Parallelle projectie

Principe van parallelle projectie

Een parallelle projectie is een afbeelding van punten in een driedimensionale ruimte op punten van een bepaald vlak , waarbij de projectiestralen evenwijdig aan elkaar zijn. Als de projectiestralen het projectievlak in een rechte hoek raken, is er sprake van een orthogonale projectie . Een parallelle projectie kan worden gezien als een grensgeval van een centrale projectie waarbij het projectiecentrum op oneindig is . Parallelle projecties worden vaak gebruikt om schuine afbeeldingen van geometrische lichamen te maken.

Beschrijving

Het beeldpunt van een willekeurig punt in de ruimte wordt verkregen in een parallelle projectie door de lijn evenwijdig aan de projectierichting door dit punt te brengen om het projectievlak te snijden. Rechte lijnen worden over het algemeen teruggezet op rechte lijnen door middel van parallelle projectie. Dit geldt echter niet voor parallellen met de projectierichting, omdat deze samenvloeien in punten. De rechte lijnen in het beeld van evenwijdige rechte lijnen zijn - indien gedefinieerd - ook evenwijdig aan elkaar. De lengte van een lijn blijft behouden als deze evenwijdig aan het projectievlak loopt. De grootte van een geprojecteerde hoek komt meestal niet overeen met de grootte van de oorspronkelijke hoek. Om deze reden wordt een rechthoek over het algemeen afgebeeld op een parallellogram , maar slechts in uitzonderlijke gevallen op een rechthoek. Hetzelfde geldt voor cirkels , die over het algemeen in ellipsen veranderen .

Parallelle projectie van een kubus: a) orthogonaal, b) schuin

In het algemeen treffen de projectiestralen het projectieoppervlak onder een hoek. Men spreekt dan van een schuine of schuine parallelle projectie. Voorbeelden hiervan zijn de cavalierprojectie en het vogelperspectief .

Orthogonale projectie (ook wel orthogonale of orthografische parallelle projectie genoemd ) wordt het vaakst gebruikt. Hier raken de projectiestralen het projectievlak in een rechte hoek. De technische tekeningen van de ingenieurs en architecten zijn gebaseerd op deze projectie, waarbij het bijzondere geval domineert dat een van de drie hoofdniveaus van de vaak kubusvormige technische objecten evenwijdig aan het projectievlak is ( drie-paneelprojectie ). Om tekeningen met een ruimtelijke indruk te maken, wordt dit parallellisme opgeheven. De objecten zijn gekanteld. Afhankelijk van de hellingshoek(en) ontstaan bijvoorbeeld isometrie of maatvoering . De op deze manier verkregen beelden worden vaak ten onrechte gezien als beelden vanuit een beschaafd perspectief. De orthogonale projectie komt overeen met een foto met een telecentrische lens of ongeveer een foto van grote afstand, bij voorkeur genomen met een telelens .

Berekening van pixels

Zou een punt moeten zijn $P.$ ${\ weergavestijl P}$ $P.$ op een vliegtuig (gegeven in normale vorm ) $E:~{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-d=0$ ${\ displaystyle E: ~ {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {x}} - d = 0}$ $E: ~ {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {x}} - d = 0$ door middel van een parallelle projectie met de projectierichting ${\vec {v}}$ ${\ weergavestijl {\ vec {v}}}$ ${\ vec {v}}$ zijn in kaart gebracht, de pixel is van $P.$ ${\ weergavestijl P}$ $P.$ het snijpunt van de rechte lijnen $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ er doorheen $P.$ ${\ weergavestijl P}$ $P.$ met de richtingsvector ${\vec {v}}$ ${\ weergavestijl {\ vec {v}}}$ ${\ vec {v}}$ :

g:~{\vec {x}}={\overrightarrow {OP}}+\lambda {\vec {v}},~\lambda \in \mathbb {R}

{\ displaystyle g: ~ {\ vec {x}} = {\ pijl naar rechts {OP}} + \ lambda {\ vec {v}}, ~ \ lambda \ in \ mathbb {R}}

g: ~ {\ vec x} = \ pijl naar rechts {OP} + \ lambda {\ vec {v}}, ~ \ lambda \ in {\ mathbb {R}}

Als je het vlak en de rechte lijn elkaar laat kruisen, is het resultaat voor de parameter $\lambda$ ${\ weergavestijl \ lambda}$ $\ lambda$ :

\lambda ={\frac {d-{\overrightarrow {OP}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}}}

{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {d - {\ pijl naar rechts {OP}} \ cdot {\ vec {n}}} {{\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}}}}}

\ lambda = {\ frac {d- \ pijl naar rechts {OP} \ cdot {\ vec {n}}} {{\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}}}}

Als je het in een rechte lijn zet $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ men krijgt het snijpunt hiervan met $e.$ ${\ weergavestijl E}$ $e.$ en daarmee de pixel ${P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P '}$ $P '$ :

{\overrightarrow {OP'}}={\overrightarrow {OP}}+{\frac {d-{\overrightarrow {OP}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}}}\cdot {\vec {v}}

