Vector ruimte

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
Spring naar navigatie Spring naar zoeken
Vector optellen en vermenigvuldigen met scalairen : Een vector v (blauw) wordt opgeteld bij een andere vector w (rood, onder). Bovenaan is w een factor 2 uitgerekt, het resultaat is de som v + 2 · w.

Een vectorruimte of lineaire ruimte is een algebraïsche structuur die in veel takken van de wiskunde wordt gebruikt. Vectorruimten zijn het centrale onderzoeksobject in lineaire algebra . De elementen van een vectorruimte worden vectoren genoemd. Ze kunnen worden opgeteld of vermenigvuldigd met scalairen (getallen), het resultaat is weer een vector van dezelfde vectorruimte. De term ontstond toen deze eigenschappen werden geabstraheerd op basis van vectoren van de Euclidische ruimte , zodat ze vervolgens kunnen worden overgedragen naar meer abstracte objecten zoals functies of matrices .

De scalairen waarmee een vector kan worden vermenigvuldigd, zijn afkomstig van een lichaam . Daarom is een vectorruimte altijd een vectorruimte over een bepaald veld. Heel vaak is het het lichaam van reële getallen of het veld van complexe getallen . Men spreekt dan van een reële vectorruimte of een complexe vectorruimte .

Een basis van een vectorruimte is een verzameling vectoren waarmee elke vector kan worden weergegeven door unieke coördinaten . Het aantal basisvectoren in een basis wordt de dimensie van de vectorruimte genoemd. Het is onafhankelijk van de keuze van de basis en kan ook oneindig zijn. De structurele eigenschappen van een vectorruimte worden op unieke wijze bepaald door het lichaam waarover het is gedefinieerd en zijn afmetingen.

Met een basis kunnen berekeningen met vectoren worden uitgevoerd met behulp van hun coördinaten in plaats van de vectoren zelf, wat sommige toepassingen eenvoudiger maakt.

definitie

Wees erbij heel veel, een lichaam een innerlijke tweecijferige link , vectoroptelling genoemd, en een buitenste tweecijferige bewerking die een scalaire vermenigvuldiging wordt genoemd . Een roept dan een vectorruimte boven het lichaam of kort -Vectorruimte als voor iedereen en de volgende eigenschappen zijn van toepassing:

Vector toevoeging:

V1: ( Associatieve wet )
V2: bestaan ​​van een neutraal element met
V3: bestaan ​​van één tot invers element met
V4: ( afkooprecht )

Scalaire vermenigvuldiging:

S1: ( Verdelend recht )
S2:
S3:
S4: neutraliteit van het enkele element , dus


Opmerkingen

  • De axioma's V1, V2 en V3 van vectoroptelling stellen dat: vormt een groep , en axioma V4 dat dit Abeliaans is . Jouw neutrale element wordt de nulvector genoemd .
  • Een lijk is een Abeliaanse groep met neutraal element (nul element) en een tweede innerlijke tweecijferige link zo ook is een Abeliaanse groep en de distributieve wetten zijn van toepassing. De reële getallen zijn belangrijke voorbeelden van velden en de complexe getallen .
  • De axioma's S1 en S2 van de scalaire vermenigvuldiging worden ook wel distributieve wetten genoemd, axioma S3 ook wel de associatieve wet . [1] [2] Opgemerkt moet echter worden dat in axioma S2 de plustekens twee verschillende toevoegingen hebben (links die in en rechts die in ) en dat in Axioma S3 de scalaire vermenigvuldiging associatief is met de vermenigvuldiging in is.
  • De axioma's S1 en S2 garanderen de linker compatibiliteit met de vectoroptelling en de juiste compatibiliteit met de body en vectoroptelling voor de scalaire vermenigvuldiging. Axioma's S3 en S4 zorgen er ook voor dat de multiplicatieve groep van het lichaam geopereerd .
  • In dit artikel, zoals gebruikelijk in de wiskunde, beide optelling in het lichaam evenals optelling in vectorruimte met hetzelfde teken waarnaar wordt verwezen, hoewel de links verschillen. voor zullen geschreven. Hetzelfde geldt voor zowel de vermenigvuldiging in het lichaam als de scalaire vermenigvuldiging tussen het lichaamselement en het vectorruimte-element toegewezen. Bij beide vermenigvuldigingen is het ook gebruikelijk om het schilderpunt weg te laten. Omdat de hierboven genoemde axioma's van toepassing zijn in vectorruimten, bestaat er in de praktijk geen gevaar dat de twee optellingen of de twee vermenigvuldigingen worden verward. Daarnaast kun je het verband tussen de toe te voegen of te vermenigvuldigen elementen onderscheiden. Het gebruik van dezelfde symbolen maakt de vectorruimte-axioma's bijzonder suggestief. Axioma S1 wordt bijvoorbeeld geschreven als en axioma S3 as .
  • Met de twee dragerhoeveelheden en vectorruimten zijn voorbeelden van heterogene algebra's . [3]
  • Een vectorruimte boven het veld van complexe of reële getallen wordt een complexe of reële vectorruimte genoemd .

