Punt (geometrie)

Een punt (als een punt in de ruimte ) is een fundamenteel element van de geometrie . Men stelt zich een object eronder voor zonder enige uitzetting. Met de axiomatische benadering van geometrie ( synthetische geometrie ) zijn er naast punten ook andere klassen van geometrische objecten, zoals rechte lijnen . Daarentegen, in analytische meetkunde en differentiële meetkunde , andere geometrische objecten worden gedefinieerd als sets punten. In functionele analyse kunnen functies worden gezien als punten in een functieruimte. In hogere geometrie worden bijvoorbeeld vlakken van een driedimensionale projectieve ruimte begrepen als punten van de bijbehorende dubbele ruimte.

Het punt telt als een speciale cirkel met een straal van nul tot de kegelsneden . Vroeger werd zo'n punt ook wel een wiskundig punt genoemd. ^{[1] [2]}

Oude geometrie tot synthetische geometrie

Na Proclus was Pythagoras de eerste die een definitie van een punt aanbood , als een eenheid ( monas ) die een positie heeft. De Griekse wiskundige Euclides verwees naar ongeveer 300 voor Christus. In zijn werk De Elementen in de eerste definitie het punt als "iets dat geen delen heeft" en gebruikt de term semeion ( oud Grieks σημεῖον eigenlijk "teken", in de wiskunde vooral "punt"). ^[3] Het is een abstracte aanduiding, die waarschijnlijk moet worden opgevat als een antwoord op de problemen die uitgebreid zijn besproken in de Platonische school, de verbinding tussen punten die geen verlenging hebben en de lijnen die daaruit zijn samengesteld en die een verlenging hebben om vast te leggen ; bijvoorbeeld in Aristoteles' De generatione et corruptiee . ^[4]

Voor stellingen en hun bewijzen in synthetische meetkunde doet de ware aard van punten en lijnen er echter niet toe, alleen de relatie van de objecten tot elkaar bepaald door axioma's. David Hilbert wordt gecrediteerd met te zeggen dat in plaats van "punten, rechte lijnen en vlakken" men ook op elk moment "tafels, stoelen en bierpullen" zou kunnen zeggen; het enige dat telt is dat de axioma's worden vervuld.

Een punt is in dit geval een term waarnaar de afzonderlijke axioma's verwijzen. Een voorbeeld is het eerste axioma van het systeem van axioma's van Hilbert :

Twee verschillende punten P en Q bepalen altijd een rechte g.

De betekenis van de term punt vloeit voort uit de totaliteit van het axiomasysteem. Een interpretatie als object zonder extensie is niet verplicht.

In het projectieve vlak zijn de termen punt en rechte lijn zelfs volledig uitwisselbaar. Dit maakt het mogelijk om je een rechte lijn voor te stellen als oneindig klein en een punt als oneindig lang en oneindig dun.

Analytische meetkunde

In de analytische meetkunde wordt de geometrische ruimte genoemd ${\displaystyle \mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">N</span></span>}}${\ weergavestijl n} -dimensionale vectorruimte boven een lichaam ${\displaystyle \mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">K</span></span>}}${\ weergavestijl K} getoond. Elk element van deze vectorruimte wordt een punt genoemd. Een basis definieert een coördinatensysteem en de componenten van een vector met betrekking tot die basis worden de coördinaten van het punt genoemd. Eén punt heeft de dimensie nul.

Alle andere geometrische objecten worden gedefinieerd als verzamelingen punten. Een rechte lijn wordt bijvoorbeeld gedefinieerd als een eendimensionale affiene deelruimte en een vlak als een tweedimensionale affiene deelruimte. Een bol wordt gedefinieerd als de verzameling punten die zich op een bepaalde afstand van het middelpunt bevinden.

Differentiële geometrie

In differentiaalmeetkunde worden de elementen van een verdeelstuk punten genoemd. In dit geval zijn dit geen vectoren, maar kan een punt met behulp van een lokale kaart van coördinaten worden voorzien.

Citaten

Het volgende commentaar komt van Oskar Perron : ^[5]

literatuur

• Manon Baukhage: Het punt. Toegegeven, het lijkt niet veel - zo klein als het is. In feite is het echter een van de grote raadsels van de wereld ; in: "PM - Peter Moosleitners Magazin No. 2/2005 (München: februari 2005); pp. 58-65.

web link

• Definitie van het punt volgens Euclides (Leipzig 1549) [3]

Individueel bewijs

1. ↑ Mathias Hartmann: Basisleer van de meetkunde [1] pagina 1
2. ↑ [2]
3. ^ Wilhelm Gemoll : Grieks-Duits school- en handwoordenboek . G. Freytag Verlag / Hölder-Pichler-Tempsky, München / Wenen 1965.  
4. ^ Leslie Kavanaugh: De architectuur van de filosofie: Plato, Aristoteles, Leibniz . Amsterdam University Press. 2007.
5. ^ Oskar Perron: niet-euclidische elementaire geometrie van het vliegtuig , Stuttgart 1962