Zwaartepunt

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
Spring naar navigatie Spring naar zoeken

Het massacentrum (soms ook richten of te onderscheiden van de geometrische zwaartepunt ook wel zwaartepunt) van een lichaam is de massa gewogen gemiddelde van de posities van de massa punten . Voor continue massaverdelingen wordt het lokale gemiddelde van de dichtheid gedefinieerd als het massamiddelpunt. Bij een homogeen lichaam (dus met overal dezelfde dichtheid) valt het zwaartepunt samen met het geometrische zwaartepunt . De staande man is een voorbeeld van een inhomogeen lichaam.

Het concept van het zwaartepunt wordt in de natuurkunde gebruikt om een ​​complex, langwerpig star lichaam te reduceren tot een enkel massapunt voor een eenvoudigere berekening van zijn traject wanneer er een kracht op wordt uitgeoefend . Veel berekeningen zijn ook vereenvoudigd in het zwaartepuntsysteem , waarbij het zwaartepunt als oorsprong van de coördinaten wordt gebruikt (zie ook meerlichamensysteem ). Externe krachten die in het zwaartepunt werken, kunnen de rotatietoestand van het object niet veranderen omdat ze geen koppel uitoefenen vanwege het ontbreken van een hefboomarm in het zwaartepunt. Assen door het zwaartepunt worden ook wel assen van zwaartekracht genoemd . [1]

In de hemelmechanica wordt het zwaartepunt van een systeem van verschillende hemellichamen het barycentrum genoemd .

Het zwaartepunt van een lichaam hoeft zich niet in het lichaam te bevinden. Voorbeelden hiervan zijn de torus , een boemerang , een cup of het zwaartepunt van een hoogspringer . Maar als het lichaam convex is , ligt het zwaartepunt nooit buiten.

Massamiddelpunt van twee puntmassa's op een staaf

Gegeven een staaf van lengte . De twee puntmassa's bevinden zich op deze staaf en op de plaatsen en .

Fig. 1: Staaf met twee puntmassa's en een zwaartepunt (hierbij toegewezen)

Het zwaartepunt (zwaartepunt) kan dan als volgt worden berekend:

De massaverhouding is als het ware ook een procentuele factor . Zal de menigte? oneindig groot, dus het zwaartepunt verschuift naar de plaats . Het publiek zal echter in verhouding tot oneindig groot, dus het zwaartepunt verschuift naar de plaats .

Iets algemener:

Afbeelding 2: Massamiddelpunt iets algemener

Uit figuur 1 blijkt dat: is toepasbaar. In figuur 2 bevinden de puntmassa's zich niet langer op het begin- en eindpunt van de staaf. Aangezien de schaal op de foto's van links naar rechts loopt, moet je de afstand tussen het startpunt van de staaf en het massapunt bepalen daaraan toevoegen. Dit leidt tot de volgende formule:

Massamiddelpunt van meerdere puntmassa's op een staaf

Om verder te gaan met de vorige paragraaf, gaan we nu 3 puntsmassa's op een staaf plaatsen.

Afb. 3: Staaf met driepuntsmassa's

Om het zwaartepunt te bepalen, splitsen we deze constructie in 2 gedeeltelijke staven. Om dit te doen, snijden we de staaf ter plaatse af en deel de menigte de helft op het ene deel van de staaf en de andere helft op het andere deel van de staaf. Eerst berekenen we de zwaartepunten van de deelstaven als volgt, zoals bekend uit de vorige paragraaf:

Met de totale massa van de deelstaven en het massamiddelpunt kunnen de deelstaven nu worden samengevat als een nieuwe puntmassa:

Met deze nieuwe waarden berekent men nu een ander zwaartepunt, dat uiteindelijk het zwaartepunt van de driepuntsmassa's is:

Bij gebruik ziet het er als volgt uit:

Als je deze vergelijking een beetje herformuleert, krijg je het volgende resultaat:

Als men dit resultaat vergelijkt met dat uit de vorige paragraaf, is er een regelmaat te zien. Als je nu n veel puntmassa's op een staaf verdeelt, kan het massamiddelpunt als volgt worden bepaald:

Het is de totale massa, d.w.z. de som van alle puntmassa's:

Massamiddelpunt met continue massaverdeling langs een staaf

Hierbij vallen we terug op de formule uit de vorige paragraaf en vormen we de grenswaarde. Dit geeft een integrale weergave.

Zwaartepunt:

Dichtheidsfunctie:

Totale massa:

Voorbeeldberekening

Gegeven een staaf van lengte . De dichtheid neemt evenredig toe met de lengte van de staaf. Bereken nu het zwaartepunt van de staaf!

Dichtheidsfunctie:

De evenredigheidsfactor wordt hier willekeurig genoemd gekozen.

Totale massa:

Zwaartepunt:

Wiskundige definitie

Het zwaartepunt de massa gewogen gemiddelde van de positie vectoren van alle grondpunten van een lichaam:

Het is de dichtheid op zijn plaats en een volume-element . de noemer van deze termen is de totale massa.

In het geval van een homogeen lichaam, de dichtheid als factor voor de integraal valt dan het massamiddelpunt samen met het volumemiddelpunt (het geometrische zwaartepunt). In veel gevallen kan de berekening dan worden vereenvoudigd; bijvoorbeeld als het midden van het volume op een symmetrie-as van het lichaam ligt, bijvoorbeeld in het geval van een bol in het midden.

