Kromme (wiskunde)

In de wiskunde is een kromme (van het Latijnse curvus "gebogen, gebogen") een eendimensionaal object . In tegenstelling tot een rechte lijn hoeft een kromme geen rechte lijn te zijn, maar kan elke vorm aannemen.

Eendimensionaal betekent informeel dat je maar in één richting (of in de tegenovergestelde richting) op de curve kunt bewegen. Of de curve in het tweedimensionale vlak ("plane curve") of in een hogerdimensionale ruimte (zie ruimtelijke curve ) ligt, is in deze conceptuele context niet relevant.

Afhankelijk van het deelgebied wiskunde zijn er verschillende specificaties voor deze omschrijving.

Parametrische representaties

Een curve kan worden gedefinieerd als de afbeelding van een pad . Een pad is (in tegenstelling tot de omgangstaal) een continue afbeelding van een interval naar de beschouwde ruimte, b.v. B. in het Euclidische vlak $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ .

kubieke curve met een dubbele punt. t → ( t ² - 1, t ( t ² - 1)) of y ² = x ² ( x + 1)

Voorbeelden:

de illustratie

{[0,2\pi [}\to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto (\cos t,\sin t)

{\ displaystyle {[0,2 \ pi [} \ to \ mathbb {R} ^ {2}, \ quad t \ mapsto (\ cos t, \ sin t)}

{\ displaystyle {[0,2 \ pi [} \ to \ mathbb {R} ^ {2}, \ quad t \ mapsto (\ cos t, \ sin t)}

beschrijft de eenheidscirkel in het vlak.

de illustratie

\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto {\big (}t^{2}-1,t(t^{2}-1){\big )}

{\ displaystyle \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {2}, \ quad t \ mapsto {\ big (} t ^ {2} -1, t (t ^ {2} -1) {\ groot)}}

\ R \ to \ R ^ 2, \ quad t \ mapsto \ big (t ^ 2-1, t (t ^ 2-1) \ big)

beschrijft een curve met een enkele dubbele punt bij

(0,0)

{\ weergavestijl (0,0)}

(0.0)

, volgens de parameterwaarden:

t=1

{\ weergavestijl t = 1}

t = 1

en

t=-1

{\ weergavestijl t = -1}

t = -1

.

Af en toe, vooral bij historische namen, wordt er geen onderscheid gemaakt tussen pad en bocht. Dus de interessante structuur in de Hilbert-curve is de weg; het beeld van dit pad is de eenheidsvierkant, dus het heeft geen fractale structuur meer.

De parameterweergave geeft de curve een richtingsgevoel in de richting van de groeiende parameter. ^[1] ^[2]

vergelijkingsrepresentaties

Een kromme kan ook worden beschreven door een of meer vergelijkingen in de coördinaten. Voorbeelden hiervan zijn opnieuw de afbeeldingen van de twee curven die worden gegeven door de parameterrepresentaties hierboven:

de vergelijking

x^{2}+y^{2}=1

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

x ^ 2 + y ^ 2 = 1

beschrijft de eenheidscirkel in het vlak.

de vergelijking

y^{2}=x^{2}(x+1)

{\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {2} (x + 1)}

y ^ 2 = x ^ 2 (x + 1)

beschrijft de hierboven gespecificeerde curve in de parametrische weergave met een dubbele punt.

Als de vergelijking wordt gegeven door een veelterm zoals hier, wordt de kromme algebraïsch genoemd .

Functie grafieken

Functiegrafieken zijn een speciaal geval van beide bovenstaande vormen: De grafiek van een functie

f\colon D\to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto f(x)

{\ displaystyle f \ dubbele punt D \ naar \ mathbb {R}, \ quad x \ mapsto f (x)}

f \ dubbele punt D \ naar \ R, \ quad x \ mapsto f (x)

kan ofwel als een parametrische representatie

D\to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto (t,f(t))

{\ displaystyle D \ tot \ mathbb {R} ^ {2}, \ quad t \ mapsto (t, f (t))}

D \ to \ R ^ 2, \ quad t \ mapsto (t, f (t))

of als een vergelijking

\Gamma _{f}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=f(x)\}

{\ displaystyle \ Gamma _ {f} = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid y = f (x) \}}

\ Gamma_f = \ {(x, y) \ in \ R ^ 2 \ midden y = f (x) \}

kan worden opgegeven.

