sferische coördinaten

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
Spring naar navigatie Spring naar zoeken

In sferische coördinaten of ruimtelijke poolcoördinaten wordt een punt in de driedimensionale ruimte gespecificeerd door zijn afstand tot de oorsprong en twee hoeken .

Voor punten op een bolvormig oppervlak ( bol ) rond de coördinaatoorsprong is de afstand tot het middelpunt van de bol constant. Dan zijn alleen de twee hoeken variabel; ze worden dan sferische coördinaten of sferische oppervlaktecoördinaten [1] [2] genoemd .

De term "bolcoördinaten" kan worden gezien als een generieke term voor het algemene geval en de bolcoördinaten. Net als cilindrische coördinaten zijn sferische coördinaten een veralgemening van de vlakke poolcoördinaten naar de driedimensionale Euclidische ruimte . Ze kunnen ook verder worden gegeneraliseerd naar ruimten van elke eindige dimensie.

Gebruikelijke conventie

definitie

sferische coördinaten van een punt en Cartesisch coördinatenstelsel met de assen .

Een bolvormig coördinatenstelsel in de driedimensionale Euclidische ruimte wordt bepaald door de keuze

  • van een centrum (Oorsprong),
  • een gerichte rechte lijn door het centrum (polaire as), die de poolrichting (of zenitrichting) aangeeft, en dit definieert het equatoriale vlak, dat loodrecht op de poolrichting door het centrum loopt, en
  • een referentierichting in het equatoriale vlak .

Vaak wordt tegelijkertijd een cartesiaans coördinatenstelsel gebruikt. Dan wordt meestal de oorsprong van het cartesiaanse coördinatenstelsel gekozen als het centrum, de z- as als de poolas (en dus het xy- vlak als het equatoriale vlak) en de x- as als de referentierichting.

In de versie van sferische coördinaten die gebruikelijk is in wiskunde en natuurkunde, wordt een punt bepaald door de volgende drie coördinaten :

  • , de straal , is de afstand vanaf het punt van , dit definieert het bolvormige oppervlak waarop bevindt.
  • of , [3] de polaire hoek of poolafstand angle [4] , is de hoek tussen de polaire richting en de lijn , geteld door tot (0 ° tot 180 °), dit wordt de locatie van het punt ingesteld op een cirkelvormige lijn van het bolvormige oppervlak .
  • of , [3] is de azimuthoek , [4] is de hoek tussen de referentierichting en de orthogonale projectie van de lijn , geteld door tot (−180 ° tot 180 °) of van 0 tot (0 ° tot 360 °) tegen de klok in. Dit wordt de locatie van het punt duidelijk aangegeven op de cirkelvormige lijn.

De afbeelding hiernaast toont een punt met de bolcoördinaten . De twee hoekige maten en worden ook wel hoekcoördinaten genoemd .

Conversies

Elk drietal coördinaten een punt wordt toegewezen in de driedimensionale Euclidische ruimte (parameterisatie). Als u een Cartesiaans coördinatensysteem kiest zoals hierboven, kan de toewijzing worden beschreven door de volgende vergelijkingen :

In deze vergelijkingen, voor , en alle numerieke waarden kunnen worden gebruikt. Om de sferische coördinaten duidelijk te bepalen, moet het waardebereik van de coördinaten worden beperkt. Meestal is de straal beperkt tot niet-negatieve waarden, de hoek op de pauze of [0, 180 °] en de hoek ofwel op de pauze of (−180 °, 180 °] of het interval of [0, 360 °). Zelfs dan zijn er gedegenereerde punten waarvoor de hoekcoördinaten niet uniek zijn. Voor punten op de z- as is de hoek niet vast, dus geen. Want de oorsprong is ook elk. Om duidelijkheid te krijgen kan men op zoek gaan naar deze punten en voor de oorsprong bovendien .

De bolcoördinaten kunnen worden gebruikt voor de andere punten van de cartesiaanse coördinaten bereken met de volgende vergelijkingen: [5]

De gegeven vergelijkingen voor de hoek toepassen als tussenin en is gekozen. Men kiest tussen 0 en dus ze zijn geschikt om te wijzigen.

In analyse en zijn toepassingen worden sferische coördinaathoeken meestal gegeven in radialen .

