Ruimte tijd

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
Spring naar navigatie Spring naar zoeken

Ruimte-tijd of ruimte-tijd continuüm is de algemene representatie van de driedimensionale ruimte en de eendimensionale tijd in een vierdimensionale wiskundige structuur. Deze representatie wordt gebruikt in de relativiteitstheorie .

Mensen ervaren tijd en plaats als twee verschillende dingen, mede vanwege de causaliteit die aan tijd is gekoppeld (een gevolg kan niet eerder optreden dan de oorzaak). In de klassieke natuurkunde en vooral in de technologie worden tijd en plaats behandeld als onafhankelijke grootheden . Bij snelheden in de orde van grootte van de lichtsnelheid blijkt echter dat tijd en plaats van een gebeurtenis onderling afhankelijk zijn. Het tijdsinterval tussen twee gebeurtenissen, zoals bepaald door een bewegende waarnemer, hangt bijvoorbeeld ook af van hun ruimtelijke afstand. Met de ontwikkeling van de speciale relativiteitstheorie werd erkend dat het voordelig is om de twee grootheden te beschouwen als coördinaten in een gemeenschappelijke vierdimensionale ruimte, de Minkowski-ruimte .

In de context van de klassieke mechanica is het concept van ruimte-tijd besproken door Penrose [1] en Arnold [2] .

Ruimtetijd in de speciale relativiteitstheorie

Causaliteit en het concept van afstand

Zelfs met een koppeling van ruimte en tijd, als gebeurtenis A gebeurtenis B veroorzaakt, moet deze " causaliteit " in alle coördinatenstelsels gelden; een verandering van het coördinatensysteem mag de causaliteit van gebeurtenissen niet veranderen. Causaliteit wordt wiskundig gedefinieerd door een concept van afstand . De afstand tussen twee gebeurtenissen hangt af van de drie locatiecoördinaten en de tijdcoördinaat weg. Vanwege de eis om de causaliteit van twee gebeurtenissen of, meer in het algemeen, van de Lorentz-invariantie te handhaven, moeten fysieke modellen worden beschreven in wiskundige ruimten waarin tijd en ruimte op een bepaalde manier zijn gekoppeld .

Een absoluut (absoluut in de zin van invariantie met betrekking tot verandering van coördinaten) geldig afstandsconcept kan worden gebruikt, b.v. B. Definieer de zogenaamde eigentijd of de “algemene afstand” voor ruimtetijdpunten (“ gebeurtenissen ”) van het vierdimensionale ruimte-tijd continuüm, zelfs voor gebeurtenissen die zo dicht (“oneindig”) naburig zijn als gewenst. Wat wordt gemeten als ruimtelijk en wat als temporele afstand hangt af van de bewegingstoestand van de waarnemer en (in het geval van de algemene relativiteitstheorie) van de aanwezigheid van massa of energie (bijvoorbeeld in velden ).

Wiskundig wordt de ruimtetijd beschreven met behulp van een pseudo-Riemann-variëteit , vooral in de zogenaamde Minkowski-ruimte . In de Minkowski-ruimte moet worden gebruikt om afstanden te berekenen Naast de locatiecoördinaten wordt ook rekening gehouden met de tijdcoördinaten van de gebeurtenissen, d.w.z met de snelheid van het licht . De klassieke berekening van ruimtelijke afstanden in cartesiaanse coördinaten - de afstand is in het kwadraat - is daarom gewijzigd: De gekwadrateerde gegeneraliseerde afstand tussen twee gebeurtenissen in de Minkowski-ruimte is en wordt ook ruimtetijdmetriek of ruimtetijdinterval genoemd . De tekens die hier worden gebruikt zijn de handtekening van de metriek en deels een kwestie van conventie. Er zijn bijvoorbeeld andere, gelijkwaardige handtekeningen , of minder voorkomende zoals , waar met is de denkbeeldige eenheid van de complexe getallen .

