Projectie met twee panelen

Plattegrond en aanzicht in projectie met twee panelen

Projectie met twee panelen is een fundamentele methode van beschrijvende geometrie . Er zal een punt zijn $P.$ ${\ weergavestijl P}$ $P.$ van het kijkgebied met behulp van twee loodrechte parallelle projecties op twee onderling loodrechte vlakken (beeldpaneel) $\pi _{1},\pi _{2}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1}, \ pi _ {2}}$ $\ pi _ {1}, \ pi _ {2}$ geprojecteerd. Meestal is het vliegtuig $\pi _{1}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$ $\ pi _ {1}$ horizontaal en heet plattegrond en $\pi _{2}$ ${\ displaystyle \ pi _ {2}}$ $\ pi _ {2}$ verticaal, het elevatiebord . De snijlijn $k_{12}=\pi _{1}\cap \pi _{2}$ ${\ displaystyle k_ {12} = \ pi _ {1} \ cap \ pi _ {2}}$ $k _ {{12}} = \ pi _ {1} \ hoofdletter \ pi _ {2}$ wordt scheurrand genoemd. De resulterende afbeeldingen ${P.}^{ik}, {P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P ', P' '}$ $P', P''$ zijn plattegrond of hoogte van $P.$ ${\ weergavestijl P}$ $P.$ .

Voorstellen $\pi _{1}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$ $\ pi _ {1}$ als xy-vlak en $\pi _{2}$ ${\ displaystyle \ pi _ {2}}$ $\ pi _ {2}$ als het yz-vlak, dat elkaar kruist in de y-as, herkent men dat in beide projecties (scheuren) ${P.}^{ik}, {P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P ', P' '}$ $P', P''$ alle ruimtelijke informatie (coördinaten) van het punt $P.$ ${\ weergavestijl P}$ $P.$ zijn inbegrepen.

De uitbreiding van de projectie met twee panelen met nog een weergaveniveau leidt tot de projectie met drie panelen .

Dergelijke scheuren waren al bekend bij de Grieken en Romeinen. Het was echter alleen een idee van Gaspard Monge ^[1] dat het mogelijk maakte om de essentiële ruimtelijke geometrische problemen van de representatieve meetkunde relatief eenvoudig met een tekening op te lossen. Monge vouwde het verhogingsbord rond de rand van de spleet in de plattegrond en gebruikte de plattegrond als tekenvlak. De eerste ruimtelijke opgave van ${P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P '}$ $P '$ en ${P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P ''}$ $P ''$ gaat in de opdracht in het tekenvlak door een map (loodrecht op de scheurrand). Ze zeggen plattegrond en hoogte ${P.}^{ik}, {P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P ', P' '}$ $P', P''$ worden via de bijbehorende map op tekenniveau aan elkaar toegewezen .

Plattegronden en verhogingen van verschillende punten

Projectie met twee panelen: verschillende posities van punten

Aangezien de duidelijkheid van de positie van punten in de projectie met twee panelen aanzienlijk minder is dan in een driedimensionaal beeld (axonometrie), vergt het enige oefening om de ruimtelijke positie van een specifiek punt voor te stellen op basis van het grondplan en de hoogte . Normaal gesproken verwacht je dat bij een projectie met twee panelen het plan van een punt onder en de hoogte van een punt boven de rand van de scheur ligt. Zoals de voorbeelden op de foto laten zien, hoeft dit niet het geval te zijn. Men probeert echter altijd de plattegrond en hoogte van een object optisch te scheiden in de projectie met twee panelen (plattegrond "beneden", hoogte "boven").

Rechte lijnen

Projectie met twee panelen van een rechte lijn

Projectie met twee panelen: verschillende posities van rechte lijnen

Tweedelige projectie van een rechte lijn: spoorpunten

S_{1},S_{2}

{\ displaystyle S_ {1}, S_ {2}}

S_1, S_2

Een rechte lijn wordt uniek bepaald door twee punten. Hun plattegrond en hoogte worden dus bepaald door de plattegrond en hoogte van twee punten.

