac {1} {3}} x ^ {3} \ rechts] _ {- r} ^ {r } \\ & = \ pi \ links (r ^ {3} - {\ frac {1} {3}} r ^ {3} \ rechts) - \ pi \ links (r ^ {2} \ cdot (-r ) - {\ frac {1} {3}} (- r) ^ {3} \ rechts) \\ & = \ pi \ links [\ links ({\ frac {2} {3}} r ^ {3} \ rechts) - \ links (- {\ frac {2} {3}} r ^ {3} \ rechts) \ rechts] \\ & = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \\\ einde {uitgelijnd}}}

{\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} V _ {\ tekst {bol}} & = \ pi \ int _ {- r} ^ {r} \ links (r ^ {2} -x ^ {2} \ rechts) \ , \ mathrm {d} x \\ & = \ pi \ links [r ^ {2} x - {\ frac {1} {3}} x ^ {3} \ rechts] _ {- r} ^ {r } \\ & = \ pi \ links (r ^ {3} - {\ frac {1} {3}} r ^ {3} \ rechts) - \ pi \ links (r ^ {2} \ cdot (-r ) - {\ frac {1} {3}} (- r) ^ {3} \ rechts) \\ & = \ pi \ links [\ links ({\ frac {2} {3}} r ^ {3} \ rechts) - \ links (- {\ frac {2} {3}} r ^ {3} \ rechts) \ rechts] \\ & = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \\\ einde {uitgelijnd}}}

oppervlakte

Het boloppervlak is het tweedimensionale gebied dat de rand van de bol vormt. Het is dus de verzameling van alle punten waarvan de afstand tot het middelpunt van de bol een vaste waarde heeft $\!\ r$ ${\ weergavestijl \! \ r}$ $\! \ R$ Heeft. Het is een gesloten, tweedimensionaal spruitstuk .

Uw gebied is ${A}=4\pi {r^{2}}$ ${\ weergavestijl {A} = 4 \ pi {r ^ {2}}}$ ${\ weergavestijl {A} = 4 \ pi {r ^ {2}}}$ en dus even groot als die van het buitenoppervlak van de cirkelvormige cilinder die de bol omhult.

Voor een gegeven volume heeft de bol het kleinste oppervlak van alle mogelijke lichamen.

Reden

Raaklijn aan een bol (zijaanzicht) d = hoogte van een laag; r = straal van de bol; c = lengte van een veld; x = afstand van het raakpunt van de centrale as

sferische weergave

Als je een bol verdeelt in:

Lagen met een hoogte van elk $NS$ ${\ weergavestijl d}$ $NS$ en
" Meridianen ", die op de evenaar ook de afstand aangeven $NS$ ${\ weergavestijl d}$ $NS$ hebben voor elkaar

en laat $NS$ ${\ weergavestijl d}$ $NS$ tot $0$ ${\ weergavestijl 0}$ ${\ weergavestijl 0}$ streven

zo is de lengte $C$ ${\ weergavestijl c}$ $C$ van elk veld is omgekeerd evenredig met $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ - dat wil zeggen, de afstand tot de centrale as.

Dit blijkt duidelijk uit de tekening hierboven rechts:

x

{\ weergavestijl x}

x

is de afstand tussen het raakpunt en de centrale as. De raaklijn staat loodrecht op de "spaak"

R

{\ weergavestijl r}

R

en de twee (rechthoekige) driehoeken lijken op elkaar. Dienovereenkomstig is het volgende van toepassing:

c={\frac {r}{x}}\ {d}

{\ displaystyle c = {\ frac {r} {x}} \ {d}}

c = {\ frac {r} {x}} \ {d}

.

De breedte van elk veld is echter evenredig met $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ .

Dit is direct te zien aan de onderstaande tekening, "Aanzicht van bovenaf".

De lengte vermenigvuldigd met de breedte is dus altijd hetzelfde, dwz alle vierkante velden hebben dezelfde oppervlakte.

Het gebied op de evenaar is $d^{2}$ ${\ weergavestijl d ^ {2}}$ $d ^ 2$ ( $c\cdot d$ ${\ displaystyle c \ cdot d}$ ${\ displaystyle c \ cdot d}$ waarin $C$ ${\ weergavestijl c}$ $C$ tegen $NS$ ${\ weergavestijl d}$ $NS$ streeft ernaar ${\frac {r}{x}}$ ${\ weergavestijl {\ frac {r} {x}}}$ ${\ weergavestijl {\ frac {r} {x}}}$ op de evenaar sneller tegen $1$ ${\ weergavestijl 1}$ $1$ streeft ernaar $NS$ ${\ weergavestijl d}$ $NS$ tegen $0$ ${\ weergavestijl 0}$ ${\ weergavestijl 0}$ ).

