Ruitvormige dodecaëder

3D-weergave van een ruitvormige dodecaëder ( animatie )

Parketvloer van de kamer met ruitvormige dodecaëders

De ruitvormige dodecaëder is een veelvlak met twaalf ruitvormige vlakken, 14 hoeken en 24 randen. Vier randen grenzen aan zes van de hoeken en drie randen grenzen aan de andere acht hoeken.

Het is een Catalaanse vaste stof en dubbel aan de cuboctaëder . De ruitvormige dodecaëder is ook de envelop , die wordt beschreven door de vereniging van de penetratie van een hexahedron (kubus) en een octaëder .

Als een hexahedron "binnenstebuiten wordt gekeerd", ontstaat er een ruitvormige dodecaëder. Elke zijde van de hexahedron beschrijft een piramide met het midden van de hexahedron als punt. Deze piramides worden bij elkaar gezet met de hexahedronzijden naar binnen gericht (d.w.z. op de hexahedronzijden geplaatst). Het resultaat is een ruitvormige dodecaëder met de ingeschreven hexahedron als holle vorm. Hieruit volgt dat het volume van een ruitvormige dodecaëder twee keer zo groot is als dat van een hexahedron met de randlengte van de kleine diagonalen van de zijvlakken.

De ruitvormige dodecaëder wordt ook gemaakt door een soortgelijk proces toe te passen op de octaëder.

Verschillende ruitvormige dodecaëders vullen de ruimte zonder gaten wanneer ze met elkaar worden verbonden - zoals weergegeven in de afbeelding hiernaast.

Verwante veelvlakken

Zijn op de 12 grensvlakken van de ruitvormige dodecaëder ^[1] piramides met de flanklengtes $B$ ${\ weergavestijl b}$ $B$ en $c\,(<b)$ ${\ weergavestijl c \, (<b)}$ $c \, (<b)$ bovenop geplaatst, wordt een algemene hexakis-octaëder gecreëerd , op voorwaarde dat aan de volgende voorwaarde wordt voldaan:

{\tfrac {a}{3}}{\sqrt {6}}<b<{\tfrac {2}{9}}a{\sqrt {15}}

{\ displaystyle {\ tfrac {a} {3}} {\ sqrt {6}} <b <{\ tfrac {2} {9}} a {\ sqrt {15}}}

{\ tfrac {a} {3}} {\ sqrt {6}} <b <{\ tfrac {2} {9}} a {\ sqrt {15}}

De speciale hexakis-octaëder met dezelfde oppervlaktehoeken aan de randen $een$ ${\ weergavestijl a}$ $een$ en $B$ ${\ weergavestijl b}$ $B$ ontstaat wanneer $b=2a\,({\sqrt {2}}-1)$ ${\ displaystyle b = 2a \, ({\ sqrt {2}} - 1)}$ $b = 2a \, ({\ sqrt {2}} - 1)$ is.
duurt $B$ ${\ weergavestijl b}$ $B$ de bovengenoemde maximale waarde bereikt, degenereert de hexakis octaëder tot een deltaspier icosiet tetraëder met de randlengtes $een$ ${\ weergavestijl a}$ $een$ en $B$ ${\ weergavestijl b}$ $B$ .

formules

Lichaamsnetwerk van een ruitvormige dodecaëder

Voor het veelvlak ^[1]