Bij discrete systemen kan de volume-integraal worden gegeven door een som over de positievectoren van alle massapunten worden vervangen:

waarin de som van alle individuele massa's is:

De term zwaartepunt vergeleken met het zwaartepunt

Zwaartekracht werkt op alle massapunten van een lichaam. Alleen in een homogeen zwaartekrachtveld is het totale effect alsof de zwaartekracht in het zwaartepunt werkt. Omdat het zwaartekrachtsveld vaak homogeen kan worden aangenomen, b.v. B. in de nabijheid van het aardoppervlak, de voorwaarden zwaartepunt en zwaartepunt vaak zowel ongedifferentieerde aangeduid als het zwaartepunt. [2] [3] In een inhomogeen veld verschilt dit effectieve punt van het zwaartepunt en wordt het de zwaartepunten genoemd in niet-uniforme velden. [4] In zo'n geval treden getijdenkrachten op. [5]

De term zwaartepunt vergeleken met het zwaartepunt

Als een lichaam homogeen is (d.w.z. als het bestaat uit een materiaal dat overal dezelfde dichtheid heeft), valt zijn zwaartepunt samen met zijn geometrische zwaartepunt. Als het lichaam uit delen van verschillende dichtheid bestaat, kan het zwaartepunt afwijken van het zwaartepunt van het volume. Als de verdeling van de massa in het lichaam bekend is, kan het massamiddelpunt worden berekend door integratie . Dit was de gelegenheid die Isaac Newton ertoe bracht calculus te ontwikkelen (tegelijkertijd met Leibniz ).

Bepaling van het massamiddelpunt

Het zwaartepunt ligt onder het ophangpunt op het "zwaartepunt".
Ook het zwaartepunt ligt onder een ander ophangpunt. De positie van het zwaartepunt kan dus worden bepaald uit het snijpunt van de twee lijnen.

De bovenstaande uitleg leidt tot een eenvoudige methode voor de benaderende bepaling van het zwaartepunt van een star lichaam. De benadering bestaat uit het negeren van de afwijkingen van het zwaartepunt en het zwaartepunt en dus ook de veranderingen in de positie van het zwaartepunt wanneer het lichaam roteert: als het lichaam op een willekeurig punt hangt, zal het (geschatte) zwaartepunt massa ligt (in rust) op de verticale lijn (= "zwaartelijn") door het ophangpunt (blauwe lijn in de afbeelding rechts).

Als je dit herhaalt met een ander ophangpunt, vind je (ongeveer) het zwaartepunt als het snijpunt van twee van dergelijke rechte lijnen (“zwaartepunten”). Dat zo'n kruispunt werkelijk bestaat en onafhankelijk is van de keuze van ophangpunten is echter minder triviaal dan de eerste indruk doet vermoeden.

De volgende methode om het zwaartepunt te bepalen van een smal en langwerpig object (bijv. liniaal of bezem) is verbazingwekkend: Plaats het object over de twee wijsvingers gestrekt naar voren op dezelfde hoogte, wat gemakkelijk mogelijk is zolang de vingers nog ver weg zijn uit elkaar zijn. Breng nu langzaam je wijsvingers dichter bij elkaar totdat ze elkaar raken, waarbij je ze altijd op dezelfde hoogte houdt. Als je dit langzaam genoeg doet, glijdt het object langzaam over je vingers zonder opzij te kantelen. De vinger, die zich dichter bij het massamiddelpunt bevindt, staat onder grotere druk, wat leidt tot meer wrijving. Dit betekent dat het object voornamelijk over de andere vinger glijdt. Dit regelt het systeem zo dat beide vingers ongeveer dezelfde wrijving hebben en het zwaartepunt in hun midden ligt. Ten slotte raken de wijsvingers elkaar, het object is nog steeds horizontaal en het zwaartepunt ligt boven de twee vingers. Als het object echter te veel wordt gebogen, treedt het bovengenoemde effect op en ligt het zwaartepunt onder het steunpunt.

Zie ook

literatuur

  • Natuurkunde: een lexicon van alle schoolfysica . Schülerduden, Bibliographisches Institut, Mannheim 1974, ISBN 3-411-01122-X , blz. 367-368.

Individueel bewijs

  1. ^ D. Gross, W. Hauger, J. Schröder en WA Wall: Technische Mechanik 1: Statik. Springer-leerboek 2011, ISBN 9783642138058 , blz. 114.
  2. John McLester, Peter St. Pierre: Applied biomechanica: concepten en aansluitingen . Cengage Learning, 2008, ISBN 978-0-495-10586-2 , blz. 28.
  3. ^ John Harris, Walter Benenson, Horst Stöcker: Handbook of physics . Springer, 2002, ISBN 978-0-387-95269-7 , blz. 94.
  4. Theo Koupelis, Karl F. Kuhn: In zoektocht van het universum . Jones & Bartlett Learning, 13 april 2007, ISBN 978-0-7637-4387-1 , blz. 86.
  5. ^ Philip Ball: De matrix van het leven: een biografie van water . University of California Press, 2001, ISBN 978-0-520-23008-8 , blz. 37.