stereografische projectie

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
Spring naar navigatie Spring naar zoeken

Een stereografische projectie (ook conforme azimutale projectie ) is een afbeelding van een bolvormig oppervlak in een vlak met behulp van een centrale projectie, waarvan het projectiecentrum (PZ) op de bol ligt. De rechte lijn die het projectiecentrum en het middelpunt van de bol bevat, staat loodrecht op het beeldvlak, dat traditioneel het tangentiële vlak tegenover het projectiecentrum is. [1]

De stereografische projectie werd voor het eerst gebruikt om de hemelbol op het astrolabium weer te geven . Het werd ontdekt in de oudheid, waarschijnlijk door Hipparchus rond 130 voor Christus. Het wordt gedetailleerd beschreven in de kleine verhandeling Planisphaerium van Ptolemaeus (ongeveer 85-160) die in detail en met geometrisch bewijs wordt gepresenteerd dat cirkels op het bolvormige oppervlak samenvloeien in cirkels op het beeldvlak ( getrouw aan de cirkel ). De Neurenbergse astronoom en wiskundige Johannes Werner (1468-1528) kwam voor het eerst op het idee om de cirkelvormige en hoeknauwkeurigheid van deze afbeelding te gebruiken voor cartografische afbeeldingen van het aardoppervlak. [1] Het heeft echter het nadeel van merkbare oppervlaktevervormingen aan de randen van de kaart.

In kristallografie vindt stereografische projectie praktische toepassing in de weergave van de roostervlakken van een kristal (meestal hoekgetrouw met behulp van het zogenaamde Wulff-netwerk ) [2] en in structurele geologie bij de weergave van terreingegevens zoals de opvallende en het vallen van lagen , splijting , teruggooi- en spleetgebieden (meestal gelijk gebied door middel van het zogenaamde Schmidt's netwerk ). [3]

In pure wiskunde heeft stereografische projectie een uitgebreidere, meer abstracte betekenis. Het wordt ook gebruikt voor hoger-dimensionale ruimten, d.w.z. niet alleen voor het in kaart brengen van driedimensionale naar tweedimensionale ruimte. [4] [5]

Figuur 1: Stereografische projectie van de onderste helft van een bolvormig oppervlak en een grote cirkel die schuin staat ten opzichte van het beeldvlak (rood, bijv. de ecliptica op de hemelbol vanaf een hemelpool )

Toepassingsvoorbeelden

Afbeelding 2: Draaibare sterrenkaart (hier in de azimutale projectie die tegenwoordig het meest wordt gebruikt en een vergelijkbaar resultaat heeft). De naam " PLANISPHERE " is overgenomen van het astrolabium .
Afbeelding 1: Stereografische projectie van de noordelijke sterrenhemel op een astrolabium
Afbeelding 4: Als het beeldvlak op de evenaar ligt , worden zowel de meridianen als de breedtecirkels weergegeven als cirkels. Het gemarkeerde gebied van de cirkel is de helft van het aardoppervlak.
Afbeelding 3: Als het beeldvlak zich op de pool van de aarde bevindt , worden de meridianen weergegeven als rechte lijnen en de breedtecirkels als concentrische cirkels rond de pool. De gemarkeerde inhoud van de cirkel is de helft van het aardoppervlak en eindigt bij de evenaar .

Astrolabium en sterrenkaart

Het astrolabium in afbeelding 1 bevat de noordelijke hemel. De geprojecteerde sterren (inclusief de dierenriem) bevinden zich op de Rete, die rond het beeld van de noordelijke hemelpool ( poolster ) kan worden gedraaid . De zogenaamde Safiha is gegraveerd op de vaste basis ( timpaan ), die bestaat uit afbeeldingen van de hoogtecirkels ( almucantaraten ) die concentrisch zijn met het zenit en evenwijdig aan de horizon, van de horizon (afbeelding: een holle lijn) en de azimutcirkels die er loodrecht op staan .