Eerste eigenschappen

Voor iedereen en de volgende uitspraken zijn van toepassing:

  • .
  • .
  • de vergelijking is voor iedereen duidelijk oplosbaar; de oplossing is: .

Voorbeelden

Euclidische vliegtuig

Een illustratieve vectorruimte is het tweedimensionale Euclidische vlak (in rechthoekige Cartesiaanse coördinatenstelsels ) met de pijlklassen (verplaatsingen of translaties) als vectoren en de reële getallen als scalairen.

is de verschuiving met 2 eenheden naar rechts en 3 eenheden omhoog,
de verschuiving 3 eenheden naar rechts en 5 eenheden naar beneden.

De som van twee verplaatsingen is weer een verplaatsing, namelijk de verplaatsing die wordt verkregen door de twee verplaatsingen achter elkaar uit te voeren:

dat wil zeggen, 5 eenheden naar rechts en 2 eenheden naar beneden verschuiven.

De nulvector komt overeen met de verschuiving die alle punten op hun plaats laat, dwz de identieke afbeelding.

Door de verplaatsing uit te rekken met een scalair van de verzameling reële getallen krijgen we drie keer de verschuiving:

.

Alles wat over dit voorbeeld is gezegd, geldt ook in het echte affiene vlak .

Coördinaat ruimte

is een lichaam en een natuurlijk getal, zo vormt het -vouw Cartesiaans product

de menigte van allemaal - Tupels met vermeldingen in , een vectorruimte over . De optelling en de scalaire vermenigvuldiging worden component per component gedefinieerd; voor , een sets:

en

Vaak de -Tuples worden ook genoteerd als kolomvectoren , dat wil zeggen dat hun invoer onder elkaar wordt geschreven. De vectorruimten vormen, om zo te zeggen, de standaardvoorbeelden voor eindig-dimensionale vectorruimten. Iedereen -dimensionaal -Vectorruimte is isomorf met vectorruimte . Met behulp van een basis kan elk element van een vectorruimte op unieke wijze worden vervangen door een element van de worden weergegeven als coördinaat-tupels.

Zalen

Basis en definitie

Voorbeeld van optellen voor functies: De som van de sinusfunctie en de exponentiële functie is met

is een lijk, Aan -Vector ruimte en elk bedrag kan dus op het bedrag staan alle functies een optelling en een scalaire vermenigvuldiging kunnen punt voor punt worden gedefinieerd: For en zijn de functies en gedefinieerd door

voor iedereen en
voor iedereen .

Met deze optelling en scalaire vermenigvuldiging is Aan -Vector ruimte. Dit geldt in het bijzonder voor: als het doelgebied het lichaam is wordt door hemzelf gekozen. Verdere voorbeelden van vectorruimten worden verkregen als subvectorruimten van deze functieruimten .

In veel toepassingen is het: , het veld van reële getallen, of , het lichaam van complexe getallen, en is een subset van , , of . Voorbeelden zijn de vectorruimte van alle functies van tot en de deelruimten van alle continue functies en alle -tijd continu differentieerbare functies van tot .

Ruimte van lineaire functies

Een eenvoudig voorbeeld van een functieruimte is de tweedimensionale ruimte van reële lineaire functies , d.w.z. de functies van vorm

met echte cijfers en . Dit zijn de functies waarvan de grafiek een rechte lijn is. De verzameling van deze functies is een deelruimte van de ruimte van alle reële functies, want de som van twee lineaire functies is weer lineair, en een veelvoud van een lineaire functie is ook een lineaire functie.

Is bijvoorbeeld de som van de twee lineaire functies en met

, ,

de functie met

.

3 keer de lineaire functie is de lineaire functie met

.

