kubusvormig

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
Spring naar navigatie Spring naar zoeken
Blokvormig met spatie diagonaal d
Uitgevouwen gaas van een kubus

Een balk is een geometrisch lichaam begrensd door 6 rechthoeken .

Een balk bezit

Tegenoverliggende oppervlakken van een balk zijn evenwijdig en congruent (congruent). De balk is een rechthoekig driedimensionaal parallellepipedum .

In het speciale geval van dezelfde randlengtes , waarin alle vlakken van de balk vierkanten zijn , is het resultaat een kubus . In het geval dat bijvoorbeeld precies twee randlengtes hetzelfde zijn , het resultaat is een vierkant recht prisma , men spreekt wel eens van een vierkante plaat ( ) of een vierkante kolom ( ).

symmetrie

Cuboid heeft verschillende symmetrie-eigenschappen, afhankelijk van het aantal gelijke randlengtes.

Heb kubussen met drie verschillende randlengtes

Heb blokken met twee verschillende randlengtes ( vierkante rechte prisma's )

Kubussen met slechts één randlengte, de kubussen , hebben meer symmetrieën (zie Kubus - Symmetrie ).

Elke balk is

formules

Maten van een balk met randlengtes a, b, c
volume Cuboid abcd.svg
Buitenoppervlak:
Oppervlakte
Umkugelradius
Kamer diagonaal
Oppervlakte diagonalen
Verhouding van volume tot volume van de bol
Stevige hoeken in de hoeken

Optimalisatieproblemen en de kubus

Er zijn verschillende optimalisatieproblemen voor kubussen. Als je op zoek bent naar een balk die op

  • gegeven lengte van de diagonaal of gegeven omtreksvolume het maximale oppervlak
  • gegeven lengte van de diagonaal of gegeven omtreksvolume het maximale volume
  • gegeven oppervlakte de minimale lengte van de diagonaal of het minimale volume van de bol
  • gegeven oppervlakte het maximale volume
  • gegeven volume de minimale lengte van de diagonaal of het minimale omtreksvolume
  • gegeven volume de minimale oppervlakte

dan is de oplossing de kubus .

Twee van de zes optimalisatieproblemen zijn in principe dezelfde vraag met verschillende gegeven grootheden, zodat er eigenlijk maar drie verschillende optimalisatieproblemen zijn. De kubus is de gewenste kubus voor de genoemde optimalisatieproblemen. Dit geldt natuurlijk niet voor alle optimalisatieproblemen.

Dat de optimalisatieproblemen voor de lengte van de diagonaal en het volume van de bol elk dezelfde oplossing hebben, ligt voor de hand omdat het bolvormige volume een continue en strikt monotoon toenemende functie met de functievariabele is.

Als bijvoorbeeld de balk met het grootste volume wordt gezocht voor een bepaalde straal van de bol, dan kunnen de randlengtes worden bepaald , , van de balk met behulp van de partiële afgeleiden van de volumefunctie berekenen of met bewijs door tegenspraak :

Stel bijvoorbeeld een kubus met ten minste twee verschillende randlengtes: en , zou het grootste volume hebben . De orbitale straal is en zijn volume . Dan nog een balk, namelijk de balk met de randlengtes , en dezelfde straal van de bol en het volume . Vanwege de ongelijkheid van het rekenkundig en meetkundig gemiddelde , omdat en is toepasbaar en .

Dus elke balk met ten minste twee verschillende randlengtes balk heeft een kleiner volume dan de andere balk. Hieruit volgt dat een balk met ten minste twee verschillende randlengtes niet het grootste volume kan hebben en tenslotte dat de balk met slechts één randlengte, d.w.z. de kubus met 12 randen van gelijke lengte, het grootste volume heeft van alle balkjes met een gegeven straal van de bol .

Doorslaggevend voor dit bewijs door tegenspraak is dat het volume van de balk eindig moet zijn, omdat het duidelijk kleiner is dan het volume van de bol , en dat de volumefunctie continu is . [1]

Netwerken van kubussen

Algemene balkjes met drie verschillende randlengtes hebben 57 mazen . Dit zijn gegeneraliseerde hexomino's die zijn opgebouwd uit rechthoeken in plaats van vierkanten. Dit betekent dat er 57 mogelijkheden zijn om een ​​holle balk te ontvouwen door 7 randen open te snijden en uit te spreiden in het vlak . De andere 5 randen verbinden elk de 6 rechthoeken van het netwerk.