Contourlijnen, frontlijnen

Er zijn verschillende speciale posities van rechte lijnen die een speciale naam hebben gekregen (zie de afbeelding):

Een contourlijn een rechte lijn evenwijdig aan het bodempaneel gescheurd $\pi _{1}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$ $\ pi _ {1}$ loopt.
Een frontlijn is een rechte lijn evenwijdig aan de scheurtabel On $\pi _{2}$ ${\ displaystyle \ pi _ {2}}$ $\ pi _ {2}$ loopt.
Een rechte hoofdlijn is een hoogte- of frontlijn.
Een Erstprojizierend e is een crack schoolbord een Loodrecht op de grond en dus een projectiestraal op de plattegrond.
Een Zweitprojizierende is een scheurbord dat een Loodrecht omhoog gaat en daarmee een projectiebalk voor de hoogte.
Een leunende rechte lijn is in één naar de scheurrand $k_{12}$ ${\ displaystijl k_ {12}}$ $k_ {{12}}$ verticaal vlak $\pi _{3}$ ${\ weergavestijl \ pi _ {3}}$ $\ pi _ {3}$ bevatten. Rechte scheve lijnen zijn bij constructies erg oncomfortabel, aangezien zowel de plattegrond als de hoogte op de enkele vouw valt (zie de afbeelding).

Zowel hoogte als frontlijnen spelen een speciale rol bij het bepalen van de werkelijke lengte , omdat

een segment op een lijn hoogtes weergegeven in bovenaanzicht true lengte.
een segment op een frontlijn verschijnt op ware lengte in de scheur.

Hoofdlijnen spelen ook een belangrijke rol in rechte hoeken, omdat

Een rechte hoek verschijnt weer als een rechte hoek in de plattegrond (elevatie) als een been op een hoogtelijn (frontlijn) ligt.

Eventuele hoeken verschijnen in de plattegrond (hoogte) op ware grootte wanneer beide benen evenwijdig zijn aan de plattegrond (hoogtetabel). Tafelparallelliteit kan worden bereikt door het vlak waarin de hoek ligt rond een contourlijn (frontlijn) te roteren of door twee achterwaartse projecties (zie ware vorm ).

Punten volgen

De spoorpunten van een rechte lijn worden vaak gebruikt in constructies. Het zijn de piercing punten $S_{1},S_{2}$ ${\ displaystyle S_ {1}, S_ {2}}$ $S_1, S_2$ de rechte lijn met de scheurpanelen. Het is altijd van toepassing

$S_{1}=S_{1}'\;,\quad S_{2}=S_{2}''\quad$ ${\ displaystyle S_ {1} = S_ {1} '\;, \ quad S_ {2} = S_ {2}' '\ quad}$ ${\ displaystyle S_ {1} = S_ {1} '\;, \ quad S_ {2} = S_ {2}' '\ quad}$ en

S_{1}''\;,\quad S_{2}'\quad

{\ displaystyle S_ {1} '' \;, \ quad S_ {2} '\ quad}

{\ displaystyle S_ {1} '' \;, \ quad S_ {2} '\ quad}

op de rand van de scheur liggen (zie foto).

Niveaus

Beschrijving van een vliegtuig, rechte baan

Tweedelige projectie van een vlak: sporen, rechte hoofdlijnen

a) Normaal

N

{\ weergavestijl n}

N

in punt

P.

{\ weergavestijl P}

P.

b) Lot

ik

{\ weergavestijl l}

ik

vanaf punt

Q

{\ displaystijl Q}

Q

op niveau (via

s_{1},s_{2}

{\ displaystyle s_ {1}, s_ {2}}

s_ {1}, s_ {2}

gegeven)

Projectie met twee panelen: speciale posities van vlakken

Een vlak wordt in de representatieve geometrie gewoonlijk beschreven door een driehoek of twee snijdende rechte lijnen in bovenaanzicht en hoogte. In het tweede geval kiest belangrijkste rechte lijnen (contourlijnen, front) of spoor rechte lijnen (snijlijnen van het vlak van de scheur platen, zie foto). Ook hier vergt het enige oefening om de positie van het vlak in de ruimte te kunnen voorstellen vanaf de gegeven plattegronden en verhogingen (zie afbeelding).