Veeltermruimten

De hoeveelheid van veeltermen met coëfficiënten van één lichaam vormt, met de gebruikelijke optelling en de gebruikelijke vermenigvuldiging met een lichaamselement, een oneindig-dimensionale vectorruimte. De verzameling monomials is een basis van deze vectorruimte. De verzameling veeltermen waarvan de graad wordt gegeven door a hierboven begrensd, vormt een deelruimte van de dimensie . Bijvoorbeeld de verzameling van alle veeltermen van graad kleiner dan of gelijk aan 4, dat wil zeggen alle veeltermen van de vorm

,

een 5-dimensionale vectorruimte met het grondtal .

Met oneindige lichamen men kan de (abstracte) polynomen identificeren met de bijbehorende polynoomfuncties . Met deze benadering komen de polynoomruimten overeen met deelruimten van de ruimte van alle functies van tot . De ruimte komt bijvoorbeeld overeen met alle reële veeltermen van graad de ruimte van lineaire functies.

Lichaamsextensies

is een bovenlichaam van , zo is met zijn optelling en de beperkte vermenigvuldiging als een scalaire vermenigvuldiging -Vector ruimte. De aan te tonen regels voor dit resultaat rechtstreeks uit de lichaamsaxioma's voor . Deze observatie speelt een belangrijke rol in de lichaamstheorie .

Bijvoorbeeld is op deze manier een tweedimensionale -Vector ruimte; is een basis . Evenzo is een oneindig dimensionale -Vectorruimte, waarvoor geen basis kan worden gespecificeerd in concrete termen.

Lineaire kaarten

Lineaire kaarten zijn de afbeeldingen tussen twee vectorruimten die de structuur van de vectorruimte behouden. Het zijn de homomorfismen tussen vectorruimten in de zin van universele algebra . Een functie: tussen twee vectorruimten en over hetzelfde lichaam heet lineair als en slechts als voor allen en alles

zijn vervuld. Dit betekent, is compatibel met de structuren die vectorruimte vormen: optellen en scalaire vermenigvuldiging. Twee vectorruimten worden isomorf genoemd als er een lineaire afbeelding tussen is die bijectief is , d.w.z. een inverse functie heeft . Deze inverse functie is dan automatisch ook lineair. Isomorfe vectorruimten verschillen niet in hun structuur als vectorruimte.

Basis van een vectorruimte

Voor een eindig getal en heet de som

als een lineaire combinatie van de vectoren . Het is zelf weer een vector uit de vectorruimte .

is een subset van dus de verzameling van alle lineaire combinaties van vectoren is gemaakt de lineaire envelop van genaamd. Het is een deelruimte van , namelijk de kleinste deelruimte, de bevat.

Deel van een vectorruimte wordt gezegd dat het lineair afhankelijk is als de nulvector op een niet-triviale manier een lineaire combinatie van vectoren blijkt te zijn uitdrukt. "Niet-triviaal" betekent dat ten minste één scalaire waarde (een lineaire combinatiecoëfficiënt) verschilt van nul. Anders heet lineair onafhankelijk .

Deel van een vectorruimte is een basis van , indien is lineair onafhankelijk en de lineaire omhullende van is de hele vectorruimte.

Gezien het keuzeaxioma kan het lemma van Zorn worden gebruikt om te bewijzen dat elke vectorruimte een basis heeft (hij is vrij ), waarbij deze uitspraak in de context van Zermelo Fraenkel gelijk is aan het keuzeaxioma. [4] Dit heeft verstrekkende gevolgen voor de structuur van elke vectorruimte: Allereerst kan worden aangetoond dat elke twee basen van een vectorruimte dezelfdekardinaliteit hebben , zodat de kardinaliteit van elk grondtal van een vectorruimte een uniek hoofdtelwoord , dat de dimensie van de vectorruimte wordt genoemd. Twee vectorruimten boven hetzelfde lichaam zijn isomorf als en slechts dan als ze dezelfde dimensie hebben, want omdat twee basen van twee vectorruimten gelijk zijn, is er een bijectie tussen hen. Dit kan worden voortgezet in een bijectieve lineaire afbeelding, d.w.z. een isomorfisme van de twee vectorruimten. Het kan ook worden aangetoond dat lineaire afbeeldingen worden gedefinieerd door de afbeeldingen van elementen van een basis. Hierdoor kunnen alle lineaire afbeeldingen tussen eindig-dimensionale vectorruimten worden weergegeven als een matrix. Dit kan worden overgebracht naar oneindig-dimensionale vectorruimten, waarbij ervoor moet worden gezorgd dat elke gegeneraliseerde "kolom" slechts een eindig aantal niet-nul-ingangen bevat, zodat elke basisvector wordt afgebeeld op een lineaire combinatie van basisvectoren in de doelruimte .