Maten van een ruitvormige dodecaëder
volume	$V={\frac {16}{9}}\,a^{3}{\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {16} {9}} \, a ^ {3} {\ sqrt {3}}}$ $V = {\ frac {16} {9}} \, a ^ {3} {\ sqrt {3}}$
Oppervlakte	$A_{O}\,=8\,a^{2}{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle A_ {O} \, = 8 \, a ^ {2} {\ sqrt {2}}}$ $A_ {O} \, = 8 \, een ^ {2} {\ sqrt {2}}$
Incl bol straal	$\rho ={\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}$ ${\ displaystyle \ rho = {\ frac {a} {3}} {\ sqrt {6}}}$ $\ rho = {\ frac {a} {3}} {\ sqrt {6}}$
Rand bal straal	$r={\frac {2}{3}}\,a\,{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {2} {3}} \, a \, {\ sqrt {2}}}$ $r = {\ frac {2} {3}} \, a \, {\ sqrt {2}}$
Tweevlakshoek = 120 °	$\cos \,\alpha =-{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle \ cos \, \ alpha = - {\ frac {1} {2}}}$ $\ cos \, \ alpha = - {\ frac {1} {2}}$
Gezichtsrandhoeken ≈ 125 ° 15 ′ 52 ″	$\cos \,\beta =-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle \ cos \, \ beta = - {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {3}}}$ $\ cos \, \ beta = - {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {3}}$
1. Hoeken vaste hoeken = π (3 gezichten)	$\cos \,\Omega _{1}=-1$ ${\ displaystyle \ cos \, \ Omega _ {1} = - 1}$ $\ cos \, \ Omega _ {1} = - 1$
2. Hoek vrije hoek = 2/3 π (4 gebieden)	$\cos \,\Omega _{2}=-{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle \ cos \, \ Omega _ {2} = - {\ frac {1} {2}}}$ $\ cos \, \ Omega _ {2} = - {\ frac {1} {2}}$
Bolvormigheid ≈ 0.9047	$\Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{18\,\pi }}{3{\sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle \ Psi = {\ frac {\ sqrt [{3}] {18 \, \ pi}} {3 {\ sqrt {2}}}}}$ ${\ displaystyle \ Psi = {\ frac {\ sqrt [{3}] {18 \, \ pi}} {3 {\ sqrt {2}}}}}$

Voor de ruiten ^[1]

Maten van de ruiten
Gebied	$A={\frac {2}{3}}a^{2}{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle A = {\ frac {2} {3}} a ^ {2} {\ sqrt {2}}}$ $A = {\ frac {2} {3}} een ^ {2} {\ sqrt {2}}$
Ingeschreven straal	$r={\frac {a}{3}}{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {a} {3}} {\ sqrt {2}}}$ $r = {\ frac {a} {3}} {\ sqrt {2}}$
Lange diagonaal	$e={\frac {2}{3}}a{\sqrt {6}}=f{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle e = {\ frac {2} {3}} a {\ sqrt {6}} = f {\ sqrt {2}}}$ $e = {\ frac {2} {3}} a {\ sqrt {6}} = f {\ sqrt {2}}$
Korte diagonaal	$f={\frac {2}{3}}a{\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle f = {\ frac {2} {3}} a {\ sqrt {3}}}$ $f = {\ frac {2} {3}} een {\ sqrt {3}}$
Scherpe hoek (2) ≈ 70 ° 31 ′ 44 ″	$\cos \,\alpha ={\frac {1}{3}}$ ${\ displaystyle \ cos \, \ alpha = {\ frac {1} {3}}}$ $\ cos \, \ alpha = \ frac {1} {3}$
Stompe hoeken (2) 109 ° 28 ′ 16 ″	$\cos \,\beta =-{\frac {1}{3}}$ ${\ displaystyle \ cos \, \ beta = - {\ frac {1} {3}}}$ $\ cos \, \ beta = - {\ frac {1} {3}}$

Gebeuren

In de natuur het rhombisch dodecaëder optreedt als kenmerkende kristalvorm aan mineralen van de granaat groep en wordt daarom ook wel de granaat heide. Het kan voorkomen als een speciale vorm {110} in alle kubische kristalklassen .
De eerste Brillouin-zone van het op het lichaam gecentreerde kubische rooster heeft de vorm van een ruitvormige dodecaëder.
De ruitvormige dodecaëder is een driedimensionale projectie van een vierdimensionale kubus ( tesseract ).