Aangezien alle velden de inhoud bevatten $d^{2}$ ${\ weergavestijl d ^ {2}}$ $d ^ 2$ en heb het in totaal (aantal velden in horizontale richting vermenigvuldigd met het aantal velden in verticale richting, dus) ${\frac {\text{Umfang}}{d}}\cdot {\frac {\text{Durchmesser}}{d}}={\frac {2\pi r\cdot 2r}{d^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ text {omtrek}} {d}} \ cdot {\ frac {\ text {diameter}} {d}} = {\ frac {2 \ pi r \ cdot 2r} {d ^ { 2}}}}$ ${\ frac {\ text {omtrek}} {d}} \ cdot {\ frac {\ text {diameter}} {d}} = {\ frac {2 \ pi r \ cdot 2r} {d ^ {2}} }$ Velden, de totale oppervlakte van alle velden is: ${A}={4}\pi {r^{2}}$ ${\ displaystyle {A} = {4} \ pi {r ^ {2}}}$ ${\ displaystyle {A} = {4} \ pi {r ^ {2}}}$ .

Alternatieve afleiding met behulp van het bolvormige volume

Een bol kan worden gedacht uit een oneindig aantal oneindig (oneindig klein) piramides . De bases van deze piramides vormen samen het bolvormige oppervlak; de hoogten van de piramides zijn elk gelijk aan de straal van de bol $R$ ${\ weergavestijl r}$ $R$ . Omdat het piramidevolume volgens de formule $V_{P}={\tfrac {1}{3}}Gh$ ${\ displaystyle V_ {P} = {\ tfrac {1} {3}} Gh}$ $V_ {P} = {\ tfrac {1} {3}} Gh$ wordt gegeven, geldt een overeenkomstige relatie voor het totale volume van alle piramides, d.w.z. het bolvormige volume:

V={\frac {1}{3}}A_{O}r

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} A_ {O} r}

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} A_ {O} r}

(

A_{O}

{\ weergavestijl A_ {O}}

{\ weergavestijl A_ {O}}

= Totale oppervlakte van de bol)

Omdat $V={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}$ ${\ displaystyle V = {\ tfrac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$ $V = {\ tfrac {4} {3}} \ pi r ^ {3}$ overgegeven:

{\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {1}{3}}A_{O}r

{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = {\ frac {1} {3}} A_ {O} r}

{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = {\ frac {1} {3}} A_ {O} r}

A_{O}=4\pi r^{2}

{\ displaystyle A_ {O} = 4 \ pi r ^ {2}}

A_O = 4 \ pi r ^ 2

Alternatieve afleiding met behulp van het sferische volume en differentiaalrekening

Aangezien het bolvolume met

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

{\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}

V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}

wordt gedefinieerd en aan de andere kant het oppervlak een luide verandering in volume

A_{O}={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}=4\pi r^{2}

{\ displaystyle A_ {O} = {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} r}} = 4 \ pi r ^ {2}}

A_ {O} = {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} r}} = 4 \ pi r ^ {2}

dat wil zeggen, de oppervlakteformule resulteert onmiddellijk uit de afleiding van de volumeformule.

Afleiding met behulp van de integraalrekening

Van Guldins eerste regel

A_{O}=2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,\mathrm {d} x

{\ displaystyle A_ {O} = 2 \ pi \ int \ limieten _ {a} ^ {b} f (x) {\ sqrt {1+ (f '(x)) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle A_ {O} = 2 \ pi \ int \ limieten _ {a} ^ {b} f (x) {\ sqrt {1+ (f '(x)) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x}

voor het zijoppervlak van een omwentelingslichaam resulteert:

{\begin{aligned}A_{O}&=2\pi \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+\left({\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&=2\pi \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x\\&=2\pi \int \limits _{-r}^{r}r\,\mathrm {d} x\\&=2\pi r\int \limits _{-r}^{r}1\,\mathrm {d} x\\&=4\pi r^{2}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} A_ {O} & = 2 \ pi \ int \ limieten _ {- r} ^ {r} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {-x} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}} \ right) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x \ \ & = 2 \ pi \ int \ limieten _ {- r} ^ {r} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} {\ sqrt {\ frac {r ^ {2}} { r ^ {2} -x ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} x \\ & = 2 \ pi \ int \ limieten _ {- r} ^ {r} r \, \ mathrm {d} x \\ & = 2 \ pi r \ int \ limieten _ {- r} ^ {r} 1 \, \ mathrm {d} x \\ & = 4 \ pi r ^ {2} \ end {uitgelijnd}}}

{\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} A_ {O} & = 2 \ pi \ int \ limieten _ {- r} ^ {r} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {-x} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}} \ right) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x \ \ & = 2 \ pi \ int \ limieten _ {- r} ^ {r} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} {\ sqrt {\ frac {r ^ {2}} { r ^ {2} -x ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} x \\ & = 2 \ pi \ int \ limieten _ {- r} ^ {r} r \, \ mathrm {d} x \\ & = 2 \ pi r \ int \ limieten _ {- r} ^ {r} 1 \, \ mathrm {d} x \\ & = 4 \ pi r ^ {2} \ end {uitgelijnd}}}

Afleiding met behulp van de integraalrekening in sferische coördinaten

Voor het oppervlakte-element op oppervlakken $R$ ${\ weergavestijl r}$ $R$ = konstant gilt in Kugelkoordinaten:

\mathrm {d} A=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi

\mathrm {d} A=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi

\mathrm {d} A=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi

.