Als de term krommediscussie wordt gebruikt in schoolwiskunde , wordt meestal alleen dit speciale geval bedoeld.

Differentieerbare krommen, kromming

Zijn $[a,b]\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle [a, b] \ deelverzameling \ mathbb {R}}$ $[a, b] \ deelverzameling \ R$ een interval en $c\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle c \ dubbele punt [a, b] \ tot \ mathbb {R} ^ {n}}$ $c \ dubbele punt [a, b] \ tot \ R ^ n$ een regelmatige curve , dat wil zeggen $|c'(x)|\neq 0$ ${\ displaystyle | c '(x) | \ neq 0}$ $| c '(x) | \ ne 0$ voor iedereen $x\in (a,b)$ ${\ displaystyle x \ in (a, b)}$ $x \ in (a, b)$ . De lengte van de curve is

l=\int _{a}^{b}|c'(t)|\,dt

{\ displaystyle l = \ int _ {a} ^ {b} | c '(t) | \, dt}

l = \ int_a ^ b | c '(t) | \, dt

De functie

x\mapsto \int _{a}^{x}|c'(t)|\,dt

{\ displaystyle x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} | c '(t) | \, dt}

x \ mapsto \ int_a ^ x | c '(t) | \, dt

is een diffeomorfisme $[a,b]\to [0,l]$ ${\ weergavestijl [a, b] \ tot [0, l]}$ $[a, b] \ tot [0, l]$ , en de aaneenschakeling van $C$ ${\ weergavestijl c}$ $C$ met het inverse diffeomorfisme levert een nieuwe curve op ${\tilde {c}}\colon [0,l]\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle {\ tilde {c}} \ dubbele punt [0, l] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ tilde c \ dubbele punt [0, l] \ tot \ R ^ n$ met $|{\tilde {c}}'(x)|=1$ ${\ displaystyle | {\ tilde {c}} '(x) | = 1}$ $| {\ tilde c} '(x) | = 1$ voor iedereen $x\in (0,l)$ ${\ displaystyle x \ in (0, l)}$ $x \ in (0, l)$ . Ze zeggen: ${\tilde {c}}$ ${\ weergavestijl {\ tilde {c}}}$ $\ tilde c$ wordt geparametreerd volgens de booglengte.

Zijn $[a,b]\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle [a, b] \ deelverzameling \ mathbb {R}}$ $[a, b] \ deelverzameling \ R$ een interval en $c\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle c \ dubbele punt [a, b] \ tot \ mathbb {R} ^ {n}}$ $c \ dubbele punt [a, b] \ tot \ R ^ n$ een curve geparametreerd volgens de booglengte. De kromming van $C$ ${\ weergavestijl c}$ $C$ bij het punt $s$ ${\ weergavestijl s}$ $s$ is gedefinieerd als $\kappa (s)=|c''(s)|$ ${\ displaystyle \ kappa (s) = | c '' (s) |}$ $\ kappa (s) = | c '' (s) |$ . Voor vlakke krommen kan de kromming ook een teken worden gegeven: Actual $J$ ${\ weergavestijl J}$ $J$ de rotatie met 90 °, dan is $\kappa (s)$ ${\ displaystyle \ kappa (s)}$ $\ kappa(s)$ bepaald door $c''(s)=\kappa (s)\cdot Jc'(s)$ ${\ displaystyle c '' (s) = \ kappa (s) \ cdot Jc '(s)}$ $c '' (s) = \ kappa (s) \ cdot Jc '(s)$ . Positieve kromming komt overeen met bochten naar links, negatieve bochten naar rechts.

