centrale projectie

Centrale projectie van een kubus

Parallelle projectie of centrale projectie van een rij huizen

Met behulp van de centrale projectie kunnen levendige beelden van ruimtelijke objecten in de representatieve geometrie worden geproduceerd. In tegenstelling tot parallelle projectie, waarbij parallelle stralen worden gebruikt om op een vlak te projecteren (beeldtabel), gebruikt centrale projectie stralen (rechte lijnen) door een vast punt $O$ ${\ weergavestijl O}$ $O$ , het oogpunt. Door de centrale projectie ontstaan beelden die ook ontstaan als je met één oog in het oog kijkt. Terwijl parallelle rechte lijnen daarop worden afgebeeld in parallelle projectie, worden parallelle rechte lijnen die niet parallel lopen aan de beeldtafel afgebeeld op rechte lijnen die elkaar kruisen in een punt, het verdwijnpunt , in centrale projectie. Centrale projecties weerspiegelen de ruimtelijke indruk van een object veel beter dan een parallelle projectie (zie huizenrij). De centrale projectie komt overeen met het beeld van de omgeving door het menselijk oog en resulteert zo in een natuurlijke beeldindruk. Het wordt gebruikt in technologie en architectuur , in cartografie , in schilderen en tekenen , maar ook in computergraphics .

Benamingen

Centrale projectie: aanduidingen

Verdwijnen en volgen van punten van rechte lijnen

Huis met twee verdwijnpunten of één verdwijnpunt

Voorbeeld met een cirkel van visie

Variatie van opslagfolie en oogpunt

Hoe een pinhole-camera werkt

Het oogpunt , het centrum van de projectiestralen van een centrale projectie, wordt meestal aangeduid met O, waardoor een relatie met het oog ontstaat (Latijn: oculus = oog). Het loodpunt van het oogpunt naar het prentenbord wordt het hoofdpunt genoemd , omdat het een belangrijke rol speelt bij het maken van een centrale projectie en bij de daaropvolgende bezichtiging. Het belangrijkste punt is, om zo te zeggen, het midden van de foto. De afstand tussen het oogpunt en de beeldtafel wordt de afstand (van de huidige centrale projectie) genoemd. Als het hoofdpunt in de afbeelding is gemarkeerd en de afstand bekend is, weet u waar u uw oog moet plaatsen als u naar de afbeelding kijkt om een perfecte indruk te krijgen. Het verdwijnpunt van een evenwijdige bundel van lijnen die niet evenwijdig is aan de beeldtabel is het gemeenschappelijke snijpunt van de bijbehorende beeldlijn en is altijd het snijpunt met de beeldtabel (spoorpunt) van de rechte lijn van de bundel dat het oogpunt bevat (zie afbeelding). Rechte lijnen die evenwijdig lopen aan de afbeelding hebben geen verdwijnpunten of men zegt dat het bijbehorende verdwijnpunt op "oneindig" ligt. Een rechte lijn die loodrecht op de tafel loopt, wordt een dieptelijn genoemd . Het verdwijnpunt van alle contourlijnen is het hoofdpunt. Bij veel objecten spelen horizontale lijnen en daarmee hun verdwijnpunten een belangrijke rol. De verdwijnpunten van alle horizontale richtingen vormen samen de horizon h , een horizontale rechte lijn. Als het bord verticaal staat, ligt het hoofdpunt altijd aan de horizon. Blokvormige objecten hebben a) drie natuurlijke verdwijnpunten als geen van de randen evenwijdig is aan het bord (zie afbeelding van de kubus in de eerste afbeelding), b) twee verdwijnpunten als één rand evenwijdig is aan het bord (zie 1e huis ), c) een verdwijnpunt als twee richtingen evenwijdig aan het bord lopen (zie 2e huis). Het laatste geval wordt een frontaal perspectief genoemd . Meestal worden centrale projecties van objecten gemaakt met behulp van gevels en plattegronden. De plattegrond niveau wordt aangeduid als de stand-niveau (van de kijker) op basis van fotografie. De snijlijn (spoorlijn) s van de plattegrond (staand vlak) met het bord wordt om technische redenen vaak in de afbeelding getekend en wordt de staande lijn genoemd . De basislijn en de horizon zijn altijd evenwijdig aan elkaar. Met behulp van stralen door het oogpunt O zijn alle punten van de ruimte behalve de punten te vinden in het vlak evenwijdig aan de beeldtafel $\pi _{v}$ ${\ weergavestijl \ pi _ {v}}$ $\ pi _ {v}$ kaart door het oog punt. De punten op dit vlak worden verdwijnpunten genoemd en het vlak $\pi _{v}$ ${\ weergavestijl \ pi _ {v}}$ $\ pi _ {v}$ Verdwijnend vliegtuig . Als je naar een centrale projectie kijkt, heb je vaak de indruk dat perifere gebieden vervormd lijken. Dit komt altijd doordat je je oog niet in het oogpunt hebt gepositioneerd. De ervaring heeft geleerd dat het gebied van het beeld, dat nog te zien is wanneer het oog op het oogpunt is gepositioneerd en het hoofdpunt gefixeerd, conisch beperkt is. Het snijpunt van deze zichtkegel met de afbeelding is de zichtcirkel (zie afbeelding van een brug). De straal is ongeveer 0,58 * afstand. Dit komt overeen met een halve openingshoek van de zichtkegel van 30°.