Voor rechte sporen $s_{1},s_{2}$ ${\ displaystyle s_ {1}, s_ {2}}$ $s_ {1}, s_ {2}$ één niveau is van toepassing:

$s_{1}=s_{1}',s_{2}=s_{2}''$ ${\ displaystyle s_ {1} = s_ {1} ', s_ {2} = s_ {2}' '}$ $s_ {1} = s_ {1} ', s_ {2} = s_ {2}' '$ en

s_{1}'',s_{2}'

{\ displaystyle s_ {1} '', s_ {2} '}

s_ {1} '', s_ {2} '

vallen samen met de scheurrand en zijn meestal weggelaten (zie foto).

De volgende eigenschappen zijn vaak handig voor constructies met vlakken:

De frontlijnen van een vlak zijn allemaal evenwijdig aan elkaar, vooral aan de opengescheurde baan $s_{2}$ ${\ displaystyle s_ {2}}$ $s_ {2}$ (zie afbeelding).
De contourlijnen van een niveau zijn allemaal evenwijdig aan elkaar, vooral aan het plattegrondspoor $s_{1}$ ${\ displaystyle s_ {1}}$ $s_ {1}$ .

Loodlijn op één niveau, afstand punt tot niveau

Aangezien de scheur (loodrechte parallelle projectie) van een rechte hoek pas weer een rechte hoek is als één been evenwijdig is aan de beeldtafel (zie paragraaf over rechte lijnen), geldt het volgende (zie afbeelding)

Het bovenaanzicht van een loodlijn op een vlak staat loodrecht op een willekeurige hoogtelijn van het vlak.
De hoogte van een loodlijn op een vlak staat loodrecht op elke frontlijn van het vlak.

Als u de afstand van een punt wilt: $Q$ ${\ displaystijl Q}$ $Q$ bepalen vanuit een vlak, je moet door de loodlijn op het vlak gaan $Q$ ${\ displaystijl Q}$ $Q$ snijden met het vlak (zie: snijpunt constructie ). Het snijpunt is de loodlijn $F.$ ${\ weergavestijl F}$ $F.$ . De werkelijke lengte van de route (loodrecht) ${\overline {QF}}$ ${\ displaystyle {\ overline {QF}}}$ $\ overlijn {QF}$ is tenslotte de afstand van het punt tot het gezochte vlak.

Loodlijn, loodlijn op een rechte lijn, afstand tussen punt en rechte lijn

Als u de loodlijn vanuit één punt wilt $Q$ ${\ displaystijl Q}$ $Q$ uit op een rechte lijn $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ om te vallen (in de ruimte), wordt het vliegtuig gebruikt $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ er doorheen $Q$ ${\ displaystijl Q}$ $Q$ die loodrecht op $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ is, als een hulpniveau. $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ is een loodlijn van $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ . Het is van toepassing

De plattegrond $h_{1}'$ ${\ displaystyle h_ {1} '}$ $h_ {1} '$ de contourlijn $h_{1}$ ${\ displaystyle h_ {1}}$ $h_ {1}$ van $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ er doorheen $Q$ ${\ displaystijl Q}$ $Q$ staat loodrecht op $G^{ik}$ ${\ weergavestijl g '}$ $G'$ .

(

h_{1}''

{\ displaystyle h_ {1} ''}

h_ {1} ''

loopt evenwijdig aan de scheurrand!)

de hoogte $h_{2}''$ ${\ displaystyle h_ {2} ''}$ $h_ {2} ''$ de frontlinie $h_{2}$ ${\ displaystyle h_ {2}}$ $h_ {2}$ van $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ er doorheen $Q$ ${\ displaystijl Q}$ $Q$ staat loodrecht op $G^{ik}$ ${\ weergavestijl g ''}$ $G''$ .