Damit lässt sich die Oberfläche einfach berechnen:

{\begin{aligned}A_{O}&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }1\,\mathrm {d} A\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&=2\pi r^{2}\int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \\&=4\pi r^{2}\end{aligned}}

{\begin{aligned}A_{O}&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }1\,\mathrm {d} A\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&=2\pi r^{2}\int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \\&=4\pi r^{2}\end{aligned}}

{\begin{aligned}A_{O}&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }1\,\mathrm {d} A\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&=2\pi r^{2}\int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \\&=4\pi r^{2}\end{aligned}}

Eigenschaften

Das Verhältnis des Volumens einer Kugel (

V_{K}

V_{K}

V_K

) mit Radius

r

{\displaystyle r}

r

zum Volumen des umbeschriebenen Zylinders (

V_{Z}

V_{Z}

V_{Z}

) ist

V_{K}:V_{Z}={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}\;

V_{K}:V_{Z}={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}\;

V_{K}:V_{Z}={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}\;

\Rightarrow V_{K}:V_{Z}=2:3

\Rightarrow V_{K}:V_{Z}=2:3

\Rightarrow V_{K}:V_{Z}=2:3

Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen , nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes.

Die Kugel besitzt weder Kanten noch Ecken. Ihre Oberfläche lässt sich nicht verzerrungsfrei in der Ebene ausbreiten, siehe dazu auch den Artikel Kartennetzentwurf .
In der Differentialgeometrie hat eine Kugel mit Radius $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ an jedem Punkt der Oberfläche die gaußsche Krümmung ${\tfrac {1}{r^{2}}}$ ${\tfrac {1}{r^{2}}}$ $\tfrac{1}{r^2}$ . Auch hieraus folgt, dass die Kugel nicht verzerrungsfrei auf die Ebene (Krümmung 0) abgebildet werden kann.
Die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche der Kugel ( Geodäte ) liegt auf einem Großkreis , also einem Kreis durch den Mittelpunkt der Kugel. Geodäten auf der Erdkugel liegen zum Beispiel auf den Längenkreisen, nicht aber auf den Breitenkreisen – mit Ausnahme des Äquators.
Durch die stereografische Projektion kann die Kugel – bis auf den „Nordpol“ – bijektiv auf die Ebene abgebildet werden. Dadurch kann z. B. der Vier-Farben-Satz auf die Kugel übertragen werden. Durch die umgekehrte Abbildung kann die Ebene bijektiv auf die Kugeloberfläche ohne „Nordpol“ abgebildet werden, der „Nordpol“ steht dann für den „unendlich fernen Punkt“ . In der Funktionentheorie wird auf diese Art die komplexe Zahlenebene auf die Kugel übertragen ( riemannsche Zahlenkugel ), sie ist damit eine kompakte riemannsche Fläche vom Geschlecht 0.
Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Körpern mit vorgegebener Oberfläche umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase ) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation ), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind näherungsweise Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitations bindungsenergie ist. Die mathematische Kugel ist eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln haben stets nur näherungsweise Kugelform.

Das Verhältnis des Volumens einer Kugel mit Radius $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ zum Volumen des umbeschriebenen Zylinders (Radius $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ , Höhe $h$ ${\displaystyle h}$ $h$ = $2r$ ${\displaystyle 2r}$ $2r$ , siehe Bild) ist $2:3$ ${\displaystyle 2:3}$ $2:3$ . Das , sowie die Oberflächen- und Volumenformeln waren bereits dem Griechen Archimedes in der Antike bekannt.

Eine Kugel kann auch als Rotationskörper aufgefasst werden: Lässt man eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser rotieren , so entsteht dadurch eine Kugel. Wird der Kreis durch eine Ellipse ersetzt, die um eine ihrer Achsen rotiert, ergibt sich ein Rotationsellipsoid (auch Sphäroid genannt).

Die Kugel rollt auf einer schiefen Ebene selbsttätig abwärts oder sie kann auf einer Fläche durch äußere Krafteinwirkung in allen Richtungen gerollt werden. In der Technik findet man industriell gefertigte (geschliffene) Kugeln schon seit dem 19. Jahrhundert in Rillenkugellagern .

Verallgemeinerung

Höherdimensionale euklidische Räume

Der Begriff der Kugel lässt sich auf Räume anderer Dimension übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ eine $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ ‑dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ ‑dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) kleiner gleich einer positiven reellen Zahl $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ (dem Radius) ist. Den Rand der $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ ‑dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ ist, bezeichnet man als $(n-1)$ ${\displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ ‑dimensionale Sphäre oder kurz $(n-1)$ ${\displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ ‑Sphäre . Wenn man ohne weitere Angaben von der $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ ‑dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ ‑dimensionale Einheitskugel ; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und der Radius ist gleich 1.

Nach dieser Definition ist eine dreidimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2‑Sphäre. Eine zweidimensionale Kugel ist eine Kreisfläche, der zugehörige Kreisrand eine 1‑Sphäre. Eine eindimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke , wobei die beiden Streckenendpunkte als 0‑Sphäre aufgefasst werden können.

Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ ‑Sphären, wenn sie $(n-1)$ ${\displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ ‑dimensionale Sphären im $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ ‑dimensionalen Raum meinen.

Das $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -dimensionale Volumen einer $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -dimensionalen Kugel mit dem Radius $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ ist

V_{n}=r^{n}{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}

V_{n}=r^{n}{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}

V_{n}=r^{n}{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}

.

Hier ist $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ die Gammafunktion , eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät . Den $(n-1)$ ${\displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ ‑dimensionalen Inhalt der $(n-1)$ ${\displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ ‑dimensionalen Oberfläche, also der $(n-1)$ ${\displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ ‑Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius:

O_{n}=nr^{n-1}{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}=2r^{n-1}{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}

O_{n}=nr^{n-1}{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}=2r^{n-1}{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}

O_{n}=nr^{n-1}{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}=2r^{n-1}{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}

.

Volumen und Oberflächen von Einheitskugeln in

n

{\displaystyle n}

n

Dimensionen

Für eine Einheitskugel in $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ Dimensionen findet man also folgende Volumen und Oberflächeninhalte:

Dimensionen	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…	n=2m	n=2m+1
Volumen	2	$\pi$ $\pi$ $\pi$	${\frac {4\pi }{3}}$ ${\frac {4\pi }{3}}$ ${\frac {4\pi }{3}}$	${\frac {\pi ^{2}}{2}}$ ${\frac {\pi ^{2}}{2}}$ ${\frac {\pi ^{2}}{2}}$	${\frac {8\pi ^{2}}{15}}$ ${\frac {8\pi ^{2}}{15}}$ ${\frac {8\pi ^{2}}{15}}$	${\frac {\pi ^{3}}{6}}$ ${\frac {\pi ^{3}}{6}}$ ${\frac {\pi ^{3}}{6}}$	${\frac {16\pi ^{3}}{105}}$ ${\frac {16\pi ^{3}}{105}}$ ${\frac {16\pi ^{3}}{105}}$	${\frac {\pi ^{4}}{24}}$ ${\frac {\pi ^{4}}{24}}$ ${\frac {\pi ^{4}}{24}}$	${\frac {32\pi ^{4}}{945}}$ ${\frac {32\pi ^{4}}{945}}$ ${\frac {32\pi ^{4}}{945}}$	${\frac {\pi ^{5}}{120}}$ ${\frac {\pi ^{5}}{120}}$ ${\frac {\pi ^{5}}{120}}$	…	${\frac {\pi ^{m}}{m!}}$ ${\frac {\pi ^{m}}{m!}}$ ${\frac {\pi ^{m}}{m!}}$	${\frac {2^{m+1}\pi ^{m}}{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2m+1)}}$ ${\frac {2^{m+1}\pi ^{m}}{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2m+1)}}$ ${\frac {2^{m+1}\pi ^{m}}{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2m+1)}}$
Oberfläche	2	$2\pi$ $2\pi$ $2\pi$	$4\pi$ $4\pi$ $4\pi$	$2\pi ^{2}$ $2\pi ^{2}$ $2\pi ^{2}$	${\frac {8\pi ^{2}}{3}}$ ${\frac {8\pi ^{2}}{3}}$ ${\frac {8\pi ^{2}}{3}}$	$\pi ^{3}$ $\pi ^{3}$ $\pi ^{3}$	${\frac {16\pi ^{3}}{15}}$ ${\frac {16\pi ^{3}}{15}}$ ${\frac {16\pi ^{3}}{15}}$	${\frac {\pi ^{4}}{3}}$ ${\frac {\pi ^{4}}{3}}$ ${\frac {\pi ^{4}}{3}}$	${\frac {32\pi ^{4}}{105}}$ ${\frac {32\pi ^{4}}{105}}$ ${\frac {32\pi ^{4}}{105}}$	${\frac {\pi ^{5}}{12}}$ ${\frac {\pi ^{5}}{12}}$ ${\frac {\pi ^{5}}{12}}$	…	${\frac {2\pi ^{m}}{(m-1)!}}$ ${\frac {2\pi ^{m}}{(m-1)!}}$ ${\frac {2\pi ^{m}}{(m-1)!}}$	${\frac {2^{m+1}\pi ^{m}}{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2m-1)}}$ ${\frac {2^{m+1}\pi ^{m}}{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2m-1)}}$ ${\frac {2^{m+1}\pi ^{m}}{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2m-1)}}$

Eine $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ - Mannigfaltigkeit .

Metrische Räume

Den Begriff der Kugel kann man auf alle Räume verallgemeinern, in denen man einen Abstandsbegriff hat, das sind die metrischen Räume .