Gesloten bochten

Zijn $c\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle c \ dubbele punt [0,1] \ tot \ mathbb {R} ^ {2}}$ $c \ dubbele punt [0,1] \ tot \ R ^ 2$ een vlakke bocht. Het heet gesloten wanneer $c(0)=c(1)$ ${\ weergavestijl c (0) = c (1)}$ $c (0) = c (1)$ , en eenvoudig gesloten wanneer bovendien $C$ ${\ weergavestijl c}$ $C$ Aan $[0,1)$ ${\ weergavestijl [0,1)}$ $[0.1)$ is injectief. De Jordaanse Kromme Stelling stelt dat een eenvoudig gesloten kromme het vlak verdeelt in een begrensd en een onbegrensd deel. is $C$ ${\ weergavestijl c}$ $C$ een gesloten curve met $c(t)\neq (0,0)$ ${\ displaystyle c (t) \ neq (0,0)}$ $c (t) \ nee (0.0)$ voor iedereen $t\in [0,1]$ ${\ weergavestijl t \ in [0,1]}$ $t \ in [0.1]$ , kunt u aan de curve een omwentelingsgetal toekennen, dat aangeeft hoe vaak de curve rond het nulpunt loopt.

Gladde gesloten curven kunnen een ander nummer worden toegewezen, het tangenscirculatienummer , dat voor een curve is die is geparametreerd volgens de booglengte $c\colon [0,l]\to \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle c \ dubbele punt [0, l] \ tot \ mathbb {R} ^ {2}}$ $c \ dubbele punt [0, l] \ tot \ R ^ 2$ er doorheen

{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{l}\kappa (t)\,dt

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {l} \ kappa (t) \, dt}

\ frac {1} {2 \ pi} \ int_0 ^ l \ kappa (t) \, dt

gegeven is. Heinz Hopf's circulatiestelling zegt dat een eenvoudige gesloten kromme een raaklijn circulatiegetal is $1$ ${\ weergavestijl 1}$ $1$ of $-1$ ${\ weergavestijl -1}$ $-1$ Heeft.

Wees algemeen $x$ ${\ weergavestijl X}$ $x$ een topologische ruimte . In plaats van gesloten paden $c\colon [0,1]\to X$ ${\ displaystyle c \ dubbele punt [0,1] \ tot X}$ $c \ dubbele punt [0,1] \ tot X$ met $c(0)=c(1)$ ${\ weergavestijl c (0) = c (1)}$ $c (0) = c (1)$ men spreekt ook van lussen met een basispunt $c(0)$ ${\ weergavestijl c (0)}$ $c (0)$ . Omdat de quotiëntruimte $[0,1]/\{0,1\}$ ${\ weergavestijl [0.1] / \ {0.1 \}}$ $[0.1] / \ {0.1 \}$ homeomorf met de eenheidscirkel $S^{1}$ ${\ weergavestijl S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ men identificeert lussen met continue kaarten $S^{1}\to X$ ${\ displaystyle S ^ {1} \ tot X}$ $S ^ 1 \ tot X$ . Twee lussen $c_{1},c_{2}$ ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$ $c_1, c_2$ met basispunt $x$ ${\ weergavestijl x}$ $x$ worden homotop genoemd als ze continu in elkaar kunnen worden vervormd met behoud van het basispunt, dwz als er een continue afbeelding is $H\colon [0,1]^{2}\to X$ ${\ displaystyle H \ dubbele punt [0,1] ^ {2} \ tot X}$ $H \ dubbele punt [0,1] ^ 2 \ tot X$ met $H(s,0)=c_{1}(s)$ ${\ displaystyle H (s, 0) = c_ {1} (s)}$ $H (s, 0) = c_1 (s)$ , $H(s,1)=c_{2}(s)$ ${\ displaystyle H (s, 1) = c_ {2} (s)}$ $H (s, 1) = c_2 (s)$ voor iedereen $s$ ${\ weergavestijl s}$ $s$ en $H(0,t)=H(1,t)=x$ ${\ displaystyle H (0, t) = H (1, t) = x}$ $H (0, t) = H (1, t) = x$ voor iedereen $t$ ${\ weergavestijl t}$ $t$ is toepasbaar. De equivalentieklassen homotope lussen vormen een groep , de fundamentele groep van $x$ ${\ weergavestijl X}$ $x$ . is $X=\mathbb {R} ^{2}-\{0\}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {2} - \ {0 \}}$ $X = \ R ^ 2 - \ {0 \}$ , dan is de grondgroep isomorf met meer dan het aantal windingen $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ .

Ruimte krommen

Zijn $[a,b]\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle [a, b] \ deelverzameling \ mathbb {R}}$ $[a, b] \ deelverzameling \ R$ een interval en $c\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle c \ dubbele punt [a, b] \ tot \ mathbb {R} ^ {3}}$ $c \ dubbele punt [a, b] \ tot \ R ^ 3$ een curve geparametreerd volgens de booglengte. De volgende namen zijn standaard:

{\begin{aligned}t(s)&=c'(s)\\n(s)&={\frac {t'(s)}{|t'(s)|}}\\b(s)&=t(s)\times n(s)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} t (s) & = c '(s) \\ n (s) & = {\ frac {t' (s)} {| t '(s) |}} \\ b (s) & = t (s) \ tijden n (s) \ end {uitgelijnd}}}

\ begin {uitlijnen} t (s) & = c '(s) \\ n (s) & = \ frac {t' (s)} {| t '(s) |} \\ b (s) & = t (s) \ tijden n (s) \ einde {uitlijnen}

(gedefinieerd wanneer $t'(s)\neq 0$ ${\ displaystyle t '(s) \ neq 0}$ $t '(s) \ nee 0$ ). $t(s)$ ${\ weergavestijl t (s)}$ $t (en)$ is de raakvector, $n(s)$ ${\ weergavestijl n (s)}$ $NS)$ de normaalvector en $b(s)$ ${\ weergavestijl b (s)}$ $b (en)$ de binormale vector, de triple $(t,n,b)$ ${\ weergavestijl (t, n, b)}$ $(t, n, b)$ wordt bijbehorend statief genoemd . De kromming is $\kappa (s)=|t'(s)|=|c''(s)|$ ${\ displaystyle \ kappa (s) = | t '(s) | = | c' '(s) |}$ $\ kappa (s) = | t '(s) | = | c' '(s) |$ , de krul $\tau (s)$ ${\ weergavestijl \ tau (s)}$ $\ tau (en)$ gedefinieerd door $b'(s)=-\tau (s)n(s)$ ${\ displaystyle b '(s) = - \ tau (s) n (s)}$ $b '(s) = - \ tau (s) n (s)$ . De Frenet-formules zijn van toepassing:

{\begin{matrix}t'&=&&\kappa n\\n'&=&-\kappa t&+&\tau b\\b'&=&&-\tau n\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} t '& = && \ kappa n \\ n' & = & - \ kappa t & + & \ tau b \\ b '& = && - \ tau n \ end {matrix} } }

\ begin {matrix} t '& = & & \ kappa n \\ n' & = & - \ kappa t & + & \ tau b \\ b '& = & & - \ tau n \ einde {matrix}

De belangrijkste stelling van de lokale curve- theorie zegt dat een curve kan worden gereconstrueerd uit kromming en draaiing: het zijn vloeiende functies $\kappa ,\tau \colon [0,l]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ kappa, \ tau \ dubbele punt [0, l] \ tot \ mathbb {R}}$ $\ kappa, \ tau \ dubbele punt [0, l] \ tot \ R$ met $\kappa (s)>0$ ${\ displaystyle \ kappa (s)> 0}$ $\ kappa(s)> 0$ voor iedereen $s\in [0,l]$ ${\ weergavestijl s \ in [0, l]}$ $s \ in [0, l]$ (de waarde 0 is voor $\kappa$ ${\ weergavestijl \ kappa}$ $\ kappa$ dus niet toegestaan), is er precies één corresponderende curve, afgezien van bewegingen .