Toepassingen

Sferische coördinaten worden vaak gebruikt bij het onderzoeken van systemen die rotatiesymmetrisch zijn rond een punt. Voorbeelden zijn: Volume-integralen over bollen, het beschrijven en onderzoeken van rotatiesymmetrische krachtvelden , zoals B. het zwaartekrachtveld van een bolvormig hemellichaam, het elektrische veld van een puntlading of een geladen bol (zie voorbeelden voor de oppervlakte-integraal) . De beschouwde grootheden zijn dan niet afhankelijk van de hoekcoördinaten, wat veel formules vereenvoudigt. Belangrijke partiële differentiaalvergelijkingen zoals de Laplace-vergelijking of de Helmholtz- vergelijking kunnen worden opgelost in bolcoördinaten door de variabelen te scheiden .

andere conventies

De bovenstaande keuze van coördinaten is internationale consensus in de theoretische natuurkunde . Soms zijn de tekenen en maar in de tegenovergestelde zin gebruikt, vooral in de Amerikaanse literatuur.

De polaire hoek is niet de breedtegraad , maar kan ook met de Colatitude identificeren. De breedtegraad is de hoek tussen het equatoriale vlak en de positievector en heeft waarden tussen en Aan. Zal ze met? heet zo . Aan de andere kant kun je de bovenstaande gebruiken gemakkelijk met de lengtegraad gelijk aan ten oosten van Greenwich (zie geografische coördinaten ).

De bovenstaande constructie is in sommige opzichten in strijd met de constructie van de vlakke poolcoördinaten. Voor sommige problemen is het praktischer om de representatie te gebruiken

gebruiken. In deze voorstelling komt overeen met de breedtegraad.

De inverse transformatie van het punt of de vector in de hoekcomponenten vindt dan plaats met

,

waarin .

Transformatie van differentiëlen

Jacobiaanse matrix

De lokale eigenschappen van de coördinatentransformatie worden beschreven door de Jacobi-matrix . Voor de transformatie van bolcoördinaten naar cartesiaanse coördinaten is dit:

De bijbehorende functionele determinant is:

De eenvoudigste manier om de Jacobi-matrix van de tegenovergestelde transformatie te berekenen, is als de inverse van :

Sommige componenten van deze matrix zijn breuken waarvan de noemers de dubbelzinnigheid van de poolcoördinaten aangeven en bij (dus of ) herkent. De weergave in cartesiaanse coördinaten komt minder vaak voor:

Differentiëlen, volume-element, oppervlakte-element, lijnelement

Met de Jacobi-matrix kan de conversie van differentiëlen duidelijk worden geschreven als een lineaire kaart:

respectievelijk

.

Het volume-element kan bijzonder eenvoudig worden gemaakt met behulp van de functionele determinant

overzetten:

.

Door differentiatie wordt verkregen voor het oppervlakte-element op een bol met een straal

.

Het lijnelement wordt berekend volgens

Metrische en rotatiematrix

Bij afwezigheid van gemengde links in het lijnelement die de metrische tensor weerspiegelt

heeft geen off-diagonale elementen, zelfs niet in sferische coördinaten.

De metrische tensor is duidelijk het kwadraat van de diagonale matrix

.

Met behulp van deze matrix kan de Jacobi-matrix worden beschreven als: schrijven, waar? de rotatiematrix

is.

Transformatie van vectorvelden en operatoren

Sferische coördinaten met een bijbehorende orthogonale basis die afhankelijk is van de locatie

In het volgende wordt de transformatie van vectoren en differentiaaloperatoren als voorbeeld getoond. De resultaten worden bij voorkeur in compacte vorm geschreven met behulp van transformatiematrices. De overgrote meerderheid van uitspraken en formules is alleen van toepassing op punten buiten de z- as waarvoor de Jacobi-determinant niet gelijk is aan nul.

Transformatie van de vectorruimtebasis

De basisvector naar de coördinaat geeft aan in welke richting een punt is verplaatst wanneer de coördinaat met een oneindig klein bedrag is gewijzigd:

.

Hiervan krijg je

.

Om een orthonormale basis te krijgen, moet je: nog steeds op de lengte worden genormaliseerd:

.

De basisvectoren worden op dezelfde manier verkregen en :

Geschreven als kolomvectoren :

Deze basisvectoren vormen in volgorde een rechtssysteem .