Ist $(X,d)$ ${\displaystyle (X,d)}$ $(X,d)$ ein metrischer Raum, $a\in X$ $a\in X$ $a\in X$ und $r\in \mathbb {R}$ $r\in \mathbb {R}$ $r\in \mathbb {R}$ , $r>0$ ${\displaystyle r>0}$ $r>0$ , so nennt man

B(a,r)=\{x\in X\mid d(a,x)<r\}

B(a,r)=\{x\in X\mid d(a,x)<r\}

B(a,r)=\{x\in X\mid d(a,x)<r\}

die offene Kugel mit Mittelpunkt $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ und Radius $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ . ^[1] Die Menge:

{\overline {B}}(a,r)=\{x\in X\mid d(a,x)\leq r\}

{\overline {B}}(a,r)=\{x\in X\mid d(a,x)\leq r\}

{\overline {B}}(a,r)=\{x\in X\mid d(a,x)\leq r\}

heißt abgeschlossene Kugel .

Manche Autoren schreiben auch $U(a,r)$ ${\displaystyle U(a,r)}$ $U(a,r)$ für die offenen und $B(a,r)$ ${\displaystyle B(a,r)}$ $B(a,r)$ für die abgeschlossenen Kugeln. ^[2] Andere Schreibweisen für die offenen Kugeln sind $B_{r}(a)$ $B_{r}(a)$ $B_{r}(a)$ und $U_{r}(a)$ $U_{r}(a)$ $U_{r}(a)$ .

Dichteste Kugelpackung

Dichteste Kugelpackung
grau: unterste Schicht ( A -Schicht)
gelb und rot: B -Schicht oder C -Schicht (hier als zweite Schicht; allgemein in beliebiger Reihenfolge als zweite oder dritte Schicht)

Die dichteste Kugelpackung ist diejenige gegenseitige Anordnung gleich großer Kugeln, die den kleinsten Raum beansprucht. Der leere Raum zwischen den dichtest gepackten Kugeln nimmt nur etwa 26 % des Gesamtraumes ein, bzw. die Packungsdichte beträgt etwa 74 % ^[3] ^[4] :

{\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0{,}74048\approx 74\,\%

{\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0{,}74048\approx 74\,\%

{\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0{,}74048\approx 74\,\%

.

Diese Anordnung kann auf zweierlei Art beschrieben werden:
Sie besteht aus ebenen Schichten aus sich berührenden Kugeln,

von denen jede von sechs benachbarten Kugeln und von je drei Kugeln aus der Schicht darüber und aus der darunter berührt wird, ^[5] oder
von denen jede von vier benachbarten Kugeln und von je vier Kugeln aus der Schicht darüber und aus der darunter berührt wird.

Die erste der beiden Beschreibungen ist die bevorzugt gebrauchte. Die darin enthaltene Schicht wird als hexagonale (regelmäßig sechseckige) Kugel-Schicht , die im zweiten Fall als tetragonale (quadratische) Kugel-Schicht bezeichnet.

Symbolik

Die Kugelform gilt seit altersher als „vollkommene Form“. Erst seit dem Aufkommen der Drechseltechniken war sie – zumindest aus Holz oder weichem Stein – nahezu perfekt herzustellen. Später wurde sie zu einem Sinnbild der Unendlichkeit (manchmal auch des Kosmos). Mit dem Aufkommen von Feuerwaffen wurden Kanonen- und Gewehrkugeln immer mehr auch zu einem Inbegriff von Stärke und Macht (siehe auch: Kugel (Heraldik) ). Im Bereich der Waffentechnik benutzt man den Begriff Kugel auch heute noch für Büchsenmunition , obwohl diese oft nicht mehr die geometrische Form einer Kugel aufweisen ^[6] ^[7] ^[8] .

Anwendungsbeispiele

Erde, Mond und Mars

Die Erde, der Mond und der Mars haben annähernd die Form einer Kugel.

Erde

Die Erde hat den mittleren Durchmesser 12742 km, also den mittleren Radius $r=6371\ \mathrm {km}$ $r=6371\ \mathrm {km}$ $r=6371\ \mathrm {km}$ . Die Masse der Erde beträgt etwa 5,9724 · 10 ²⁴ kg. Daraus ergibt sich mithilfe der oben genannten Formeln für das Volumen , die mittlere Dichte und die Oberfläche :

Volumen : $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (6371\ \mathrm {km} )^{3}\approx 1{,}0832\cdot 10^{12}\ \mathrm {km^{3}}$ $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (6371\ \mathrm {km} )^{3}\approx 1{,}0832\cdot 10^{12}\ \mathrm {km^{3}}$ $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (6371\ \mathrm {km} )^{3}\approx 1{,}0832\cdot 10^{12}\ \mathrm {km^{3}}$

Mittlere Dichte : $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {5{,}9724\cdot 10^{24}\ \mathrm {kg} }{1{,}0832\cdot 10^{12}\ \mathrm {km^{3}} }}={\frac {5{,}9724\cdot 10^{24}\ \mathrm {kg} }{1{,}0832\cdot 10^{21}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 5514\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$ $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {5{,}9724\cdot 10^{24}\ \mathrm {kg} }{1{,}0832\cdot 10^{12}\ \mathrm {km^{3}} }}={\frac {5{,}9724\cdot 10^{24}\ \mathrm {kg} }{1{,}0832\cdot 10^{21}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 5514\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$ $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {5{,}9724\cdot 10^{24}\ \mathrm {kg} }{1{,}0832\cdot 10^{12}\ \mathrm {km^{3}} }}={\frac {5{,}9724\cdot 10^{24}\ \mathrm {kg} }{1{,}0832\cdot 10^{21}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 5514\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$

Die Erde hat also im Durchschnitt eine etwa fünfeinhalb Mal so hohe Dichte wie Wasser unter Standardbedingungen .