{\ displaystyle {\ pijl rechts {OP '}} = {\ pijl rechts {OP}} + {\ frac {d - {\ pijl rechts {OP}} \ cdot {\ vec {n}}} {{\ vec {n} } \ cdot {\ vec {v}}}} \ cdot {\ vec {v}}}

\ pijl rechts {OP '} = \ pijl rechts {OP} + {\ frac {d- \ pijl rechts {OP} \ cdot {\ vec {n}}} {{\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v} }}} \ cdot {\ vec {v}}

Als de projectierichting dezelfde is als de normale richting van het vlak $({\vec {v}}={\vec {n}})$ ${\ weergavestijl ({\ vec {v}} = {\ vec {n}})}$ $({\ vec v} = {\ vec n})$ , wordt de orthogonale projectie van het punt op het vlak verkregen als een speciaal geval.

synthetische geometrie

In synthetische meetkunde speelt de parallelle projectie van een rechte lijn in een affien vlak op een andere rechte lijn in hetzelfde vlak een fundamentele rol. De definitie hier is: Be $A.$ ${\ weergavestijl A}$ $A.$ een affien vlak en be $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ en $H$ ${\ weergavestijl h}$ $H$ verschillende rechte lijnen van het vlak opgevat als verzamelingen punten die erop liggen. Een bijectieve afbeelding $\pi :g\rightarrow h$ ${\ displaystyle \ pi: g \ rechterpijl h}$ $\ pi: g \ pijl naar rechts h$ heet parallelle projectie van $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ Aan $H$ ${\ weergavestijl h}$ $H$ indien:

Elkaar snijden $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ en $H$ ${\ weergavestijl h}$ $H$ op één punt $S.$ ${\ weergavestijl S}$ $S.$ , dan geldt $\pi (S)=S$ ${\ displaystyle \ pi (S) = S}$ $\ pi (S) = S$
Voor twee verschillende punten $P,Q\in g$ ${\ displaystijl P, Q \ in g}$ $P, Q \ in g$ dat ook niet $H$ ${\ weergavestijl h}$ $H$ altijd van toepassing

P\pi (P)\parallel Q\pi (Q)

{\ displaystyle P \ pi (P) \ parallel Q \ pi (Q)}

P \ pi (P) \ parallel Q \ pi (Q)

.

Om formele redenen is ook het volgende gedefinieerd: Voor $g=h$ ${\ weergavestijl g = h}$ $g = h$ het identieke beeld is de enige parallelle projectie.

Eigenschappen en betekenis

De belangrijkste formele eigenschappen van de parallelle projecties gedefinieerd op deze manier tussen rechte lijnen van elk, maar hier stevig geselecteerd affien vlak:

Elke parallelle projectie van het vlak is omkeerbaar en het omgekeerde beeld is een parallelle projectie.
Naar twee willekeurige rechte lijnen $G, H$ ${\ weergavestijl g, h}$ $g, h$ het vlak heeft altijd een parallelle projectie $\pi :g\rightarrow h$ ${\ displaystyle \ pi: g \ rechterpijl h}$ $\ pi: g \ pijl naar rechts h$ .

Deze parallelle projectie is de identiteit, als $g=h$ ${\ weergavestijl g = h}$ $g = h$ is.
voor $g\neq h$ ${\ displaystyle g \ neq h}$ $g \ neq h$ is zo'n parallelle projectie door een enkel punt-beeld puntenpaar $(P,\pi (P))$ ${\ weergavestijl (P, \ pi (P))}$ $(P, \ pi (P))$ duidelijk bepaald, mits $P.$ ${\ weergavestijl P}$ $P.$ is niet het snijpunt van de rechte lijnen.
Kies twee punten $P\in g,P'\in h$ ${\ displaystyle P \ in g, P '\ in h}$ $P \ in g, P '\ in h$ die beide de rechte lijnen niet snijden $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ en $H$ ${\ weergavestijl h}$ $H$ dan is er precies één parallelle projectie van $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ Aan $H$ ${\ weergavestijl h}$ $H$ , de $P.$ ${\ weergavestijl P}$ $P.$ Aan ${P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P '}$ $P '$ kaarten.

De samenstelling van twee parallelle projecties van het vlak, $\pi _{12}:g_{1}\rightarrow g_{2},\,\pi _{23}:g_{2}\rightarrow g_{3}$ ${\ displaystyle \ pi _ {12}: g_ {1} \ pijl naar rechts g_ {2}, \, \ pi _ {23}: g_ {2} \ pijl naar rechts g_ {3}}$ $\ pi _ {{12}}: g_ {1} \ pijl naar rechts g_ {2}, \, \ pi _ {{23}}: g_ {2} \ pijl naar rechts g_ {3}$ , $\pi _{23}\circ \pi _{12}:g_{1}\rightarrow g_{3}$ ${\ displaystyle \ pi _ {23} \ circ \ pi _ {12}: g_ {1} \ rechterpijl g_ {3}}$ $\ pi _ {{23}} \ circ \ pi _ {{12}}: g_ {1} \ pijl naar rechts g_ {3}$ is altijd een bijectieve afbeelding, maar het is over het algemeen geen parallelle projectie.