Minkowski-ruimte, vier-vectoren

In de speciale relativiteitstheorie (SRT) zijn de driedimensionale ruimtecoördinaten een tijdcomponent naar een vier-vector in de Minkowski-ruimte ("Space-time") uitgebreid, dus .

Een punt in ruimte-tijd heeft drie ruimtecoördinaten en één tijdcoördinaat en wordt een gebeurtenis of wereldpunt genoemd .

Voor gebeurtenissen is een invariante ruimte-tijdafstand gedefinieerd. In de klassieke Euclidische ruimte , een driedimensionaal Cartesiaans coördinatensysteem , blijft het differentiële ruimtelijke afstandsvierkant ( Euclidische norm ) van twee punten alleen constant onder Galileo-transformaties :

In de SRT daarentegen wordt een identieke (algemene) afstand gedefinieerd voor alle waarnemers, die zelfs onder Lorentz-transformaties constant (invariant) blijft (deze invariantie wordt gedefinieerd door de eis dat de vierdimensionale afstand of de Minkowski-metriek is constante (invariant) is onder een lineaire coördinatentransformatie , die de bovengenoemde homogeniteit van ruimtetijd uitdrukt.):

Dit is de gekwadrateerde Minkowski-norm , die de onjuiste metriek (afstandsfunctie) van platte ruimtetijd creëert. Het wordt geïnduceerd door het (onbepaalde) invariante scalaire product op de Minkowski-ruimte, wat het effect is van de (pseudo) -metrische tensor laten we definiëren:

(opmerking: de sommatieconventie van Einstein )

Deze metrische tensor wordt in fysiek spraakgebruik ook wel de "Minkowski-metriek" of "platte metriek" van ruimte-tijd genoemd, hoewel deze in feite niet moet worden verward met de metriek zelf. Wiskundig gezien is het eerder een scalair product op een pseudo-Siemens-spruitstuk .

Met het lijnelement het ligt aan de factor rond de differentiële juiste tijd :

Dit wordt gemeten met een klok die tegelijkertijd beweegt , dus in het "tijdelijk begeleidende traagheidssysteem" waarin het deeltje op de wereldlijn rust: .

Een element ( vector ) van ruimtetijd heet

  • tijdig als van toepassing is (ruimte-tijd afstand reëel). Twee evenementen waarvoor positief is, zijn onderling zichtbaar, dat wil zeggen dat ze binnen de lichtkegel liggen .
  • ruimtelijk als is van toepassing (ruimtetijd-afstand denkbeeldig). Twee evenementen waarvoor negatief is, liggen qua ruimte en tijd zo ver uit elkaar dat een lichtstraal niet in de tijd van de ene gebeurtenis naar de andere kan komen. Aangezien informatie wordt overgedragen via licht of materie en de snelheid van materie in de relativiteitstheorie nooit de lichtsnelheid kan bereiken (en dus niet kan overschrijden), kunnen dergelijke gebeurtenissen nooit een oorzaak-gevolgrelatie hebben . Ze konden alleen worden waargenomen met sneller dan de lichtsnelheid, dus zijn in principe onderling onzichtbaar, dat wil zeggen, ze bevinden zich buiten de lichtkegel.
  • licht-achtige als is toepasbaar. Licht beweegt altijd precies met de snelheid zodat voor het in alle frames geldt ( constantheid van de lichtsnelheid , het uitgangspunt van de speciale relativiteitstheorie).

De classificatie van de ruimte-tijdvectoren (ruimteachtig, lichtachtig of tijdachtig) blijft ongewijzigd met de toelaatbare transformaties (Lorentz-transformaties) ( invariantie van de lichtkegel ).