Met behulp van het basisconcept is het probleem van het vinden van een skelet in de categorie van alle vectorruimten over een gegeven lichaam teruggebracht tot het vinden van een skelet in de categorie verzamelingen die wordt gegeven door de klasse van hoofdtelwoorden . Iedereen -dimensionale vectorruimte kan ook de . worden genoemd -vouw de directe som van het onderliggende lichaam. De directe sommen van een lichaam vormen dus een skelet van de categorie van vectorruimten erboven.

De lineaire factoren van de representatie van een vector in de basisvectoren worden coördinaten van de vector genoemd ten opzichte van de basis en zijn elementen van het onderliggende lichaam. Alleen wanneer een basis wordt geïntroduceerd, krijgt elke vector zijn coördinaten toegewezen met betrekking tot de geselecteerde basis. Dit maakt het berekenen eenvoudiger, vooral als u hun toegewezen "beschrijvende" coördinaatvectoren kunt gebruiken in plaats van vectoren in "abstracte" vectorruimten.

deelruimte

Een sub-vectorruimte (ook lineaire subruimte ) is een deelverzameling van een vectorruimte, die zelf een vectorruimte boven hetzelfde lichaam is. De vectorruimtebewerkingen worden geërfd op de subvectorruimte. is een vectorruimte boven een lichaam , vormt dus een subset een deelruimte dan en slechts als aan de volgende voorwaarden is voldaan: [5]

  • Voor iedereen is toepasbaar
  • Voor iedereen en is toepasbaar

De hoeveelheid moet daarom gesloten zijn met betrekking tot de vectoroptelling en de scalaire vermenigvuldiging. Elke vectorruimte bevat twee triviale subvectorruimten, namelijk aan de ene kant zelf en aan de andere kant de nulvectorruimte die alleen uit de nulvector bestaat. Daar zelf een vectorruimte is, impliceert dit in het bijzonder de noodzakelijke voorwaarde dat moet de nulvector bevatten. Elke deelruimte is het beeld van een andere vectorruimte onder een lineaire afbeelding in de ruimte en de kern van een lineaire afbeelding in een andere vectorruimte. Een verdere vectorruimte, de quotiëntruimte of factorruimte , kan worden gevormd uit een vectorruimte en een subvectorruimte door equivalentieklassen te vormen, die grotendeels gerelateerd is aan de eigenschap van een deelruimte om een ​​kern te zijn, zie ook homomorfismestelling .

Vectorruimten koppelen

Twee of meer vectorruimten kunnen op verschillende manieren aan elkaar worden gekoppeld, zodat een nieuwe vectorruimte ontstaat.

Directe som

De directe som van twee vectorruimten over hetzelfde lichaam bestaat uit alle geordende paren vectoren, waarvan de eerste component uit de eerste ruimte komt en de tweede component uit de tweede ruimte:

De vectoroptelling en de scalaire vermenigvuldiging worden dan component voor component op deze set paren gedefinieerd, wat op zijn beurt een vectorruimte creëert. De dimensie van is dan gelijk aan de som van de afmetingen van en . De elementen van in plaats van als koppel ook als een som geschreven. De directe som kan ook worden veralgemeend tot de som van eindig veel en zelfs oneindig veel vectorruimten, in welk geval slechts eindig veel componenten niet gelijk kunnen zijn aan de nulvector.

Direct product

Het directe product van twee vectorruimten over hetzelfde lichaam bestaat, net als de directe som, uit alle geordende paren vectoren van de vorm

.

De vectoroptelling en de scalaire vermenigvuldiging worden weer componentgewijs gedefinieerd en de dimensie van is weer gelijk aan de som van de afmetingen van en . Bij het directe product van een oneindig aantal vectorruimten kan echter ook een oneindig aantal componenten niet gelijk zijn aan de nulvector, die in dit geval verschilt van de directe som.