In de representatieve geometrie worden objecten altijd "vóór" het verdwijnvlak gecreëerd $\pi _{v}$ ${\ weergavestijl \ pi _ {v}}$ $\ pi _ {v}$ uitgeschakeld, dwz het object en de afbeelding bevinden zich aan dezelfde kant van het verdwijnvlak. Bij fotografie bevinden het object en de afbeelding zich altijd aan verschillende kanten van $\pi _{v}$ ${\ weergavestijl \ pi _ {v}}$ $\ pi _ {v}$ . Hierdoor staan fotografische beelden in de camera altijd "ondersteboven", wat geen effect heeft op hoe ze later worden bekeken, omdat het beeld dan gewoon "de goede kant op" wordt gehouden.

Het voordeel van een centrale projectie is dat deze zeer heldere beelden oplevert, namelijk beelden die het zien (met één oog) of het nemen van foto's nabootsen. Lengtes uit een centrale projectie of zelfs alleen verhoudingen van lengtes kunnen echter niet worden afgelezen. In tegenstelling tot de parallelle projectie, die trouw is aan de relatie , blijft bij een centrale projectie alleen de dubbele verhouding (verhouding van verhoudingen) invariant.

De centrale projectie toont objecten in het randgebied te groot, zodat de velden van een schaakbord, dat evenwijdig is aan het bord, allemaal even groot en vierkant worden weergegeven. In feite zijn de velden die verder van het hoofdpunt verwijderd zijn ook verder van de kijker en zouden ze kleiner op het bord moeten worden weergegeven om een natuurlijk beeld te krijgen. Dit effect is inderdaad zichtbaar in afbeeldingen gemaakt met fisheye-lenzen . Het menselijk oog corrigeert echter de resulterende scheve randen bij het kijken naar grote objecten van dichtbij, zodat het fisheye-perspectief niet natuurlijk lijkt.

Veel groothoeklenzen benaderen daarom het centrale perspectief door beeldgebieden dicht bij de rand vergroot weer te geven, zodat ook de rechte lijnen die evenwijdig aan de beeldtafel liggen, zo recht mogelijk worden weergegeven. Hoewel dit leidt tot bepaalde vervormingen in de hoeken van het beeld, worden deze in de architectuurfotografie niet als hinderlijk ervaren en veroorzaken ze bij landschapsfotografie een zeker, mogelijk gewenst drama, terwijl de weergave van groepen mensen met een groothoeklens vaak leidt tot onbevredigende resultaten. Video-opnames met groothoek leiden tot onnatuurlijk "vloeien" van de objecten die bij het pannen in de randgebieden komen. De beschreven relaties zijn meer merkbaar voor brandpuntsafstanden met kegels van visie dan voor de mens.