(

h_{2}'

{\ displaystyle h_ {2} '}

h_ {2} '

loopt evenwijdig aan de scheurrand!)

Dit is het niveau $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ door de hoogte en frontlinie in het punt $Q$ ${\ displaystijl Q}$ $Q$ vast. Met behulp van de doorsteekpuntconstructie kan dan het loodpunt worden vastgesteld $F=g\cap \varepsilon$ ${\ displaystyle F = g \ cap \ varepsilon}$ $F = g \ cap \ varepsilon$ bepalen. De afstand van punt Q tot de rechte lijn $G$ ${\ weergavestijl g}$ $G$ is de werkelijke lengte van de route ${\overline {QF}}$ ${\ displaystyle {\ overline {QF}}}$ $\ overlijn {QF}$ . Hoe u een echte lengte kunt bepalen, vindt u hier .

Herprojectie, projectie met drie panelen

Opnieuw projecteren van een punt (nieuwe hoogte:

{P.}^{ik}

{\ weergavestijl P '' '}

P '' '

)

Projectie van een ruitvormige dodecaëder en ware vorm van een ruit

In de beschrijvende meetkunde zijn er twee basistaken die kunnen worden opgelost door een nieuwe scheur te introduceren. Dit wordt uitgelegd aan de hand van het voorbeeld van de ruitvormige dodecaëder (zie hieronder). De ruitvormige dodecaëder wordt gegeven door toegewezen scheuren (plattegrond en hoogte). We zijn op zoek naar 1) een duidelijke scheur (orthogonale projectie) en 2) de ware vorm van een van de 12 ruiten.

Allereerst wordt uitgelegd hoe u een nieuw plan construeert van een punt gegeven in plattegrond en hoogte.

Introductie van een nieuwe lay-out

Gegeven: één punt $P.$ ${\ weergavestijl P}$ $P.$ in plattegrond en hoogte ( ${P.}^{ik}, {P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P ', P' '}$ $P', P''$ , Scheurrand $k_{12}$ ${\ displaystijl k_ {12}}$ $k_ {{12}}$ ) en een nieuw elevatiebord $\pi _{3}$ ${\ weergavestijl \ pi _ {3}}$ $\ pi _ {3}$ door de scheurrand $k_{13}$ ${\ displaystijl k_ {13}}$ $k_ {{13}}$ .

Gezocht: De nieuwe lay-out ${P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P '' '}$ $P '' '$ .

${P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P '}$ $P '$ en ${P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P '' '}$ $P '' '$ zijn daarom via een map (Lot zu $k_{13}$ ${\ displaystijl k_ {13}}$ $k_ {{13}}$ ) aan elkaar toegewezen. ( ${P.}^{ik}, {P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P '', P '' '}$ ${\ weergavestijl P '', P '' '}$ zijn niet aan elkaar toegewezen!)

Op de foto zie je

${P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P '' '}$ $P '' '$ staat op de map (Lot zu $k_{13}$ ${\ displaystijl k_ {13}}$ $k_ {{13}}$ er doorheen ${P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P '}$ $P '$ ) op dezelfde afstand van $k_{13}$ ${\ displaystijl k_ {13}}$ $k_ {{13}}$ zoals het oude plan ${P.}^{ik}$ ${\ weergavestijl P ''}$ $P ''$ van de oude scheurrand $k_{12}$ ${\ displaystijl k_ {12}}$ $k_ {{12}}$ (zie afbeelding).

Voorbeeld ruitvormige dodecaëder:
In het hier getoonde voorbeeld is een ruitvormige dodecaëder in bovenaanzicht en hoogte weergegeven.