Tensor-product

Het tensorproduct van twee vectorruimten over hetzelfde lichaam gaat door

opgeschreven. De elementen van de tensorproductruimte hebben de bilineaire representatie

,

waarin zijn scalairen, een basis van is en een basis van is. is of oneindig dimensionaal, ook hier kan slechts een eindig aantal summands niet gelijk zijn aan nul. De dimensie van is dan gelijk aan het product van de afmetingen van en . Het tensorproduct kan ook worden gegeneraliseerd naar verschillende vectorruimten.

Vectorruimten met extra structuur

In veel toepassingsgebieden in de wiskunde, zoals geometrie of analyse , is de structuur van een vectorruimte niet voldoende, bijvoorbeeld vectorruimten per se laten geen grenswaardeprocessen toe , en men beschouwt daarom vectorruimten met bepaalde aanvullende structuren erop gedefinieerd die in zekere zin compatibel zijn met de vectorruimtestructuur. Voorbeelden:

Euclidische vectorruimte
Een reële vectorruimte met een scalair product wordt (meestal) een Euclidische vectorruimte genoemd . Het is een speciaal geval van een Prehilbert-droom (zie daar voor andere nomenclatuur).
Gestandaardiseerde ruimte
Een genormaliseerde ruimte is een vectorruimte waarin vectoren een lengte ( norm ) hebben. Dit is een niet-negatief reëel getal en voldoet aan de driehoeksongelijkheid .
Prehilbert droom
Ein Prähilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt ( Skalarprodukt bzw. positiv definite hermitesche Form ) definiert ist. In einem solchen Raum kann man Begriffe wie Länge und Winkel definieren.
Topologischer Vektorraum
Ein topologischer Vektorraum über einem topologischen Körper ist ein topologischer Raum mit einer kompatiblen -Vektorraumstruktur, dh, die Vektorraumoperationen und sind stetig .
Unitärer Vektorraum
Als unitärer Vektorraum wird (meist) ein komplexer Vektorraum mit positiv definiter hermitescher Form ("Skalarprodukt") bezeichnet. Er ist ein Spezialfall des Prähilbertraums .

Bei all diesen Beispielen handelt es sich um topologische Vektorräume. In topologischen Vektorräumen sind die analytischen Konzepte der Konvergenz , der gleichmäßigen Konvergenz und der Vollständigkeit anwendbar. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banachraum , ein vollständiger Prähilbertraum heißt Hilbertraum .

Verallgemeinerungen

  • Wenn man an Stelle eines Körpers einen kommutativen Ring zugrunde legt, erhält man einen Modul . Moduln sind eine gemeinsame Verallgemeinerung der Begriffe abelsche Gruppe (für den Ring der ganzen Zahlen ) und Vektorraum (für Körper).
  • Einige Autoren verzichten in der Definition von Körpern auf das Kommutativgesetz der Multiplikation und nennen Moduln über Schiefkörpern ebenfalls Vektorräume. Folgt man dieser Vorgehensweise, so müssen -Linksvektorräume und -Rechtsvektorräume unterschieden werden, wenn der Schiefkörper nicht kommutativ ist. [6] Die oben gegebene Definition des Vektorraums ergibt dabei einen -Linksvektorraum, da die Skalare im Produkt auf der linken Seite stehen. -Rechtsvektorräume werden analog mit der spiegelbildlich erklärten Skalarmultiplikation definiert. Viele fundamentale Ergebnisse gelten völlig analog auch für Vektorräume über Schiefkörpern, etwa die Existenz einer Basis.
  • Eine andere Verallgemeinerung von Vektorräumen sind Vektorbündel ; sie bestehen aus je einem Vektorraum für jeden Punkt eines topologischen Basisraums.

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. H. Grauert, HC Grunert: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. ISBN 3-486-24739-5 .
  2. H.-J. Kowalski, GO Michler: Lineare Algebra.
  3. R. Hartwig WS 2009/2011, S. 11.
  4. Andreas Blass: Axiomatic set theory. In: Contemporary Mathematics. Volume 31, 1984, Kapitel Existence of bases implies the axiom of choice. S. 31–33.
  5. Christoph Ableitinger, Angela Herrmann: Lernen aus Musterlösungen zur Analysis und Linearen Algebra. Ein Arbeits- und Übungsbuch . 1. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1724-2 , S.   88 .
  6. Die Situation ist vergleichbar mit der von Links- und Rechts-Moduln über einem (im Allgemeinen) nicht-kommutativen Ring.

Literatur

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum – Lern- und Lehrmaterialien