Over de betekenis van het hoofdpunt, de afstand en het oogpunt

De afbeelding met variaties van een huis toont het belang van de belangrijkste parameters hoofdpunt, afstand en oogpunt. Men houdt het oog punt vast $O$ ${\ weergavestijl O}$ $O$ stevig vast en duwt de beeldtafel naar het oogpunt, dwz als de afstand wordt verkort, wordt het beeld alleen teruggebracht tot een beeld dat lijkt op het eerste beeld. De hoeken blijven behouden. Als u daarentegen de fotoplaat vasthoudt en op het oogpunt drukt $O$ ${\ weergavestijl O}$ $O$ naar het hoofdpunt toe, dwz ook hier wordt de afstand korter, waardoor een beeld ontstaat met een nieuw visueel effect. De foto lijkt niet meer op de eerste foto. Overeenkomstige hoeken zijn niet meer hetzelfde. Een verschuiving van het hoofdpunt langs de rechte lijn $O H$ ${\ weergavestijl OH}$ $OH$ bewerkstelligt alleen een verkleining of vergroting van het beeld. Een verschuiving langs het oogpunt $O H$ ${\ weergavestijl OH}$ $OH$ veroorzaakt een aanzienlijke verandering in het beeld.

Constructie van de centrale projectie van een object

De constructie van een centrale projectie van een object is aanzienlijk complexer dan een parallelle projectie. Hiervoor is er een proces vergelijkbaar met het incisieproces voor parallelle projecties: de architect-opstelling . Net als bij het incisieproces moeten de plattegrond en verhoging speciaal worden gepositioneerd. Voor de constructie van de afbeelding worden alleen punten verbonden en lijnen gesneden. Parallellen spelen een belangrijke rol bij het faciliteren van parallelle projectie. Ze zijn ook een grote hulp bij centrale projectie dankzij hun verdwijnpunten. Een andere relatief eenvoudige methode is het frontale perspectief . Het is vergelijkbaar met het perspectief van de cavalier voor een parallelle projectie (zie axonometrie ). In het frontale perspectief is het beeldpaneel gerelateerd aan een essentieel vlak van het object, b.v. B. een gevel, parallel of het fotopaneel en dit essentiële niveau zijn identiek. Dat laatste heeft als grote voordeel dat je de elevatie van het object eenvoudig kunt vergroten tot frontaal perspectief. Een ander belangrijk voordeel van een frontaal perspectief is dat cirkels in het essentiële niveau terug naar cirkels worden afgebeeld (zie voorbeeld in frontaal perspectief). Er is echter ook een nadeel: het voorvlak van het object wordt sterk benadrukt. Bij een centrale projectie met twee essentiële verdwijnpunten is dit meestal niet het geval.

Projectie formules

Naar de projectieformules: Basis van de beeldtabel

Voor een analytische beschrijving van de centrale projectie kiezen we in de afbeeldingstabel

het hoofdpunt $H:{\mathbf {h} }$ ${\ displaystyle H: {\ mathbf {h}}}$ $H: {{\ mathbf h}}$ als de oorsprong van een nieuw coördinatenstelsel en
de normale eenheidsvector van de afbeeldingstabel $\mathbf {n} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {0}}$ ${\ mathbf n} _ {0}$ die van $H$ ${\ weergavestijl H}$ $H$ naar het oog punt $O$ ${\ weergavestijl O}$ $O$ duidt op.

Met de afstand

NS

{\ weergavestijl d}

NS

is toepasbaar:

O:{\mathbf {h} }+d{\mathbf {n} }_{0}

{\ displaystyle O: {\ mathbf {h}} + d {\ mathbf {n}} _ {0}}

O: {{\ mathbf h}} + d {{\ mathbf n}} _ {0}

.

We voegen toe ${\mathbf {n} }_{0}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}} _ {0}}$ ${{\ mathbf n}} _ {0}$ door eenheidsvectoren ${\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}}$ ${{\ mathbf e}} _ {1}, {{\ mathbf e}} _ {2}$ zodat

een)

{\mathbf {e} }_{1}

{\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {1}}

{{\ mathbf e}} _ {1}

is horizontaal en b)

\{{\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2},{\mathbf {n} }_{0}\}

{\ displaystyle \ {{\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}, {\ mathbf {n}} _ {0} \}}

\ {{{\ mathbf e}} _ {1}, {{\ mathbf e}} _ {2}, {{\ mathbf n}} _ {0} \}

vormen een orthonormaal systeem (zie afbeelding).