1) Illustratieve schets

Beide gegeven scheuren zijn gemakkelijk te tekenen, maar ze zijn niet gemakkelijk te visualiseren omdat veel paren punten samenvallen in de hoogte of plattegrond. Door de introductie van de nieuwe scheurrand $k_{13}$ ${\ displaystijl k_ {13}}$ $k_ {{13}}$ een andere hoogte wordt gedefinieerd. (De nieuwe scheurrand kan bijna willekeurig gekozen worden. Deze mag alleen niet evenwijdig en niet loodrecht op het vlak van een van de veelvlakranden staan.) In de nieuwe scheur zijn er geen punten meer achter elkaar. Dit maakt het gemakkelijker om de afzonderlijke ruiten en hun positie in de ruimte te zien. (Bij het maken van de nieuwe hoogte kunt u profiteren van het feit dat elk van de 3 vierkanten $\{B,C,D,E\},\{F,G,H,I\},\{J,K,L,M\}$ ${\ displaystyle \ {B, C, D, E \}, \ {F, G, H, I \}, \ {J, K, L, M \}}$ ${\ displaystyle \ {B, C, D, E \}, \ {F, G, H, I \}, \ {J, K, L, M \}}$ ligt op dezelfde hoogte en heeft dus ook dezelfde afstand tot de nieuwe scheurrand.)

2) ware vorm van een ruit

Het is duidelijk dat de ruit liegt $F. K G C.$ ${\ displaystyle FKGC}$ ${\ displaystyle FKGC}$ in een verticaal vlak. Als u een nieuw hoogtevlak introduceert zodat het evenwijdig is aan de ruit $F. K G C.$ ${\ displaystyle FKGC}$ ${\ displaystyle FKGC}$ dat wil zeggen, de ruit moet in zijn ware vorm in de nieuwe scheur verschijnen. Je kiest dus een nieuwe scheurrand $k_{14}$ ${\ displaystijl k_ {14}}$ ${\ displaystijl k_ {14}}$ evenwijdig aan ${F.}^{ik} G^{ik}$ ${\ weergavestijl F'G '}$ ${\ weergavestijl F'G '}$ en construeert de nieuwe hoogte van de vier punten $F. K G C.$ ${\ displaystyle FKGC}$ ${\ displaystyle FKGC}$ . de ruit ${F.}^{ik} K^{ik} G^{ik} {C.}^{ik}$ ${\ weergavestijl F '' '' K '' '' G '' '' C '' ''}$ ${\ weergavestijl F '' '' K '' '' G '' '' C '' ''}$ heeft de ware vorm van de ruit.

Dwarsplan en projectie met drie panelen

Dwarsplan, projectie met drie panelen

Staat het nieuwe scheurpaneel loodrecht op de plattegrond en het verhogingspaneel, d.w.z $k_{23}\perp k_{12}$ ${\ displaystyle k_ {23} \ perp k_ {12}}$ $k _ {{23}} \ perp k _ {{12}}$ , Heet de nieuwe elevatie kruis verhoging (zie foto) en wijst deze direct naar de bestaande hoogte. Een toewijzing van de nieuwe plattegrond aan de plattegrond wordt verkregen door middel van concentrische cirkelbogen als map (zie afbeelding). Dit betekent dat informatie van elke crack nu via de bijbehorende mappen kan worden overgedragen naar de andere twee cracks. Een dergelijke opstelling wordt een projectie met drie panelen genoemd .

Zie ook

Projectie op één paneel

literatuur

Rudolf Fucke, Konrad Kirch, Heinz Nickel: Beschrijvende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4 , blz. 10.
Cornelie Leopold: geometrische basis van architecturale representatie. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X , blz. 40.
Ulrich Graf, Martin Barner: Beschrijvende geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9 , blz. 59.

web links

Beschrijvende geometrie voor architecten (PDF; 1,5 MB). Script (Uni Darmstadt), blz. 23-34.
Grondbeginselen en elementen van verkeerstechniek ( Memento van 10 augustus 2013 in het internetarchief ) (PDF; 493 kB) TU Dresden
Projectie met drie panelen aan de Universiteit van Duisburg-Essen

Individueel bewijs

↑ zie Geometrie beschrijvend . P. 10

[1] zie Geometrie beschrijvend . P. 10

[1]