Verbindingslijn

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
Spring naar navigatie Spring naar zoeken
Lijn g die twee punten P en Q . verbindt

In de wiskunde is een verbindingslijn een rechte lijn die door twee gespecificeerde punten loopt . Verbindingslijnen komen specifiek aan de orde in de Euclidische meetkunde en meer in het algemeen in de invalmeetkunde . Het bestaan en de uniciteit van de rechte lijn die twee verschillende gegeven punten verbindt, is axiomatisch vereist in de meetkunde als een verbindend axioma.

Euclidische meetkunde

definitie

Zijn en twee verschillende punten in het Euclidische vlak of in de Euclidische ruimte , dan wordt dat een rechte lijn die deze twee punten bevat, "rechte lijn die de punten verbindt" en “Geroepen en met

of

toegewezen.

berekening

Na het kiezen van een Cartesiaans coördinatensysteem kunnen punten in het Euclidische vlak worden weergegeven door getallenparen en te omschrijven. De rechte lijn die twee punten verbindt, kan dan worden gespecificeerd met behulp van een vergelijking voor een rechte lijn . De tweepuntsvorm van de lineaire vergelijking is in dit geval

.

Een parametrische vorm van de lineaire vergelijking is volgens de keuze van als uitgangspunt en als een richtingsvector

met .

In barycentrische coördinaten leest de rechte-lijnvergelijking van de verbindende rechte dienovereenkomstig

met .

De twee vectorrepresentaties zijn ook analoog van toepassing in drie- en hoger-dimensionale ruimten.

Axiomatiek

In een axiomatische benadering van Euclidische meetkunde moet het bestaan en de uniciteit van de rechte lijn die twee gegeven punten verbindt expliciet worden vereist. Euclides eist het bestaan ​​van de verbindingslijn in twee stappen op. De eerste twee postulaten in zijn werk The Elements zijn als volgt: [1]

  1. U kunt de route van elk punt naar elk punt tekenen.
  2. Een beperkte rechte lijn kan continu worden verlengd.

Dit betekent dat er altijd een rechte lijn is die twee verschillende punten verbindt. Deze postulaten moeten constructief worden gezien, dat wil zeggen, voor twee gegeven punten kan de bijbehorende rechte verbindingslijn altijd worden geconstrueerd met een passer en een liniaal .

In Hilbert's systeem van axioma's van Euclidische meetkunde worden het bestaan ​​en de uniciteit van de verbindende rechte lijnen gedefinieerd als axioma's I1. en I2. vermeld binnen axiomagroep I: axioma's van verbinding . Hilbert formuleert de axioma's I1. en I2. als volgt: [2]

I1. Op twee verschillende punten er is altijd een rechte lijn waarop de twee punten liggen.
I2. Twee verschillende punten een rechte lijn bepaal deze rechte lijn ondubbelzinnig.

Incidentiegeometrie

definitie

is in het algemeen een incidentiegebied en zijn twee verschillende punten in deze ruimte, dan heet het een rechte lijn Rechte lijn die deze twee punten verbindt als de volgende twee voorwaarden van toepassing zijn:

(V1)
(V2)

Notatie en manieren van spreken

Als de twee punten en de rechte lijn voldoen aan de voorwaarden (V1) en (V2), schrijft men vaak

of

of kort

.

In het gebruikelijke spraakgebruik hiervoor zegt men ook:

  • verbindt de punten en .
  • gehoord met de puntjes en samen.
  • De punten en opleggen .
  • gaat door de punten en .
  • De punten en insnijden met .
  • ingesneden met de punten en .

of vergelijkbaar.

In deze taal kunnen de bovenstaande voorwaarden (V1) en (V2) als volgt worden verwoord:

(V1 ') De punten en wees door de rechte lijn verbonden.
(V2 ') Voor de punten en er is hoogstens één rechte lijn die hen verbindt.

Verbindingsaxioma

In de voor de meetkunde bijzonder belangrijke invalruimten, dus met name in Euclidische ruimten , in alle affiene ruimten en in alle projectieve ruimten , geldt voor punten en verbindingslijnen steeds de volgende basisvoorwaarde (V):

(V) Er is altijd een rechte verbindingslijn voor twee verschillende punten in de gegeven invalruimte, d.w.z. een rechte lijn zodat aan (V1) en (V2) wordt voldaan.

Deze voorwaarde wordt het axioma van verbinding genoemd.