Rekenen met ruimte-tijdvectoren vindt praktische toepassing in de kinematica van snelle deeltjes . [3]

Wiskundige motivatie van de Minkowski-metriek

dus het kan worden gezien dat men ook kan afkorten
kan schrijven als de volgende twee vier-vectoren worden geïntroduceerd:
In dit geval wordt tijd weergegeven als de vierde dimensie, de statistiek dus moet van een -Matrix geïnduceerd.
  • Vanwege de vereiste dat er geen uitstekende ruimte-tijdcoördinaten zijn, kunnen de diagonale elementen alleen de waarde hebben eigen. Voor de ruimtecoördinaten, hier gekozen. Dit is echter een conventie die niet uniform wordt gebruikt.
  • De tijdcomponent kan niet hetzelfde teken hebben als de ruimtecomponenten. Om dit te doen, overweeg opnieuw de D'Alembert-operator :
Dit zou resulteren in een homogene golfvergelijking voor een golf
Als men nu klaar is voor een vlakke golf op, dat wil zeggen , dat zou resulteren in een complexe frequentie, en dat zou zijn exponentieel gedempt. In dit geval zouden er geen permanente vlakke golven zijn, wat in tegenspraak is met de waarneming. De tijdcomponent moet dus een ander teken hebben:
Dit resulteert in de juiste homogene golfvergelijking

Minkowski-diagram

De relaties kunnen geometrisch worden weergegeven en geanalyseerd in het Minkowski-diagram . Vanwege de complexe eigenschap van de tijdcomponent wordt de rotatie van de tijdas daar weergegeven met het tegenovergestelde teken dan de rotatie van de coördinatenas.

Ruimtetijd in de algemene relativiteitstheorie

Niet-Euclidische geometrieën

De basis voor het beschrijven van ruimtetijd in de algemene relativiteitstheorie is pseudo-Riemann-meetkunde . De coördinaatassen zijn hier niet-lineair, wat kan worden geïnterpreteerd als de kromming van de ruimte. Dezelfde wiskundige hulpmiddelen worden gebruikt voor vierdimensionale ruimtetijd als voor het beschrijven van een tweedimensionaal bolvormig oppervlak of voor zadeloppervlakken. Verklaringen van Euclidische meetkunde die als onweerlegbaar worden beschouwd, in het bijzonder het axioma van parallellen , moeten in deze theorieën worden losgelaten en vervangen door meer algemene relaties. De kortste verbinding tussen twee punten is bijvoorbeeld niet langer een recht lijnstuk . De geodetische in de niet-euclidische wereld komt overeen met een rechte lijn in de Euclidische meetkunde; in het geval van een bolvormig oppervlak zijn de geodeten de grote cirkels . De hoekensom in de driehoek bestaande uit geodetische secties is ook niet langer 180 graden. Bij het bolvormige oppervlak is deze groter dan 180 graden, bij zadelvlakken echter kleiner.

Ruimte-tijd kromming

De kromming van ruimte en tijd wordt veroorzaakt door elke vorm van energie, zoals massa, straling of druk. Deze grootheden vormen samen de energie-impulstensor en worden in de Einstein- vergelijkingen opgenomen als de bron van het zwaartekrachtsveld. De resulterende kromlijnige beweging van krachtvrije lichamen langs geodeten wordt toegeschreven aan zwaartekrachtversnelling - in dit model bestaat zoiets als een zwaartekracht niet langer. In een oneindig klein ruimtesegment (lokale kaart) heeft het gegenereerde zwaartekrachtveld altijd de vlakke metriek van de speciale relativiteitstheorie . Dit wordt bereikt door een constante kromming van de ruimte met de factor beschreven. De kromming van de wereldlijnen (bewegingskrommen in ruimte-tijd) van alle krachtvrije lichamen in deze ruimte is hetzelfde.

In veel populaire voorstellingen van de algemene relativiteitstheorie wordt vaak genegeerd dat niet alleen ruimte maar ook tijd gekromd moet worden om een ​​zwaartekrachtveld te creëren. Het feit dat ruimte en tijd altijd gekromd moeten zijn, is duidelijk gemakkelijk te begrijpen: als de ruimte alleen gekromd was, zou de baan van een geworpen steen altijd hetzelfde zijn, ongeacht de beginsnelheid van de steen, omdat deze alleen zou volgen de gebogen ruimte. De verschillende trajecten kunnen alleen tot stand komen door de extra kromming van de tijd. Dit kan in het kader van de ART ook wiskundig worden aangetoond.