Elk van twee van de drie vectoren $t$ ${\ weergavestijl t}$ $t$ , $N$ ${\ weergavestijl n}$ $N$ of $B$ ${\ weergavestijl b}$ $B$ De vlakken die door het krommepunt worden overspannen, hebben speciale namen: ^[3]

Het vlakke of oscillerende vlak van Oskulations is van $t$ ${\ weergavestijl t}$ $t$ en $N$ ${\ weergavestijl n}$ $N$ uitgerekt.
Het normale vliegtuig is van $N$ ${\ weergavestijl n}$ $N$ en $B$ ${\ weergavestijl b}$ $B$ uitgerekt.
Het gelijkrichtvlak of uitbreidingsvlak is gemaakt van: $t$ ${\ weergavestijl t}$ $t$ en $B$ ${\ weergavestijl b}$ $B$ uitgerekt.

Krommen als onafhankelijke objecten

Krommen zonder een omringende ruimte zijn relatief oninteressant in differentiaalmeetkunde , omdat elke eendimensionale variëteit diffeomorf is ten opzichte van een echte rechte lijn $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ of naar de eenheidscirkel $S^{1}$ ${\ weergavestijl S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ is. Ook eigenschappen zoals de kromming van een kromme zijn niet intrinsiek vast te stellen.

In de algebraïsche meetkunde en, daaraan gerelateerd, in complexe analyse , worden "krommen" over het algemeen begrepen als eendimensionale complexe variëteiten , vaak ook wel Riemann-oppervlakken genoemd . Deze curven zijn onafhankelijke studieobjecten, het meest prominente voorbeeld zijn de elliptische curven . Zie kromme (algebraïsche meetkunde)

historisch

Het eerste boek van de elementen van Euclides begon met de definitie "Een punt is dat wat geen delen heeft. Een bocht is een lengte zonder breedte."

Deze definitie kan vandaag niet langer worden gehandhaafd, omdat er bijvoorbeeld Peano-curven zijn , dwz continue surjectieve kaarten $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle f \ dubbele punt \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$ $f \ dubbele punt \ mathbb {R} \ tot \ mathbb {R} ^ {2}$ het hele niveau vullen. Aan de andere kant volgt uit het lemma van Sard dat elke differentieerbare curve een oppervlakte van nul heeft, dat wil zeggen, in feite, zoals Euclides vereist, "geen breedte".

literatuur

Ethan D. Bloch: een eerste cursus in geometrische topologie en differentiaalmeetkunde. Birkhauser, Boston 1997.
Wilhelm Klingenberg: een cursus differentiaalmeetkunde. Springer, New York 1978.

web links

Commons : Curves - verzameling afbeeldingen, video's en audiobestanden

WikiWoordenboek: curve - uitleg van betekenissen, woordoorsprong, synoniemen, vertalingen

Individueel bewijs

^ H. Neunzert, WG Eschmann, A. Blickensdörfer-Ehlers, K. Schelkes: Analyse 2: Met een inleiding tot vector- en matrixberekening . Een leerboek en werkboek. 2e editie. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-97840-1 , 23.5 ( beperkt voorbeeld in Zoeken naar boeken met Google).
↑ H. Wörle, H.-J. Rumpf, J. Erven: Taschenbuch der Mathematik . 12e editie. Walter de Gruyter, 1994, ISBN 978-3-486-78544-9 ( beperkte preview in Google Book Search).
^ W. Kühnel: Differentiaalgeometrie. Vieweg-Verlag, 1999, ISBN 978-3-8348-0411-2 , sectie 2.9.

[1] H. Neunzert, WG Eschmann, A. Blickensdörfer-Ehlers, K. Schelkes: Analyse 2: Met een inleiding tot vector- en matrixberekening . Een leerboek en werkboek. 2e editie. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-97840-1 , 23.5 ( beperkt voorbeeld in Zoeken naar boeken met Google).

[2] H. Wörle, H.-J. Rumpf, J. Erven: Taschenbuch der Mathematik . 12e editie. Walter de Gruyter, 1994, ISBN 978-3-486-78544-9 ( beperkte preview in Google Book Search).

[3] W. Kühnel: Differentiaalgeometrie. Vieweg-Verlag, 1999, ISBN 978-3-8348-0411-2 , sectie 2.9.

[1]

[2]

[3]