De centrale projectie van een objectpunt $P.$ ${\ weergavestijl P}$ $P.$ gebeurt in twee stappen:

Coördinatentransformatie van het punt $P:{\mathbf {p} }=(x,y,z)$ ${\ displaystyle P: {\ mathbf {p}} = (x, y, z)}$ $P: {{\ mathbf p}} = (x, y, z)$ in het systeem $(H;{\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2},{\mathbf {n} }_{0})$ ${\ displaystyle (H; {\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}, {\ mathbf {n}} _ {0})}$ $(H; {{\ mathbf e}} _ {1}, {{\ mathbf e}} _ {2}, {{\ mathbf n}} _ {0})$ met het nulpunt $H$ ${\ weergavestijl H}$ $H$ en de basis $\{{\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2},{\mathbf {n} }_{0}\}$ ${\ displaystyle \ {{\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}, {\ mathbf {n}} _ {0} \}}$ $\ {{{\ mathbf e}} _ {1}, {{\ mathbf e}} _ {2}, {{\ mathbf n}} _ {0} \}$ :
${\mathbf {p} }=(x,y,z)\to {\bar {\mathbf {p} }}=({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})$ ${\ displaystyle {\ mathbf {p}} = (x, y, z) \ to {\ bar {\ mathbf {p}}} = ({\ bar {x}}, {\ bar {y}}, { \ maat {z}})}$ ${{\ mathbf p}} = (x, y, z) \ tot {\ bar {{{\ mathbf p}}}} = ({\ bar {x}}, {\ bar {y}}, {\ maat {z}})$ met
${\bar {x}}=({\mathbf {p} }-{\mathbf {h} })\cdot {\mathbf {e} }_{1},\quad {\bar {y}}=({\mathbf {p} }-{\mathbf {h} })\cdot {\mathbf {e} }_{2},\quad {\bar {z}}=({\mathbf {p} }-{\mathbf {h} })\cdot {\mathbf {n} }_{0},$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} = ({\ mathbf {p}} - {\ mathbf {h}}) \ cdot {\ mathbf {e}} _ {1}, \ quad {\ bar {y} } = ({\ mathbf {p}} - {\ mathbf {h}}) \ cdot {\ mathbf {e}} _ {2}, \ quad {\ bar {z}} = ({\ mathbf {p} } - {\ mathbf {h}}) \ cdot {\ mathbf {n}} _ {0},}$ ${\ bar {x}} = ({{\ mathbf p}} - {{\ mathbf h}}) \ cdot {{\ mathbf e}} _ {1}, \ quad {\ bar {y}} = ( {{\ mathbf p}} - {{\ mathbf h}}) \ cdot {{\ mathbf e}} _ {2}, \ quad {\ bar {z}} = ({{\ mathbf p}} - { {\ mathbf h}}) \ cdot {{\ mathbf n}} _ {0},$
Centrale projectie in het systeem $(H;{\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2},{\mathbf {n} }_{0})$ ${\ displaystyle (H; {\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}, {\ mathbf {n}} _ {0})}$ $(H; {{\ mathbf e}} _ {1}, {{\ mathbf e}} _ {2}, {{\ mathbf n}} _ {0})$ op de ${\bar {x}}-{\bar {y}}$ ${\ weergavestijl {\ maat {x}} - {\ maat {y}}}$ ${\ maat {x}} - {\ maat {y}}$ - Niveau:
${\bar {\mathbf {p} }}=({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})\to \left({\frac {\bar {x}}{1-{\bar {z}}/d}},{\frac {\bar {y}}{1-{\bar {z}}/d}}\right)$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {p}}} = ({\ bar {x}}, {\ bar {y}}, {\ bar {z}}) \ naar \ links ({\ frac {\ maat {x}} {1 - {\ maat {z}} / d}}, {\ frac {\ maat {y}} {1 - {\ maat {z}} / d}} \ rechts)}$ ${\ bar {{{\ mathbf p}}}} = ({\ bar {x}}, {\ bar {y}}, {\ bar {z}}) \ naar \ links ({\ frac {{\ maat {x}}} {1 - {\ maat {z}} / d}}, {\ frac {{\ maat {y}}} {1 - {\ maat {z}} / d}} \ rechts)$

Een beschrijvende beschrijving van de normaalvector ${\mathbf {n} }_{0}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {n}} _ {0}}$ ${{\ mathbf n}} _ {0}$ wordt verkregen met behulp van de hoekcoördinaten $jij, v$ ${\ weergavestijl u, v}$ $jij, v$ de bolcoördinaten worden gebruikt. De engel $jij$ ${\ weergavestijl u}$ $jij$ beschrijft (in radialen) de lengtegraad en $v$ ${\ weergavestijl v}$ $v$ de breedtegraad:

