Ellipsoïde van revolutie

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
Spring naar navigatie Spring naar zoeken
afgeplatte ellipsoïde van revolutie
langwerpige ellipsoïde van revolutie

Een rotatie- ellipsoïde (Engels sferoïde) een omwentelingsoppervlak dat wordt gecreëerd door het roteren van een ellips rond één van zijn assen. In tegenstelling tot een drieassige of drieassige ellipsoïde zijn twee assen even lang.

Afhankelijk van welke van de twee halve assen van de genererende ellips als rotatie-as fungeert, wordt een onderscheid gemaakt:

Gebeuren

Rotatie-ellipsoïde en massaverplaatsing (rood)

De meeste grotere hemellichamen zijn ongeveer afgeplatte omwentelingsellipsoïden, die ook sferoïden worden genoemd. Ze worden gecreëerd door middelpuntvliedende kracht , waardoor een roterend bolvormig lichaam wordt vervormd. Deze lichamen worden afgeplat aan de polen , d.w.z. de snijpunten van de rotatie-as , en er ontstaat een uitstulping op de evenaar . De afplatting van de grote gasplaneten Jupiter en Saturnus is bijzonder uitgesproken omdat ze bijzonder snel roteren en niet stollen. Maar de aarde en de andere planeten van het zonnestelsel worden ook vervormd tot ellipsoïden van rotatie door de middelpuntvliedende krachten die tijdens de rotatie worden gegenereerd. Jupiter, die in tien uur ronddraait, is ongeveer 1/16 afgeplat, de aarde is 1/298,257223563 ( WGS 84 ).

Elliptische sterrenstelsels zijn vaak geen sferoïden, maar triaxiaal.

Parametrische weergave

afgeplatte en langwerpige ellipsoïde van revolutie

De volgende parametrische weergave beschrijft een omwentelingsellipsoïde, die door het roteren van de halve ellips (in de - - niveau ) rond de As is gemaakt (s. Omwentelingsoppervlak ):

.

De betaling zijn de halve assen van de roterende halve ellips. In het geval creëert een afgeplatte ellipsoïde van revolutie, in het geval een langwerpige ellipsoïde van revolutie. Indien is een bol met een straal .

Let op: De polen (punten op de rotatie-as ) hebben geen duidelijke weergave.

De resulterende ellipsoïde van revolutie heeft de impliciete weergave :

volume

Het volume van de bovenstaande omwentelingsellipsoïde is

.

Het is de straal van de equatoriale cirkel en de afstand van de polen tot het centrum .

oppervlakte

Het oppervlak [1] voor de afgeplatte ellipsoïde ( ) wordt berekend met

die van de langwerpige ellipsoïde ( ) met

Een bol met een straal heeft het volume en het oppervlak (zie bol).

Afleiding van de formules

De inhoud van de oppervlakte-envelop door de curve te roteren gegenereerde omwentelingsoppervlak

(zie omwentelingsoppervlak )

Voor de bovenstaande ellipsoïde van revolutie is . Dus het moet de integraal zijn

(2 keer een halve ellipsoïde) kan worden berekend. voor is en het oppervlak van een bol resultaten. Het volgende is: mits.

de vervanging met leidt tot

en dus om

indien , en
indien .

Rekening houdend met het feit dat de breuk onder de vierkantswortel in beide gevallen positief is, zijn de antiderivaten voor de twee integralen en tenslotte de bovenstaande formules voor het oppervlak het resultaat van een integratietabel (bijv. Bronstein-Semendjajew ).

gebruik maken van

In geodesie , cartografie en andere geowetenschappen worden ellipsoïden van revolutie gebruikt als een geometrische benadering van de fysieke geoïde . Deze omwentelingsellipsoïden dienen dan als referentieoppervlak om de positie of hoogte van objecten op het aardoppervlak aan te geven . Men spreekt dan van een referentie-ellipsoïde .

In een hol lichaam reflecteren de grensvlakken van de (uitgerekte) omwentelingsellipsoïde de straling van het ene brandpunt naar het andere. Een fluisterkluis gebruikt het effect om geluidsgolven te bundelen.
Op deze manier gevormde optische reflectoren concentreren de straling van een bijna puntvormige lichtbron die zich in een van de brandpunten bevindt op het andere brandpunt van de ellipsoïde . De interface van een glasvezelkabel , een ander optisch element of de locatie van een stralingsgeïnduceerd proces kan daar worden gelokaliseerd.

Toepassingsvoorbeelden

Jupiter en Saturnus

De planeten Jupiter en Saturnus zijn veel vlakker aan de polen dan aan de evenaar vanwege de centrifugale krachten die werken als gevolg van de snelle rotatie en hebben ongeveer de vorm van een omwentelingsellipsoïde.

Jupiter

Jupiter heeft een equatoriale diameter van 142.984 km en een pooldiameter van 133.708 km. Geldt dus voor de halve assen en . De massa van Jupiter is ongeveer 1,899 · 10 27 kg. Met behulp van de bovenstaande formules voor volume , gemiddelde dichtheid en oppervlak, resulteert dit in:

  • Volume :
Dat is ongeveer 1.321 keer het volume van de aarde.
  • Gemiddelde dichtheid :
Over het algemeen heeft Jupiter een iets hogere dichtheid dan water onder standaardomstandigheden .
  • Oppervlakte :
Dat is ongeveer 121 keer de oppervlakte van de aarde.

Saturnus

Saturnus heeft een equatoriale diameter van 120.536 km en een pooldiameter van 108.728 km. Geldt dus voor de halve assen en . De massa van Saturnus is ongeveer 5,683 · 10 26 kg. Dit resulteert in:

  • Volume :
Dat is ongeveer 764 keer het volume van de aarde.
  • Gemiddelde dichtheid :
Over het algemeen heeft Saturnus onder standaardomstandigheden een iets lagere dichtheid dan water.
  • Oppervlakte :
Dat is ongeveer 84 keer de oppervlakte van de aarde.

Rugbybal

Een rugbybal heeft een lengte van ongeveer 280 millimeter en een diameter van ongeveer 200 millimeter op de korte as. Geldt dus voor de halve assen en . De massa van een rugbybal is ongeveer 400 gram, wat betekent:

  • Volume :
  • Gemiddelde dichtheid :

Zie ook

web links

WikiWoordenboek: ellipsoïde van revolutie - uitleg van betekenissen, woordoorsprong, synoniemen, vertalingen

Individueel bewijs

  1. ^ Beyer, CRC Handbook of Mathematical Sciences, 5e editie, blz. 198.