Een sterrenkaart vergelijkbaar met de draaibare Planisphere in figuur 2 is het bruikbare, maar goedkopere vervolgproduct van het astrolabium, dat in principe op dezelfde manier werkt. [6] De onderbroken cirkelboog is de ecliptica , een stuk van een cirkel dat excentriek is in de illustratie van het poolpatroon.

Cartografie van het aardoppervlak

Het gemak van tekenen (alleen cirkels en rechte lijnen voor cirkels op het aardoppervlak) en de hoeknauwkeurigheid werden al in de oudheid gebruikt voor kaarten en voor navigatie. Als het contactpunt van het kaartvlak bijvoorbeeld in een havenstad wordt geplaatst, worden de kortste routes naar bestemmingen in alle richtingen als rechte lijnen weergegeven.

In het geval van polaire stereografische projectie (het contactpunt van het beeldvlak ligt in de noord- of zuidpool), worden de meridianen van het geografische coördinatensysteem van de aarde als rechte lijnen door de aardpool in kaart gebracht (zie figuur 3). De navigatie-elementen geografische lengte en geografische breedte worden dus duidelijk weergegeven door dit type projectie voor navigatiedoeleinden aan de polen. Het in kaart brengen van de poolgebieden als onderdelen van de moderne internationale wereldkaart wordt ook uitgevoerd via de stereografische projectie.

In de geofysica zijn kaarten van de verdeling van krachten of lijnstructuren op de aardbol gebaseerd op een stereografische netwerkontwerp.

Wiskundige behandeling

Conversie van afbeelding naar objectcoördinaten

Figuur 3: Stereografische projectie van een bol (half): projectie van evenwijdige cirkels met gelijke middelpuntshoekafstand en van meridionale cirkels
Figuur 2: Sferische coördinaten van het punt op de bal

bolvormig ( , zoals in figuur 2) en voor de polaire coördinaten van het vlak van de afbeeldingspunten (radius , Richting zoals gebruikt in figuur 3).

Een objectpunt staat op de pixel afgebeeld.

Voor de hoeken en dezelfde referentierichting wordt aangenomen. Vandaar:

De afstand (radiale poolcoördinaat) blijkt uit driehoeksoverwegingen (zie figuur 3):

Naarmate de lengte van de boog op de bol lineair toeneemt van het contactpunt tot de breedtecirkel, neemt de straal toe in het vlak progressief tot oneindig (tot aan het projectiecentrum). Deze zogenaamde lengtevervorming is het differentiaalquotiënt van de genormaliseerde functie: tot :

Door de sterk progressieve groei van de vervorming (oneindig groot at ) de stereografische beelden blijven in de praktijk beperkt.

0 0 ° 0 0 ° 1
0 5 ° 0 5.003 ° 1.002
10 ° 10,025 ° 1.08
15 ° 15.086 ° 1.017
20 ° 20.206 ° 1.031
25 ° 25.404 ° 1.049
30 ° 30,705 ° 1.072
35 ° 36.131 ° 1,099
40 ° 41.708 ° 1,132
45 ° 47,47 ° 1.17
50 ° 53,43 ° 1.22
55 ° 59,65 ° 1.27
60 ° 66,16 ° 1.33
65 ° 73,00 ° 1.41
70 ° 80,24 ° 1.49
75 ° 87,93 ° 1.59
80 ° 96,15 ° 1,7
85 ° 105,0 ° 1.84
90 ° 114,6 ° 2
100 ° 136,6 ° 2.4
110 ° 163,7 ° 3.0
120 ° 198,5 ° 4e
130 ° 245,7 ° 5.6
140 ° 314,8 ° 8.5
150 ° 427,7 ° 14.9
160 ° 649,9 ° 33.2
170 ° 1310, ° 131,

Geografische coördinaten van de aarde

Als je het noordelijk halfrond stereografisch in kaart wilt brengen, levert dit de volgende opdrachten op:

  • Het projectiecentrum valt samen met de Zuidpool, het contactpunt met de Noordpool.