Oberfläche : $A=4\cdot \pi \cdot r^{2}=4\cdot \pi \cdot (6371\ \mathrm {km} )^{2}\approx 5{,}101\cdot 10^{8}\ \mathrm {km^{2}}$ $A=4\cdot \pi \cdot r^{2}=4\cdot \pi \cdot (6371\ \mathrm {km} )^{2}\approx 5{,}101\cdot 10^{8}\ \mathrm {km^{2}}$ $A=4\cdot \pi \cdot r^{2}=4\cdot \pi \cdot (6371\ \mathrm {km} )^{2}\approx 5{,}101\cdot 10^{8}\ \mathrm {km^{2}}$

Mond

Der Mond hat den mittleren Durchmesser 3474 km, also den mittleren Radius $r=1737\ \mathrm {km}$ $r=1737\ \mathrm {km}$ $r=1737\ \mathrm {km}$ . Die Masse des Mondes beträgt etwa 7,346 · 10 ²² kg. Daraus ergibt sich:

Volumen : $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (1737\ \mathrm {km} )^{3}\approx 2{,}1958\cdot 10^{10}\ \mathrm {km^{3}}$ $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (1737\ \mathrm {km} )^{3}\approx 2{,}1958\cdot 10^{10}\ \mathrm {km^{3}}$ $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (1737\ \mathrm {km} )^{3}\approx 2{,}1958\cdot 10^{10}\ \mathrm {km^{3}}$

Das ist etwa 2,0 Prozent des Volumens der Erde.

Mittlere Dichte : $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {7{,}346\cdot 10^{22}\ \mathrm {kg} }{2{,}1958\cdot 10^{10}\ \mathrm {km^{3}} }}={\frac {7{,}346\cdot 10^{22}\ \mathrm {kg} }{2{,}1958\cdot 10^{19}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 3345\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$ $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {7{,}346\cdot 10^{22}\ \mathrm {kg} }{2{,}1958\cdot 10^{10}\ \mathrm {km^{3}} }}={\frac {7{,}346\cdot 10^{22}\ \mathrm {kg} }{2{,}1958\cdot 10^{19}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 3345\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$ $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {7{,}346\cdot 10^{22}\ \mathrm {kg} }{2{,}1958\cdot 10^{10}\ \mathrm {km^{3}} }}={\frac {7{,}346\cdot 10^{22}\ \mathrm {kg} }{2{,}1958\cdot 10^{19}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 3345\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$

Der Mond hat also im Durchschnitt eine gut 3,3 Mal so hohe Dichte wie Wasser unter Standardbedingungen .

Oberfläche : $A=4\cdot \pi \cdot r^{2}=4\cdot \pi \cdot (1737\ \mathrm {km} )^{2}\approx 3{,}793\cdot 10^{7}\ \mathrm {km^{2}}$ $A=4\cdot \pi \cdot r^{2}=4\cdot \pi \cdot (1737\ \mathrm {km} )^{2}\approx 3{,}793\cdot 10^{7}\ \mathrm {km^{2}}$ $A=4\cdot \pi \cdot r^{2}=4\cdot \pi \cdot (1737\ \mathrm {km} )^{2}\approx 3{,}793\cdot 10^{7}\ \mathrm {km^{2}}$

Das ist etwa 7,4 Prozent der Oberfläche der Erde.

Mars

Der Mars hat den mittleren Durchmesser 6780 km, also den mittleren Radius $r=3390\ \mathrm {km}$ $r=3390\ \mathrm {km}$ $r=3390\ \mathrm {km}$ . Die Masse des Mars beträgt etwa 6,417 · 10 ²³ kg. Daraus ergibt sich:

Volumen : $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (3390\ \mathrm {km} )^{3}\approx 1{,}6318\cdot 10^{11}\ \mathrm {km^{3}}$ $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (3390\ \mathrm {km} )^{3}\approx 1{,}6318\cdot 10^{11}\ \mathrm {km^{3}}$ $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (3390\ \mathrm {km} )^{3}\approx 1{,}6318\cdot 10^{11}\ \mathrm {km^{3}}$

Das ist etwa 15,1 Prozent des Volumens der Erde.