Blokvormig met twee verschillende randlengtes, namelijk vierkante rechte prisma's , hebben 30 mazen . Kubussen met slechts één randlengte, namelijk kubussen met 12 randen van gelijke lengte, hebben 11 mazen . [2]

Om een ​​balk zo te kleuren dat geen aangrenzende vlakken dezelfde kleur hebben, heb je minimaal 3 kleuren nodig.

generalisatie

De generalisaties van de kubussen in elke dimensie zal zijn als dimensionale kubus of hyperrechthoeken aangewezen of hypercube. de - heeft dimensionale kubussen begrenzende zijden van afmeting k. Speciale gevallen:

  • De nuldimensionale balk ( punt ) heeft 1 hoek .
  • De eendimensionale kubus ( lijn ) heeft 2 hoeken.
  • De tweedimensionale kubus ( rechthoek ) heeft 4 hoeken en 4 randen
  • De vierdimensionale kubus heeft 16 hoeken, 32 randen, 24 rechthoeken als zijvlakken en 8 driedimensionale kubussen als facetten.
  • de - heeft dimensionale kubussen
    • Hoeken ( )
    • Rand ( )
    • Rechthoeken als gebieden ( )
    • Blokvormig als volume ( )
    • Kubus van afmeting als facetten ( ).

Vierkant raster

Een eindig deel van een vierkant rooster. De vlakken lopen parallel aan elkaar.

Het kubusvormige raster is een rangschikking van een oneindig aantal punten in de driedimensionale Euclidische ruimte . Deze puntenverzameling kan formeel de verzameling worden genoemd

zijn geschreven, met de positieve reële getallen , , zijn de afstanden tussen aangrenzende punten . Het kubusvormige rooster wordt gevormd door 3 parallelle rekken (zie affiene figuur ) van het kubusrooster . [3]

Dit kubusrooster is axiaal symmetrisch , rotatiesymmetrisch en puntsymmetrisch . Het is ook translationeel symmetrisch voor alle vectoren met bepaalde lengtes die parallel lopen aan de 3 coördinaatassen, namelijk de oneindig veel vectoren , , , waarin , , gehele getallen zijn en , , de 3 eenheidsvectoren in de driedimensionale Eudlidische vectorruimte .

Zullen oneindig veel parallelle vlakken zijn , die elk de afstand hebben , of. zijn geplaatst loodrecht op de 3 coördinaatassen door dit puntraster dan een vlak rooster wordt gecreëerd (zie afbeelding) dat blokvormige holle ruimten bevat. Deze niveaus kunnen formeler zijn dan de set

geschreven te worden.

Als ook de driedimensionale ruimte volledig wordt gevuld, ontstaat uit congruente kubussen een driedimensionaal parket ( kamervulling ).

Als een geometrisch lichaam in een kubusrooster in een driedimensionale ruimte wordt geplaatst en vervolgens wordt gewijzigd door parallelle rek, zodat een kubusvormig rooster ontstaat, worden andere geometrische lichamen gecreëerd, afhankelijk van het type en de oriëntatie van deze geometrische lichamen:

Parallel rekken van geometrische lichamen
Lichaam in het kubusraster Lichaam in een rechthoekig raster
met orthogonale uitlijning in elke richting
Dobbelsteen kubusvormig Parallellepipedum
vierkant recht prisma kubusvormig Parallellepipedum
kubusvormig kubusvormig Parallellepipedum
Rhomboëder Parallellepipedum
Parallellepipedum Parallellepipedum
regelmatige tetraëder tetraëder
vierkante piramide rechthoekige rechte piramide parallelle vierkante piramide
rechte ronde kegel elliptische rechte kegel elliptische kegel
rechte ronde cilinder elliptische rechte cilinder elliptische cilinder
kogel Ellipsoïde

Euler baksteen

Euler-stenen met randen a, c, b en oppervlaktediagonalen d, e, f
De vijf primitieve Euler-stenen met een randlengte van minder dan 1000

Een Euler-steen is een balk waarin de lengtes van de randen en oppervlaktediagonalen gehele waarden hebben. Het is vernoemd naar Leonhard Euler . Het wordt overspannen door 3 driehoeken waarvan de lengtes van de randen Pythagoras triples zijn en waarvan de rechte hoeken samenkomen in een hoek.