Zo verschijnen de breedtegraden in het projectievlak als concentrische cirkels rond het raakpunt (= noordpool) en de lengtegraden als halfrechte oorsprongslijnen.

Voor het zuidelijk halfrond geldt het volgende:

  • Het projectiecentrum valt samen met de Noordpool, het contactpunt met de Zuidpool.

Geometrie van vlakke krommen

Er wordt een willekeurige curve gegeven in het vlak in expliciete weergave van poolcoördinaten . Plaats nu de projectiebol met een straal naar de oorsprong van de coördinaten, het raakpunt TP. Door het midden van de projectie - het tegenoverliggende punt PZ op het bolvormige oppervlak - wordt nu een tweede vlak gelegd, dat evenwijdig is aan het oorspronkelijke vlak (d.w.z. door parallelle verplaatsing van het eerste vlak loodrecht daarop ontstaat). Nu wordt de gegeven kromme in het eerste vlak op de bol geprojecteerd door middel van stereografische projectie in PZ. Door het oorspronkelijke punt TP als het nieuwe projectiecentrum te gebruiken, wordt de curve op de bol geprojecteerd op het tweede vlak door een verdere stereografische projectie - het is daar doorheen in poolcoördinaten beschreven. dan geldt . De gegeven kromme is dus het gevolg van deze dubbele stereografische projectie op een cirkel met een straal is omgekeerd in het (parallelle) beeldvlak.

District loyaliteit

Figuur 4: Bewijs van loyaliteit aan de wijk

De stralen van het projectiecentrum PZ (Fig.) Naar de oorspronkelijke cirkel K (diameterpunten 1 en 2) vormen een schuine cirkelvormige kegel waarvan de doorsnede K 'parallel aan K cirkelvormig is. Het projectievlak K ″ snijdt de kegelas onder dezelfde hoek als de doorsnede K ′, daarom is de daarin liggende doorsnede ook een cirkel (punten 1 ″ en 2 ″).
Belangrijk: De cirkelgetrouwheid is over het algemeen alleen van toepassing op de cirkellijn. Het middelpunt van de objectcirkel is z. B. niet weergegeven als middelpunt van de beeldcirkel. Alleen de gevallen waarin de cirkelvormige kegel recht is, zijn hiervan uitgesloten.

Andere speciale kenmerken van stereografische projectie zijn:

  • Het beeld van het projectiecentrum ligt in het oneindige.
  • Alle cirkels op het bolvormige oppervlak worden als cirkels in kaart gebracht (cirkelgetrouwheid).
    • Cirkels door het middelpunt van de projectie worden weergegeven als rechte lijnen.

Bolvormige reflectie (inversie)

Een stereografische projectie kan ook worden geïnterpreteerd als een reflectie op een bol (inversie) . Uit de eigenschappen van een inversie volgen dan direct de cirkel- en hoekgetrouw.

Generalisatie naar ℝ n

De hierboven beschreven projectie is het speciale geval van algemene stereografische projectie: in driedimensionale ruimte wordt het tweedimensionale bolvormige oppervlak op kaartniveau en dus in de tweedimensionale ruimte afgebeeld. De algemene afbeelding ziet er als volgt uit:

Het is echter ook mogelijk om het archetype van deze functie zo te kiezen dat de evenaar het projectie- hypervlak snijdt:

Figuur 5: Bij deze variant van de stereografische projectie ligt de bol niet op het (hyper)vlak, maar snijdt deze.

Deze foto is voor het punt , de zogenaamde Noordpool, natuurlijk niet gedefinieerd. Kijkend naar de figuur , waarvan de functionele term in plaats van heeft in de noemer, dan wordt de bol toegewezen aan de zuidpool.

Als men het oorspronkelijke beeld van de stereografische projectie op deze manier verandert, verkrijgt men via de twee beelden en een atlas van de n-bol.