Het concept van parallelle projectie maakt het mogelijk om het concept van affiniteit te generaliseren naar niet-desargue affiene niveaus. In het algemeen wordt gedefinieerd:

een collineatie

\alpha :A\rightarrow A

{\ displaystyle \ alpha: A \ pijl naar rechts A}

\ alpha: A \ pijl naar rechts A

op een affien vlak heet affiniteit als voor elke rechte lijn

g\subset A

{\ displaystyle g \ deelverzameling A}

g \ deelverzameling A

de beperking

\left.\alpha \right|_{g}:g\rightarrow \alpha (g)

{\ displaystyle \ left. \ alpha \ right | _ {g}: g \ rightarrow \ alpha (g)}

\ links \ alpha \ rechts | _ {g}: g \ pijl naar rechts \ alpha (g)

kan worden weergegeven door een eindige samenstelling van parallelle projecties.

Door deze definitie en de formele eigenschappen van de parallelle projecties vormen de gegeneraliseerde affiniteiten een ondergroep van de groep van alle collineaties op het affiene vlak. De aanvullende definitie voor parallelle projecties, waarmee de identieke afbeelding van het vlak een affiniteit wordt, verzekert het bestaan van ten minste één affiniteit. Het is niet bekend of er affiene vlakken zijn waar de identieke kaart de enige affiniteit is.

Door hun definitie en de formele eigenschappen van de parallelle projecties erven affiniteiten alle invariantie- eigenschappen van de parallelle projecties :

In een affien vlak dat voldoet aan het affiene Fano-axioma is het middelpunt van twee punten invariant onder parallelle projecties en dus ook onder affiniteiten.

In een affien translatievlak is het volgende van toepassing:

Zijn drie collineaire punten $(T,P,Q)$ ${\ weergavestijl (T, P, Q)}$ $(T, P, Q)$ commensurabel zijn , dan zijn het ook haar beelden onder elke parallelle projectie en elke affiniteit.
De rekfactor en de partiële verhouding van drie verschillende collineaire en commensurabele punten zijn invariant onder parallelle projecties en affiniteiten.

Omgekeerd, aangezien elke gedeeltelijk waarheidsgetrouwe collineatie op een Desargue- niveau voldoet aan de algemene definitie van een affiniteit, zijn juist de gedeeltelijk waarheidsgetrouwe collineaties affiniteiten voor de niveaus van Desargue. Een Desargue-vlak is altijd isomorf met een coördinatenvlak over een hellend lichaam en een affien translatievlak met de extra eigenschap dat collineaire punten altijd vergelijkbaar zijn.

Dit betekent dat de algemene term "affiniteit" voor Desargue-niveaus samenvalt met wat bekend is uit de analytische meetkunde.

voorbeeld

Een vertaling op een affien incidentieniveau is altijd een affiniteit in de zin van de algemene definitie (zie het hoofdartikel Affine translation level ). Er zijn echter ook affiene incidentieniveaus die geen andere vertaling dan identiteit toestaan.

Zie ook

Stelling van Cauchy , op het gemiddelde oppervlak van convexe lichamen wanneer parallel geprojecteerd
Axonometrie , orthogonale axonometrie

literatuur

Beschrijvende meetkunde:

Fucke, Kirch, Nickel: beschrijvende geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig, 1998, ISBN 3-446-00778-4 .
Cornelie Leopold: geometrische basis van architecturale representatie. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart, 2005, ISBN 3-17-018489-X .
Kurt Peter Müller: Ruimtelijke geometrie: Ruimtelijke verschijnselen - Construct - Berekenen . Wiskunde ABC voor het lerarenberoep. 2e herziene en uitgebreide druk. Teubner, Stuttgart / Leipzig / Wiesbaden 2004, Hoofdstuk 2, 2.2.3, p. 38 ff . (Hellende parallelle projectie).
Eduard Stiefel : Leerboek van de beschrijvende meetkunde . In: Studieboeken en monografieën uit de exacte wetenschappen . Wiskundige reeks. 2e herziene druk. plakband 6e Birkhäuser, Bazel / Stuttgart 1960 (gedetailleerde en toepassingsgerichte weergave van verticale parallelle en vooral driedelige projectie).

Synthetische geometrie:

Wendelin Degen en Lothar Profke: Basisprincipes van affiene en Euclidische meetkunde . In: Wiskunde voor het lesgeven op middelbare scholen . 1e editie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8 .

De geschiedenis van het woord:

Jeremy Gray : Werelden uit het niets . Een cursus in de geschiedenis van de meetkunde van de 19e eeuw. 1e editie. Springer, Berlijn / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-0-85729-059-5 , 1e hoofdstuk.
Gaspard Monge : Geométrie beschrijvend . 7e editie. Parijs 1847 (Frans, eerste systematische behandeling van projecties met drie panelen en parallelle projectie in het algemeen, eerste editie 1811).
Guido Schreiber: Leerboek van beschrijvende meetkunde . na Monge's Géométrie beschrijvend. 1e geheel herziene druk. Herder, Karlsruhe en Freiburg 1928 (Zwaar herziene Duitse vertaling van het leerboek van G. Monge).