Mittlere Dichte : $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {6{,}417\cdot 10^{23}\ \mathrm {kg} }{1{,}6318\cdot 10^{11}\ \mathrm {km^{3}} }}={\frac {6{,}417\cdot 10^{23}\ \mathrm {kg} }{1{,}6318\cdot 10^{20}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 3933\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$ $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {6{,}417\cdot 10^{23}\ \mathrm {kg} }{1{,}6318\cdot 10^{11}\ \mathrm {km^{3}} }}={\frac {6{,}417\cdot 10^{23}\ \mathrm {kg} }{1{,}6318\cdot 10^{20}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 3933\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$ $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {6{,}417\cdot 10^{23}\ \mathrm {kg} }{1{,}6318\cdot 10^{11}\ \mathrm {km^{3}} }}={\frac {6{,}417\cdot 10^{23}\ \mathrm {kg} }{1{,}6318\cdot 10^{20}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 3933\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$

Der Mars hat also im Durchschnitt eine knapp vier Mal so hohe Dichte wie Wasser unter Standardbedingungen .

Oberfläche : $A=4\cdot \pi \cdot r^{2}=4\cdot \pi \cdot (3390\ \mathrm {km} )^{2}\approx 1{,}448\cdot 10^{8}\ \mathrm {km^{2}}$ $A=4\cdot \pi \cdot r^{2}=4\cdot \pi \cdot (3390\ \mathrm {km} )^{2}\approx 1{,}448\cdot 10^{8}\ \mathrm {km^{2}}$ $A=4\cdot \pi \cdot r^{2}=4\cdot \pi \cdot (3390\ \mathrm {km} )^{2}\approx 1{,}448\cdot 10^{8}\ \mathrm {km^{2}}$

Das ist etwa 28,4 Prozent der Oberfläche der Erde.

Der Fußball und andere Bälle

Ein Fußball hat einen Radius von etwa 10,8 Zentimetern und eine Masse von etwa 410 Gramm .

Ein Fußball ist kugelförmig und hat einen Umfang von etwa 68 Zentimetern , also einen Radius von $r={\frac {68\ \mathrm {cm} }{2\cdot \pi }}\approx 10{,}8\ \mathrm {cm}$ $r={\frac {68\ \mathrm {cm} }{2\cdot \pi }}\approx 10{,}8\ \mathrm {cm}$ $r={\frac {68\ \mathrm {cm} }{2\cdot \pi }}\approx 10{,}8\ \mathrm {cm}$ . Die Masse eines Fußballs beträgt etwa 410 Gramm . Daraus ergibt sich:

Volumen : $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (10{,}8\ \mathrm {cm} )^{3}\approx 5{,}28\cdot 10^{3}\ \mathrm {cm^{3}} =5{,}28\cdot 10^{-3}\ \mathrm {m^{3}}$ $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (10{,}8\ \mathrm {cm} )^{3}\approx 5{,}28\cdot 10^{3}\ \mathrm {cm^{3}} =5{,}28\cdot 10^{-3}\ \mathrm {m^{3}}$ $V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot (10{,}8\ \mathrm {cm} )^{3}\approx 5{,}28\cdot 10^{3}\ \mathrm {cm^{3}} =5{,}28\cdot 10^{-3}\ \mathrm {m^{3}}$
Mittlere Dichte : $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {410\ \mathrm {g} }{5{,}28\cdot 10^{-3}\ \mathrm {m^{3}} }}={\frac {0{,}41\ \mathrm {kg} }{5{,}28\cdot 10^{-3}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 78\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$ $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {410\ \mathrm {g} }{5{,}28\cdot 10^{-3}\ \mathrm {m^{3}} }}={\frac {0{,}41\ \mathrm {kg} }{5{,}28\cdot 10^{-3}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 78\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$ $\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {410\ \mathrm {g} }{5{,}28\cdot 10^{-3}\ \mathrm {m^{3}} }}={\frac {0{,}41\ \mathrm {kg} }{5{,}28\cdot 10^{-3}\ \mathrm {m^{3}} }}\approx 78\ \mathrm {kg} /\mathrm {m^{3}}$

Die folgende Tabelle zeigt den Umfang , das Volumen , die Masse und die mittlere Dichte (ungefähre Werte) von verschiedenen Bällen im Vergleich:

	Umfang	Volumen	Masse	Mittlere Dichte
Fußball	68 cm	5,28 · 10 ⁻³ m ³	410 g	78 kg/m ³
Handball	58 cm	3,29 · 10 ⁻³ m ³	425 g	129 kg/m ³
Basketball	74,9 cm	7,10 · 10 ⁻³ m ³	567 g	80 kg/m ³
Volleyball	65 cm	4,64 · 10 ⁻³ m ³	260 g	56 kg/m ³
Tennisball	20,5 cm	0,146 · 10 ⁻³ m ³	56,7 g	388 kg/m ³
Tischtennisball	12,6 cm	0,0335 · 10 ⁻³ m ³	2,7 g	81 kg/m ³
Golfball	13,4 cm	0,0407 · 10 ⁻³ m ³	45,9 g	1128 kg/m ³
Billardkugel	18,0 cm	0,0980 · 10 ⁻³ m ³	170 g	1735 kg/m ³