In een andere formulering kan het verbindingsaxioma ook als volgt worden uitgedrukt:

(V ') Voor elke twee verschillende punten in de gegeven invalruimte is er precies één rechte lijn die deze twee punten verbindt.

Deelruimten en envelopsysteem

De invalsruimten behandelden voornamelijk geometrie - zoals affiene en projectieve ruimten, maar ook vele andere lineaire ruimten zoals b.v. B. de blokplannen - heeft gemeen dat de incidentierelatie voortkomt uit de elementrelatie en dus de rechte lijn Subsets van het bijbehorende punt set zijn.

Het is dan de verzameling lijnen een deelverzameling van de machtenverzameling van , vandaar de relatie gegeven. In dit geval beschrijft men het incidentiebereik kort van vorm in plaats van in vorm . [3]

Een deelverzameling wordt onder deze omstandigheden een deelverzameling genoemd een deelruimte van Wanneer met twee verschillende punten altijd hun verbindingslijn in is inbegrepen, dus altijd hiervoor is toepasbaar.

De hoeveelheid van de deelruimten van vormt een shell-systeem .

Overeenkomstige shell-operator

Naar het envelopsysteem de bijbehorende enveloppenoperator kan op de gebruikelijke wijze worden gevormd. Dit wordt vaak geschreven als . voor dus het is van toepassing

.

Dat betekent:

is de kleinste deelruimte van , de omvat.

In het geval dat u dit doet is een eindige reeks punten, zeg men schrijft ook

of

.

voor en men heeft , dus weer de rechte lijn die verbindt en .

Voorbeeld van het coördinatenvlak

Het coördinatenvlak over een commutatief lichaam geeft een standaardvoorbeeld van een incidentkamer , waarin het verbindingsaxioma van toepassing is. [4] Hier is het punt ingesteld

en de reeks lijnen

.

De reeks lijnen wordt verkregen door alle mogelijke secundaire klassen op te tellen bij all in gelokaliseerde deelruimten van dimensie 1 . Je hebt hier twee verschillende punten , kan de verbindingslijn op de volgende manier worden weergegeven:

Het standaardvoorbeeld van dit concept wordt geleverd door de rechte lijnen die twee punten van het Euclidische vlak verbinden.

Zie ook

literatuur

  • Gerhard Hessenberg , Justus Diller: Grondbeginselen van de meetkunde . 2e editie. Walter de Gruyter Verlag, Berlijn 1967, p.   20, 220 .
  • David Hilbert : Grondbeginselen van de meetkunde . Met supplementen van Dr. Paul Bernays (= Teubner Studieboeken: Wiskunde ). 11e editie. Teubner Verlag, Stuttgart 1972, ISBN 3-519-12020-8 , blz.   3   ff . ( MR1109913 ).
  • Helmut Karzel , Kay Sörensen, Dirk Windelberg: Inleiding tot de meetkunde (= Uni-Taschenbücher . Volume   184 ). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1973, ISBN 3-525-03406-7 , pp.   11   ff .
  • Max Koecher , Aloys Krieg : niveaugeometrie (= Springer-leerboek ). 2e, herziene en uitgebreide druk. Springer Verlag, Berlijn (onder andere) 2000, ISBN 3-540-67643-0 , p.   7, 48   ff., 52, 212 .
  • Herbert Meschkowski : De manieren van denken van grote wiskundigen . Een pad naar de geschiedenis van de wiskunde (= documenten over de geschiedenis van de wiskunde ). 3. Uitgave. Vieweg Verlag, Braunschweig 1990, ISBN 3-528-28179-0 ( MR1086172 ).
  • Eberhard M. Schröder: Lezingen over meetkunde . 2. Affine en projectieve meetkunde. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Wenen / Zürich 1991, ISBN 3-411-15301-6 , p.   2   ff . ( MR1166803 ).
  • Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller (arr.): Vieweg-Mathematik-Lexikon . Termen, definities, zinnen, voorbeelden voor basisstudies. Vieweg Verlag, Braunschweig / Wiesbaden 1988, ISBN 3-528-06308-4 , pp.   311

Individuele referenties en opmerkingen

  1. ^ Herbert Meschkowski: Gedachten van grote wiskundigen. 3e druk, 1990, blz. 20.
  2. ^ David Hilbert: Grondbeginselen van de meetkunde. 11e druk, 1972, blz. 3 ev.
  3. De elementrelatie wordt als vanzelfsprekend beschouwd en wordt verder niet genoemd.
  4. ^ Koecher, Krieg: niveaugeometrie. 2000, blz. 48 ev.