{\mathbf {n} }_{0}=(\cos u\cos v,\sin u\cos v,\sin v),\quad u\in [0,2\pi ],v\in \left[{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]

{\ displaystyle {\ mathbf {n}} _ {0} = (\ cos u \ cos v, \ sin u \ cos v, \ sin v), \ quad u \ in [0.2 \ pi], v \ in \ links [{\ frac {- \ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ rechts]}

{\ displaystyle {\ mathbf {n}} _ {0} = (\ cos u \ cos v, \ sin u \ cos v, \ sin v), \ quad u \ in [0.2 \ pi], v \ in \ links [{\ frac {- \ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ rechts]}

Voor de vectoren ${\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}}$ ${{\ mathbf e}} _ {1}, {{\ mathbf e}} _ {2}$ dan krijgt men:

{\mathbf {e} }_{1}=(-\sin u,\cos u,0),\quad {\mathbf {e} }_{2}:=(-\cos u\sin v,-\sin u\sin v,\cos v)

{\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {1} = (- \ sin u, \ cos u, 0), \ quad {\ mathbf {e}} _ {2}: = (- \ cos u \ sin v, - \ sin u \ sin v, \ cos v)}

{{\ mathbf e}} _ {1} = (- \ sin u, \ cos u, 0), \ quad {{\ mathbf e}} _ {2}: = (- \ cos u \ sin v, - \ sin u \ sin v, \ cos v)

.

Om een specifieke centrale projectie vast te stellen,

a) het belangrijkste punt:

H

{\ weergavestijl H}

H

, b) de afstand

NS

{\ weergavestijl d}

NS

en c) de twee hoeken

jij, v

{\ weergavestijl u, v}

jij, v

kan worden opgegeven.

Er zijn dus in totaal 6 cijfers nodig.

Opmerking: voor: $d\to \infty$ ${\ displaystyle d \ tot \ infty}$ $d \ tot \ infty$ verkrijgt men de formules voor de loodrechte parallelle projectie. Aangezien het belangrijkste hier niet meer van belang is, kunt u: $H:(0,0,0)$ ${\ displaystijl H: (0,0,0)}$ $H: (0,0,0)$ neerzetten. Het is te zien dat een loodrechte parallelle projectie wordt beschreven door een lineaire afbeelding . Dit geldt niet voor een centrale projectie. Echter: Met behulp van homogene coördinaten , zoals gebruikelijk in computervisie, kan men een centrale projectie ook als een lineair beeld weergeven (zie projectiematrix_ (computervisie) ).

Opmerking: Bij het evalueren van meetbeelden in fotogrammetrie worden andere parameters gebruikt, zie Oriëntatie .

Toepassingen van centrale projectie

duidelijk herkenbare uitlijning van de centrale projectie

Typische toepassingen van de centrale projectie zijn te vinden:

in beschrijvende geometrie
in de architectuur voor de perspectivische grafische weergave van objecten,
in schilderen en tekenen
in computergraphics
bij fotografie z. B. bij de reconstructie van gebouwen op basis van foto's
in fotogrammetrie b.v. B. bij het beoordelen en meten van (lucht)beelden, bij het corrigeren van schuine opnames ,
in cartografie (daar azimutale projectie genoemd ), voor kaartnetwerkontwerpen ( gnomonische projectie ; stereografische projectie ),
in de gnomonics van de theorie van de zonnewijzer om de zon op een wijzerplaat af te beelden.

literatuur

Fucke, Kirch, Nickel: beschrijvende geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4 .
Cornelie Leopold: geometrische basis van architecturale representatie. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X .
Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas voor wiskunde, schoolbord en teksten, deel I, grondbeginselen, algebra en meetkunde. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1982.
W. Rüger, J. Pietschner, K. Regensburger: fotogrammetrie , procedures en apparaten. VEB Verlag für Bauwesen, Berlijn 1978.

web links

Beschrijvende geometrie voor architecten (PDF; 1,5 MB). Script (Uni Darmstadt)
CDKG: Computerondersteunde beschrijvende en constructieve meetkunde (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), pp. 37-39

Commons : Centrale projectie - verzameling van afbeeldingen, video's en audiobestanden