De bijbehorende richtingen worden ook wel radiale , meridionale en azimutale richtingen genoemd . Deze termen spelen niet alleen een centrale rol in astronomie en geowetenschappen (bijv. geografie , geologie of geofysica ), maar ook in wiskunde , natuurkunde en verschillende technische wetenschappen , bijvoorbeeld wanneer elektromagnetische golven (" Hertziaanse dipool ") worden uitgezonden, een antenne overspannen in de z- richting, waar de straling plaatsvindt in de radiale richting, terwijl het elektrische of magnetische veld oscilleert in de meridionale of azimutale richting.

Met behulp van de hierboven geïntroduceerde rotatiematrix de transformaties kunnen ook in compacte vorm worden weergegeven:

.

In de tegenovergestelde richting zijn de vergelijkingen dan:

.

(Het wordt gebruikt dat is orthogonaal en daarom .)

Transformatie van een vectorveld

Een vector , als meetkundig object, moet onafhankelijk zijn van het coördinatensysteem:

Aan deze voorwaarde wordt voldaan door:

respectievelijk .

Transformatie van de partiële afgeleiden

De partiële afgeleiden transformeren zoals de basisvectoren, maar zonder normalisatie. Je kunt precies zoals hierboven berekenen, alleen het punt verlaten in de teller weg (in feite in de moderne formulering van differentiaalmeetkunde worden de coördinaatbasisvectoren van de raaklijnruimte en de partiële afgeleiden gelijkgesteld) en gebruikt de Jacobi-matrix in plaats van de rotatiematrix . De transformatie is dus:

,

en in de tegenovergestelde richting

.

Transformatie van de Nabla-operator

De Nabla-operator heeft de eenvoudige vorm alleen in cartesiaanse coördinaten

.

Zowel de partiële afgeleiden als de eenheidsvectoren moeten op de hierboven afgeleide manier worden getransformeerd. Men vindt:

.

In deze vorm kan de getransformeerde Nabla-operator direct worden gebruikt om de gradiënt te berekenen van een scalair veld gegeven in sferische coördinaten.

Om de divergentie van een vectorveld A gegeven in sferische coördinaten te berekenen, moet er echter rekening mee worden gehouden dat niet alleen op de coëfficiënten handelingen, maar ook op basisvectoren die impliciet in A zitten.

Om de rotatie van een vectorveld A gegeven in bolcoördinaten te berekenen, moet met hetzelfde rekening worden gehouden:

Transformation des Laplace-Operators

Wenn man in der Divergenzformel als Vektorfeld A den Gradientenoperator einsetzt, findet man den Laplace-Operator

.

bzw.

.

Verallgemeinerung auf n-dimensionale Kugelkoordinaten

Eine Verallgemeinerung der Kugelkoordinaten auf Dimensionen:

Die Winkel entwickeln sich nach:

Durch Umnummerierung erhält man eine Rekursionsformel für die Winkel:

Woraus sich die folgenden Winkel ergeben:

mit und

Der Radius ist:

Eine Fallunterscheidung liefert mittels Arkustangens den passenden Winkel zur gegebenen kartesischen Koordinate , wobei :

Dabei fällt auf, dass immer ein zweidimensionaler Vektor ist für .

Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix der Kugelkoordinaten lautet bezüglich der als oberes gegebenen Nummerierung:

Ihre Determinante beträgt:

Das Integral über den Betrag dieser Determinante lässt sich mit der Gammafunktion angeben.

Dies entspricht dem Kugelvolumen einer -dimensionalen Hyperkugel :

Beispiele

2D:

3D:

4D:

Beispiel

Zuordnung am Beispiel mit den geläufigen Koordinatenachsen :

Die Winkel sind dann:

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Richard Doerfling: Mathematik für Ingenieure und Techniker. Oldenbourg Verlag, Seite 169
  2. FW Schäfke: Einführung in die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Springer, 1963, ISBN 978-3-642-94867-1 , Seite 129
  3. a b Lothar Papula : Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. 4. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-34937-9 .
  4. a b Skript ( Memento des Originals vom 17. Dezember 2012 im Internet Archive ) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis. @1 @2 Vorlage:Webachiv/IABot/www-m8.ma.tum.de (PDF; 59 kB) an der TU München
  5. Kugelkoordinaten . Mathematik-Online-Lexikon der Universität Stuttgart. Autoren: App/Höllig