In de normale, driedimensionale ruimte is alleen de projectie van de wereldlijnen op het bewegingsvlak zichtbaar. Heeft het lichaam de snelheid? , de wereldlijn helt ten opzichte van de tijdas, namelijk door de hoek α met . De projectie van de baan neemt toe met door de factor langer, de kromtestraal met dezelfde factor groter, dus de verandering in hoek is kleiner. De kromming (hoekverandering per lengtesectie) is dus met de factor kleiner.

met

volgt dan uit de kromming van de wereldlijn voor de waargenomen kromming in driedimensionale ruimte

.

Ruimtekromming en centrifugale versnelling

Voor lage snelheden v c is de kromming van het pad g / v 2 en komt dus overeen met de waarde voor een klassieke centrifugale versnelling. Voor lichtstralen met v = c heeft de factor (1 + v 2 / c 2 ) de waarde 2 , de kromming 2 g / c 2 komt overeen met tweemaal de waarde van de klassieke overweging g / c 2 . De hoekafwijking van sterlicht van de vaste sterren in de buurt van de zon zou dus twee keer zo groot moeten zijn als in het klassieke geval. Dit werd voor het eerst geverifieerd door Arthur Eddington als onderdeel van een Afrika-expeditie om de zonsverduistering van 1919 te observeren, die veel aandacht trok en aanzienlijk bijdroeg aan de implementatie van de algemene relativiteitstheorie. Zijn waarnemingen bleken in latere analyses onnauwkeurig, maar latere waarnemingen van zonsverduisteringen bevestigden de voorspellingen van de algemene relativiteitstheorie.

Door deze kleine afwijking van de klassieke waarde zijn de planetaire banen niet langer exacte ellipsen, maar onderhevig aan een rotatie van de apsis . Een dergelijke rotatie van de apsis, die voorheen onverklaarbaar was in de hemelmechanica, was eerder waargenomen op de planeet Mercurius en werd verklaard door de algemene relativiteitstheorie.

Symmetrieën

Ruimtetijd wordt gekenmerkt door een aantal symmetrieën die van groot belang zijn voor de fysica die erin van toepassing is. Naast de symmetrieën van de ruimte ( translatie , rotatie ), omvatten deze symmetrieën ook de symmetrieën onder Lorentz-transformaties (verandering tussen referentiesystemen met verschillende snelheden). Dit laatste waarborgt het relativiteitsbeginsel .

literatuur

Filosofische boeken:

  • Paul Davies : De onsterfelijkheid van de tijd. Moderne fysica tussen rationaliteit en God. Scherz, München 1995, ISBN 3502131430 (Origineel: About Time - Einsteins onvoltooide revolutie Simon en Schuster 1995).
  • Robert DiSalle: Ruimte-tijd begrijpen: de filosofische ontwikkeling van de natuurkunde van Newton tot Einstein. Cambridge Univ. Pers, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-85790-1 .
  • Moritz Schlick : Ruimte en tijd in de hedendaagse natuurkunde. Springer, Berlijn 1922, doi: 10.1007 / BF02448303 .
  • Lawrence Sklar : ruimte, tijd en ruimtetijd , University of California Press 1977.

web links

WikiWoordenboek: spacetime - uitleg van betekenissen, woordoorsprong, synoniemen, vertalingen

Referenties en voetnoten

  1. ^ Roger Penrose: De weg naar de werkelijkheid . Vintage Books, Londen, 2005, ISBN 978-0-099-44068-0 .
  2. VI Arnol'd: Wiskundige methoden van de klassieke mechanica, Tweede editie, Springer, 1989, ISBN 978-1-4419-3087-3 .
  3. zie bijv. B.: W. Greiner, J. Rafelski: Speciale relativiteitstheorie , 3e editie, Frankfurt 1992, ISBN 3-8171-1205-X , blz. 136-185.