Siehe auch

Die Kugel in der Literatur

Im Roman Kryonium. Die Experimente der Erinnerung von Matthias AK Zimmermann steht die Formel zur Berechnung eines Kugelvolumens (4/3 · π · r³) im Zentrum der Geschichte; sie wird dem Leser anschaulich erläutert. Der Roman ist Archimedes ^[9] gewidmet, der diese Formel hergeleitet hatte. Die Hauptfigur gerät in eine Welt des Vergessens und der Dunkelheit, die sich aus zahlreichen Elementen der Mathematik zusammensetzt. Die Geschichte dreht sich um eine verwunschene 1001-teilige Schneekugelsammlung, welche die geheimnisvollen Vorgänge auf einem Schloss lenkt. In dem Roman lassen sich unterschiedliche Verweise auf die Mathematik finden wie beispielsweise ein Winterwald, der wie ein Möbiusband gekrümmt ist, ein Ungeheuer aus Fraktal , ein Kartesisches Koordinatensystem , Zahlenpalindrome , Lateinische Quadrate , das Dualsystem , Leonhard Euler und Ada Lovelace . ^[10] ^[11]

Literatur

Yann Rocher (Hrsg.): Globes. Architecture et sciences explorent le monde. Norma/Cité de l'architecture, Paris 2017.
Rainer Maroska, Achim Olpp, Claus Stöckle, Hartmut Wellstein: Schnittpunkt 10. Mathematik . Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1997, ISBN 3-12-741050-6 .
Fischer/Kaul: Mathematik für Physiker. Springer, 4. Auflage, ISBN 978-3-662-53968-2 .

Weblinks

Wiktionary: Kugel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons : Kugel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikiquote: Kugel – Zitate

Alles zum Thema Kugel
Java-Applet zum Kugelvolumen (erfordert Installation von Java 1.4)
Herleitung der Volumenformel für Kugeln mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri

Einzelnachweise

↑ Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1976, Definition 1.3. 3. Auflage 2001, ISBN 3-540-67790-9 .
↑ Herbert Federer : Geometric Measure Theory. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1969, 2.8.1.
↑ te:c-science.com: gemeinsame Herleitung der Packungsdichte für kubisch-flächenzentriertes und hexagonal dichtest gepacktes Gitter , gemeinsam
↑ Siegfried Wetzel: Dichteste Kugelpackung ; 8. Die kristallographischen Elementarzellen und ihre Packungsdichten ; getrennte Berechnung für kubisch-flächenzentrierte und hexagonale Elementarzelle
↑ Tóth, László Fejes: Dichteste Kugelpackung , Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft Band 27, 1977, S. 319
↑ Walter Biertümpel & Hanns-Joachim Köhler: Eduard Kettner Jagdwaffenkunde . 4. Auflage. RIW-Verlag Okahandja GmbH, Duisburg 1984, ISBN 3-923270-02-X .
↑ Wolfgang Rausch: Alles über Jagdwaffen in Theorie & Praxis . 4. Auflage. Motorbuch Verlag, Stuttgart 1988, ISBN 3-7168-1324-9 .
↑ Wolfgang Rausch: Alles über Munition für Jagdwaffen in Theorie und Praxis . 1. Auflage. Motorbuch Verlag, Stuttgart 1980, ISBN 3-87943-710-6 .
↑ Literaturkritik.de Hinweis auf Archimedes von Syrakus
↑ Berliner Gazette: In der Schneekugel: Wie Literatur virtuelle Räume erinnern, erschaffen und neu vermessen kann
↑ Aargauer Zeitung: Gefangen in der unendlichen Virtualität

[1] Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1976, Definition 1.3. 3. Auflage 2001, ISBN 3-540-67790-9 .

[2] Herbert Federer : Geometric Measure Theory. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1969, 2.8.1.

[3] te:c-science.com: gemeinsame Herleitung der Packungsdichte für kubisch-flächenzentriertes und hexagonal dichtest gepacktes Gitter , gemeinsam

[4] Siegfried Wetzel: Dichteste Kugelpackung ; 8. Die kristallographischen Elementarzellen und ihre Packungsdichten ; getrennte Berechnung für kubisch-flächenzentrierte und hexagonale Elementarzelle

[5] Tóth, László Fejes: Dichteste Kugelpackung , Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft Band 27, 1977, S. 319

[6] Walter Biertümpel & Hanns-Joachim Köhler: Eduard Kettner Jagdwaffenkunde . 4. Auflage. RIW-Verlag Okahandja GmbH, Duisburg 1984, ISBN 3-923270-02-X .

[7] Wolfgang Rausch: Alles über Jagdwaffen in Theorie & Praxis . 4. Auflage. Motorbuch Verlag, Stuttgart 1988, ISBN 3-7168-1324-9 .

[8] Wolfgang Rausch: Alles über Munition für Jagdwaffen in Theorie und Praxis . 1. Auflage. Motorbuch Verlag, Stuttgart 1980, ISBN 3-87943-710-6 .

[9] Literaturkritik.de Hinweis auf Archimedes von Syrakus

[10] Berliner Gazette: In der Schneekugel: Wie Literatur virtuelle Räume erinnern, erschaffen und neu vermessen kann

[11] Aargauer Zeitung: Gefangen in der unendlichen Virtualität

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]