Een Eulersteen is primitief als de drie randlengtes geen gemeenschappelijke factor hebben . De geometrische definitie van de Euler-steen komt overeen met een oplossing van het volgende stelsel van Diophantische vergelijkingen :

waarbij a, b, c de randen zijn en d, e, f de oppervlaktediagonalen. [4]

Een Euler-steen heet perfect als de ruimtediagonaal ook een integrale lengte heeft, dat wil zeggen als ook het volgende geldt:

waarbij g de ruimtediagonaal is.

Perfecte Euler-stenen zijn eenonopgelost probleem in de wiskunde . Er is nog geen voorbeeld van een perfecte Euler-steen gevonden, en het is ook niet bewezen dat er geen bestaat. Met behulp van de computer kon worden aangetoond dat bij een perfecte Eulersteen een van de randen groter zou moeten zijn dan 3 · 10 12 . [5] [6]

Toepassingsvoorbeelden

domino

Domino is een plaatsingsspel met stukken en bevat elke combinatie van 2 getallen van 0 tot 6 precies één keer, waarbij tegels met hetzelfde nummer ook verschijnen. De volgorde van de nummers is niet gedifferentieerd. De afmetingen en de gemiddelde dichtheid van de kubusvormige stenen zijn:

  • Lengte: 9 centimeter
  • Breedte: 4,5 centimeter
  • Hoogte: 1 centimeter
  • Gemiddelde dichtheid: 670 kg / m³

Er zijn dus 7 stenen met 2 identieke nummers, Stenen met 2 verschillende nummers en in totaal 7 + 21 = 28 stenen. Met behulp van de bovenstaande formules resulteert dit in het volume , de oppervlakte en de massa van de dominostenen:

  • Volume van één steen :
  • Totaal volume :
  • Oppervlakte van een steen :
  • Totale oppervlakte :
  • Massa van een steen :
  • Totale massa :

tillen

De open cabine van een lift is 1,40 meter breed, 2,00 meter lang en 2,20 meter hoog. De lucht in de cabine heeft een temperatuur van −10 graden Celsius en een dichtheid van 1.3413 kg/m³. Door verhitting wordt de lucht verwarmd tot 20 graden Celsius en daalt de dichtheid tot 1.2041 kg/m³. De luchtdruk voor en na is 101325 Pascal (zie standaardvoorwaarden ). Deze informatie kan worden gebruikt voor het berekenen van de massa van de lucht in de liftkooi bij -10 graden Celsius en 20 graden Celsius en de hoeveelheid lucht die ontsnapt uit de liftcabine:

  • Luchtmassa bij −10 ° C :
  • Luchtmassa bij 20 ° C :
  • Percentage ontsnappende lucht :

Dus ongeveer 10,2 procent van de lucht ontsnapt.

Zwembad

Een zwembad is 25 meter breed, 50 meter lang, 2,5 meter diep en 96 procent vol. Het water in het zwembad heeft een temperatuur van 0 graden Celsius en een dichtheid van 1.000 kg/m³. Zonne- straling verwarmt het water tot 40 ° C en 60 procent van het water verdampt. Tegelijkertijd daalt de dichtheid tot 0,996 kg/m³. We kunnen stilzwijgend aannemen dat de bodem van het kubusvormige zwembad loodrecht op het middelpunt van de aarde staat, d.w.z. overal bijna dezelfde hoogte boven zeeniveau heeft , en dat het waterpeil van het zwembad overal hetzelfde is.

Dit resulteert in:

  • Waterpeil (voor) :
  • Volume water (voor) :
  • Massa van het water (voor) :
  • Massa water (na) :
  • Volume water (na) :
  • Waterpeil (na) :

Het waterpeil van het zwembad zakt van 2,5 meter naar 0,964 meter.

Zie ook

web links

WikiWoordenboek: Cuboid - uitleg van betekenissen, woordoorsprong, synoniemen, vertalingen
Commons : Cuboid - verzameling afbeeldingen, video's en audiobestanden


Individueel bewijs

  1. Slader-klantenrelaties: vind het maximale volume van een rechthoekige doos die is ingeschreven in een bol met straal r
  2. ^ Wolfram-demonstratieproject: alle 11 vouwnetten van de kubus
  3. ^ Wolfram MathWorld: Cubic Lattice
  4. Eric W. Weisstein : Euler Brick . In: MathWorld (Engels).
  5. Bill Durango: Het "Integer Brick"-probleem .
  6. Eric W. Weisstein : Perfect Cuboid . In: MathWorld (Engels).