Afleiding

De stereografische projectie door de Noordpool wordt hier als voorbeeld afgeleid. Dezelfde afleiding kan worden gebruikt voor de projectie door de Zuidpool. De stereografische projectie door de Noordpool zou een punt zijn de bol tot zijn pixel in het hypervlak kaart zodat de pixel op het rechte stuk door de Noordpool en leugens.

Deze rechte lijn kan doorlopen

geparametriseerd worden. Deze rechte lijn snijdt het vlak , waar:

Hieruit volgt dat de coördinaten van het snijpunt van en er doorheen

gegeven zijn. Als je nu naar het vliegtuig kijkt zoals , zo wordt de stereografische projectie door de Noordpool verkregen.

Inverse functies

Naast de stereografische projecties door de noord- en zuidpool zijn er doorgaande

continue inverse functies beschreven . daarom zijn en Homeomorfismen . Er is een mogelijke atlas gevonden met de projectie vanaf de Noordpool en die vanaf de Zuidpool. Dit laat zien dat de -Sferen -dimensionale topologische variëteit .

District loyaliteit

Zijn een hypervlak in . is en , dan volgt uit de vlakke vergelijking van evenals de Cauchy-Schwarz-ongelijkheid :

Het beeld van de punten van het vlak door voldoet aan de vergelijking: [7]

Dit is een vergelijking van bollen . vandaar vormen alle stukken van en elk hypervlak, vooral bollen die in dit hypervlak liggen, op bollen in weg.

Verdichting van het complexe getalniveau

De stereografische projectie kan onder andere worden gebruikt om het complexe getallenvlak te comprimeren kan worden gebruikt. Een breidt uit naar een extra punt dat hier is met verwezen naar Als. De hoeveelheid heet eenpuntsverdichting van of Riemann nummer bal .

de illustratie is door middel van de figuur

voortgezet. Eén belt nu precies openen wanneer open in is. Dit zal resulteren in leidt tot een topologie.

Akkoordstatistiek

Dezelfde topologie wordt bereikt door de

gedefinieerde akkoordstatistiek geïnduceerd.

Zie ook

literatuur

Bronnen voor de wiskundige uitleg:

Algemene omschrijving n-afm. Bol: Sectie 1.3.II, Conformiteit: Sectie 3.1.
Projectieve weergave: Sectie VH Voorbeeld 4.
  • Günther Bollman, Günther Koch (Hrsg.): Lexicon van cartografie en geomatica. Deel 1: A tot Karti. Spectrum Akademischer Verlag, Heidelberg et al. 2001, ISBN 3-8274-1055-X .

web links

Commons : Stereografische projectie - verzameling afbeeldingen, video's en audiobestanden

Individueel bewijs

  1. a b Mathematik.de: Circulaire gerelateerde figuren.
  2. ^ Guido Schmitz: Materialphysik I. Lecture notes. Universiteit van Münster, 2012, blz. 2 f.
  3. ^ Jean-Pierre Burg: Structurele Geologie: Structurele Analyse van Polyphase Defromation. Lecture notes (Hoofdstuk 10), ETH Zürich, 2017, blz. 287 ev.
  4. Elena Perk: Stereografische projectie. ( Aandenken aan het origineel van 11 januari 2016 in het internetarchief ) Info: De archieflink is automatisch ingevoegd en is nog niet gecontroleerd. Controleer de originele en archieflink volgens de instructies en verwijder deze melding. @ 1 @ 2 Sjabloon: Webachiv / IABot / analysis.math.uni-mannheim.de blz. 2.
  5. Karl Horst Meyer: stereografische projectie. blz. 12.
  6. Een fundamenteel verschil is het spiegelbeeld van de hemel op het astrolabium, omdat de oude astronomen de voorkeur gaven aan het zicht op de hemelbol van buitenaf.
  7. Hier kun je doorheen gaan deel. Want als dit gelijk zou zijn aan 0, zou de Noordpool in het vlak liggen.